構造可導解析函數常見類型例析

宋波 魏國斌

摘?要：構造可導解析函數的問題已成為高考數學試題和模擬題中客觀性試題的熱點和難題，本文例析通過逆向思維構造可導解析函數的四種常見類型.

關鍵詞：逆向思維;構造;解析函數;求導

基金項目：蘭州市教育科學“十三五”規劃2018年度規劃課題“基于數學結構觀下的解題與教學研究”（項目編號：LZ[2018]GH461）.

作者簡介：宋波（1971-），男，甘肅甘谷人，本科，中學高級教師，研究方向：中學數學教學研究;

魏國斌（1984-），男，甘肅會寧人，本科，中學二級教師，研究方向：中學數學教學研究.

近年來，高考數學試題和模擬題的客觀性試題中常出現構造可導解析函數的問題，它旨在考查學生熟練掌握函數的求導公式和法則的基礎上，通過逆向思維構造可導解析函數的能力.這類試題因思維含量高，綜合性強，難度大，故不易求解，已逐漸成為高考客觀性試題中的熱點和難題.要解決這類問題，需要熟練掌握一些特殊解析函數的導函數，即能通過求導公式和法則構造這些特殊導函數的原函數，從而使問題迎刃而解.

類型1?若f?′（x）=ex，則構造f（x）=ex+C（C為常數）

例1?函數f（x）在其定義域內滿足xf?′（x）+f（x）=ex，且f（1）=e，則函數f（x）的極值情況正確的是（?）.

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值又無極小值

解析?由xf?′（x）+f（x）=ex構造[xf（x）]′=ex，再構造xf（x）=ex+C.

又f（1）=e，解得C=0.所以f（x）=exx.

所以f?′（x）=ex（x-1）x2.

所以f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在[0，1）上單調遞減，在[1，+∞）單調遞增.所以f（x）在x=1處取得極小值，無極大值，故選B.

類型2?若f?′（x）=xex，則構造f（x）=（x-1）ex+C（C為常數）

例2?若函數f（x）滿足xf?′（x）-f（x）=x3ex，且f（1）=0，則當x>0時，f（x）（?）.

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值又無極小值

解析?當x>0時，構造f（x）x′=xf?′（x）-f（x）x2=x3exx2=xex，

再構造f（x）x=（x-1）ex+C.

又f（1）=0，解得C=0.所以f（x）=x（x-1）ex.

所以f?′（x）=（x2+x-1）ex.令f?′（x）=0，解得x1=5-12或x2=-5-12（舍去）.

所以當x>0時，x∈0，5-12，f?′（x）<0;x∈5-12，+∞，f?′（x）>0.

所以當x>0時，f（x）有極小值f5-12，無極大值，故選B.

類型3?若f?′（x）=lnx，則構造f（x）=xlnx-x+C（C為常數）

例3?函數f（x）的導函數為f?′（x），滿足xf?′（x）+2f（x）=lnxx，且f（e）=12e，則f（x）的極值情況為（?）.

A.有極大值無極小值

B.有極小值無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值也無極小值

解析?由xf?′（x）+2f（x）=lnxx，得x2f?′（x）+2xf（x）=lnx.

構造[x2f（x）]′=lnx，再構造x2f（x）=xlnx-x+C.

又f（e）=12e，可得?e2f（e）=elne-e+C.

解得C=e2.

所以x2f（x）=xlnx-x+e2.

所以f（x）=2xlnx+2x-e2x2.

則f?′（x）=-xlnx+2x-ex3.

令g（x）=-xlnx+2x-e，則g′（x）=1-lnx.

當x∈（0，e）時，g′（x）>0;當x∈（e，+∞）時，?g′（x）<0.故當x=e時，g（x）取極大值0.

所以g（x）≤0恒成立.故f?′（x）≤0恒成立.

所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減.所以既無極大值也無極小值，故選D.

類型4?若f?′（x）=lnxx，則構造f（x）=12ln2x+C（C為常數）

例4?已知函數f（x）是可導函數，其導函數為f?′（x），且滿足xf?′（x）+f（x）=lnxx，且f（e）=1e，則不等式f（x+1）-f（e+1）>x-e的解集為.

解析?由xf?′（x）+f（x）=lnxx，構造[xf（x）]′=lnxx，再構造xf（x）=12ln2x+C，所以f（x）=1x（12ln2x+C）.

又f（e）=1e，可得f（e）=1e（12+C）=1e.

解得C=12.

所以f（x）=1x（12ln2x+12）.

令g（x）=f（x）-x，

則g′（x）=-（lnx-1）22x2-1<0.

所以g（x）在（0，+∞）內單調遞減.

因為f（x+1）-f（e+1）>x-e，

所以f（x+1）-（x+1）>f（e+1）-（e+1）.

即g（x+1）>g（e+1）.

所以0

故不等式的解集為（-1，e）.

簡單的正向應用求導運算法則僅僅考查了學生對法則的掌握，而在此基礎上構造可導解析函數，則更能檢閱學生對求導運算的全方位把握，更能體現出數學思維的雙向變通.正因為如此，考查構造可導解析函數應用的試題倍受命題者的青睞，意在考查學生熟練掌握求導法則應用的能力和靈活、變通應用的能力.

參考文獻：

[1]宋波.構造可導抽象函數常見類型例析[J].理科考試研究，2014，21（03）：32.

（收稿日期：2019-06-28）