巧借圓的性質 妙解圓錐曲線

摘?要：本文結合2019年高考江蘇卷第17題，借助圓的方程與基本性質，可以從平面幾何與解析幾何等多個角度加以切入進行破解，思維各異，方法多樣.

關鍵詞：圓錐曲線;定義;平面幾何;坐標

作者簡介：吳賢盛（1990-），男，浙江金華人，教育碩士，中學一級教師，研究方向：高中數學教學和解題研究.

在近年高考的圓錐曲線綜合問題中，經常會碰到圓與圓錐曲線的位置關系問題，此類問題往往巧妙設置圓與圓錐曲線之間的位置關系，進而借助圓的方程與基本性質進行轉化與處理，從而有效降低圓錐曲線的難度，成為近年高考圓錐曲線部分命題的一個趨勢與熱點.在圓錐曲線問題中，借助圓的方程與基本性質，可以從平面幾何與解析幾何等不同角度切入，為考生提供多種思維方式，可以有效考查各層次水平考生的數學綜合知識與綜合能力，有利于高考的區分與選拔.

1?真題在線

題目?（2019年江蘇卷17題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦點為F1（-1，0），F2（1，0）.過點F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2：（x-1）2+y2=4a2交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1，已知DF1=52.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）求點E的坐標.

本題以圓與橢圓的位置關系的交匯與融合為問題背景，借助圓的方程與基本性質來確定相關線段的長度與關系，為直線、線段、角與橢圓等元素架起“橋梁”，形成有機組合體，從而確定橢圓的標準方程以及相關點的坐標問題.借助圓的方程與基本性質，可以從平面幾何與解析幾何等多個角度加以切入，思維各異，方法多樣.

2?真題解析

2.1?第（1）問解析

解法1?（定義法）設橢圓C的焦距為2c.

因為F1（-1，0），F2（1，0），所以F1F2=2.

所以c=1.

因為DF1=52，AF2⊥x軸，所以DF2=DF21-F1F22=（52）2-22=32.

因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，橢圓C的標準方程為x24+y23=1.

解法2?（平面幾何法）如圖1所示，因為F2A=F2B，所以∠A=∠B.

因為F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D，所以AD=?DF1，從而∠A=∠DF1A.

所以∠DF1A=∠B，則DF1//BF2.

因為c=1，所以b2=a2-1.

則橢圓方程為x2a2+y2a2-1=1.

取x=1，得yD=a2-1a.

則AD=2a-a2-1a=a2+1a.

又DF1=52，可得a2+1a=52，解得a=2（a>0）.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，橢圓C的標準方程為x24+y23=1.

評注?根據題目條件，借助圓的方程與基本性質，可以結合橢圓的定義加以轉化，也可以結合平面幾何的相關性質加以應用，從不同角度確定橢圓中的參數值，進而確定橢圓的標準方程.

2.2?第（2）問解析

解法1?（坐標法）由（1）知，橢圓C：x24+y23=1，a=2.

因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1.

將x=1代入圓F2的方程（x-1）?2+y2=16，解得y=±4.

因為點A在x軸上方，所以A（1，4）.

又F1（-1，0），所以直線AF1：y=2x+2.

由y=2x+2，（x-1）2+y2=16，得5x2+6x-11=0.

解得x1=1或x2=-115.

將x2=-115代入y=2x+2，得y=-125.

因此B（-115，-125）.

又因為F2（1，0），所以直線BF2：y=34（x-1）.

由y=34（x-1），x24+y23=1，得7x2-6x-13=0.

解得x1=-1或x2=137.

又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以x=-1.將x=-1代入y=34（x-1），解得y=-32.

因此E（-1，-32）.

解法2?（平面幾何法1）由（1）知，橢圓C：x24+y23=1，如圖2，連結EF1.

因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB.

從而∠BF1E=∠B.

因為F2A=F2B，所以∠A=∠B.

所以∠A=∠BF1E，從而EF1//F2A.

因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.

因為F1（-1，0），由x=-1，x24+y23=1，解得y=±32.

又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以y=-32.因此E（-1，-32）.

解法3?（平面幾何法2）由（1）知，橢圓C：x24+y23=1，如圖2，連結EF1.

因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB.

從而∠BF1E=∠B.

因為F2A=F2B，所以∠A=∠B.

所以∠A=∠BF1E，從而EF1//F2A.

因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.

同理DF1//BF2，所以四邊形DF1EF2是平行四邊形，從而EF1=DF2=32.

因此E（-1，-32）.

解法4?（斜率轉化法）由（1）中的解法2，知F1（-1，0），D（1，32）.

因為DF1//BF2，所以kBF2=kDF1=32-01+1=34.

所以直線BF2：y=34（x-1）.

由y=34（x-1），x24+y23=1，得7x2-6x-13=0.

解得x1=-1或x2=137.

又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以x=-1.將x=-1代入y=34（x-1），解得y=-32.

因此E（-1，-32）.

評注?結合題目條件，通過圓與橢圓的位置關系，借助坐標法或幾何法進行處理，可以從解析幾何角度來切入，通過求解相關直線的方程以及直線與圓、直線與橢圓的位置關系進行確定相關的交點，或通過平面幾何的合理轉化，利用斜率關系進行處理與應用;也可以從平面幾何角度來切入，通過角與直線的位置關系的轉化，從平面幾何角度來確定相關線段的長度，得以確定相關的交點坐標.

3??解后反思

新課標高考中，對圓與圓錐曲線的位置關系的考查，可以出現在選擇題或填空題中，也可以出現在解答題中.在選擇題或填空題中，利用圓與圓錐曲線的位置關系，提高問題的復雜性，適當提升問題的難度;而在解答題中，利用圓與圓錐曲線的位置關系，可以適當降低對圓錐曲線考查的難度，同時也提高了對圓的方程與基本性質等相關知識點的要求.結合圓與圓錐曲線的位置關系的設置與考查，也是高考命題者比較熱衷的考題之一，其問題變化多端，亮點多，創新強，是常考常新的一類問題.

參考文獻：

[1]2019年高考江蘇省數學卷試題及參考答案[J].中學數學月刊，2019（07）：61-66.

（收稿日期：2019-09-05）