蠕蟲狀鏈模型的均方末端距修正

劉引烽,周 潔

(上海大學材料科學與工程學院,上海200444)

高分子鏈在空間的形貌是高分子柔性的一種表現形式,也是高分子鏈的基本特征之一.如何運用數學模型來了解高分子鏈在空間的形貌和基本尺寸,是高分子物理學的基本內容.

蠕蟲狀鏈一直是分析DNA等生物大分子常用的模型,也是半剛性和剛性鏈高分子較為通用的模型.本工作對蠕蟲狀鏈模型作一介紹,并對均方末端距推導過程中存在的問題加以分析,最后提出解決方法.

首先簡要回顧一下幾種理想鏈模型.在高分子鏈的各種模型[1]中,最簡單的理想模型就是自由結合鏈.所謂自由結合鏈,就是把鏈中最基本的結合單元化學鍵看成是相互自由連接的.這些鍵在相互連接時,沒有鍵角限制、化學鍵沒有體積,鍵在空間的取向完全自由、沒有位壘及其他任何阻礙其鏈接的額外限制.每個鍵在與前一個鍵連接時,在空間的取向完全是隨機的.這樣,由n個鍵長為l的鍵所組成的鏈就是自由結合鏈,其均方末端距很容易用矢量和的平方平均或用無規飛行的統計分布函數進行平均而得到:

當引入鍵角限制而其他條件不變時,自由結合鏈就轉變為自由旋轉鏈.這種模型鏈在統計處理時所遇到的難題,是非直接相連的兩個鍵矢量之間(j＞i)點積的計算問題.將鍵矢量反復向前一個鍵矢量方向進行投影,直至抵達需要相乘的鍵矢量就可以方便地解決這一難題,所得自由旋轉鏈的均方末端距為

式中,θ是鍵角α的補角,即θ=π-α.

在實際高分子鏈中,化學鍵的旋轉除了鍵角限制外,相鄰基團對其旋轉也會產生很大的影響,因所處位置不同而具有不同的旋轉位壘,同時化學鍵、原子和原子團都是有體積的,一旦占據了某個空間就不再允許其他鍵或原子(團)進入,存在體積排斥效應等,因此實際高分子鏈的均方末端距要比自由旋轉鏈大得多.由于實際高分子是受阻旋轉鏈,其均方末端距的計算就需要引入一個剛性因子,在理想的自由旋轉鏈模型與實際鏈之間搭建關系橋梁:

式中,σ為實際鏈的剛性因子.

在處理實際鏈時,若其基本連接單元不用鍵來表示,而是放大到能夠自由連接的“鏈段”,那么連接單元長度就成為le,而連接單元的數目就會隨之減少為ne,即鏈段的長度為le,鏈段的數目為ne.倘若ne仍然是一個龐大的數字,可以滿足統計法則,那么這種鏈仍然可以運用自由結合鏈的模型來處理,稱為等效自由結合鏈.由于這種鏈的末端距在空間的分布符合高斯分布,因此又被稱為高斯鏈,其均方末端距為

由上述方程容易看出,無論哪種模型得到的均方末端距都與統計單元數目的一次方成正比,而單元數目恰恰與分子量是線性相關的,因此均方末端距與分子量呈線性正比關系.用均方末端距除以鏈的分子量就可以得到一個能表征分子鏈剛柔性的特征參數——分子無擾尺寸:

但是,實際鏈并不總是那么理想.如果鏈剛性較強,使得用于統計的連接單元的長度過長,或者盡管高分子鏈本質是柔性的,但其分子量過低等,在這些情況下,分子鏈的統計單元數不能達到滿足統計意義的數值,上述模型就無法施展其功用,此時就要借助另一種模型——蠕蟲狀鏈(worm-like chain,WLC)來了解分子鏈的空間尺寸.

1 蠕蟲狀鏈的基本處理方法

蠕蟲狀鏈是Porod和Kratky在1949年提出的概念[2],因此蠕蟲狀鏈又稱Porod-Kratky鏈.無論統計單元數是多少都可以用這種鏈模型進行處理,因此蠕蟲狀鏈既可以描述柔性鏈,也可以描述剛性或半剛性高分子鏈,還可以描述分子量較低時的齊聚物柔性鏈.

下面介紹一個持續長度的概念,它是蠕蟲狀鏈模型中的重要參數.對于一條由鍵長為l、鍵角為α的n個鍵所組成的大分子鏈,將第一個鍵的方向看成z軸(見圖1),那么第二個鍵以α角與之相連,鍵矢量間的夾角為θ,第三個鍵又以α角與第二個鍵相連,其鍵矢量間的夾角亦為θ,依次類推,這條鏈的末端距在z軸上投影的平均長度即為n個鍵矢量在z軸投影長度的加和:

圖1 大分子鏈在第一個鍵的方向上投影示意圖Fig.1 A polymer chain and its projection in the direction of the first bond

由于cos θ＜1,因此有

當n→∞時,cosnθ→0,則的極限值為

該極限值僅與鍵長和鍵角有關,與分子量無關,定義為持續長度,用a來表示,即

因為a與分子量無關,也可看成是鏈本質的特征參數,表示一條鏈保持某個特定方向的傾向,也反映了高分子鏈的剛性尺度.對于有限長度的分子鏈而言,持續長度不能反映其真實的鏈尺寸,此時就需要利用蠕蟲狀鏈模型,采用平均投影長度進行處理.

對于一條由n個鍵長為l、鍵角為α的鍵所組成的分子鏈而言,蠕蟲狀鏈模型把鍵長無限分割,這樣鍵角逐漸趨于180°,θ角無限縮小并趨于0°,而鍵長l也逐漸減小,n值則逐漸增大,且保持輪廓線長度L=nl不變.這就是蠕蟲狀鏈模型,它是假想的線性鏈,是含有無窮細的連續曲率的鏈,任一點曲率方向都是無規的,是一種適用于研究半剛性分子鏈,尤其是齊聚物鏈和剛性分子鏈構象的簡化模型鏈.

利用如下級數關系:

將x替換成1-cos θ,則e-(1-cosθ)≈ cosθ((1-cosθ)＜ 1),所以

于是,鏈在第一個鍵方向上的投影長度z可表示為

2 蠕蟲狀鏈的均方末端距

采用蠕蟲狀鏈模型處理分子鏈時,主要用投影長度來表示分子鏈尺寸,那么其均方末端距與投影長度、持續長度及總長有何關系呢？目前通用的方法是經典的Porod和Kratky(P-K)方法,借用何曼君等編著的《高分子物理》[1]介紹P-K方法如下.

積分可得:

根據自由旋轉鏈的均方末端距公式(2),代入基本變量關系L=nl及式(9)和(11),當cos θ趨近于1時,可得

可見與蠕蟲狀鏈的表達式一致.

3 蠕蟲狀鏈均方末端距處理方法質疑

蠕蟲狀鏈中的連接單元是假想的自由旋轉鏈,P-K方法所得均方末端距表達式如式(15)所示.仔細分析這種蠕蟲狀鏈均方末端距的處理過程不難發現其中所存在的問題.

式(13)右邊是標量乘積,左邊則是矢量點乘,其中一個是末端距矢量,另一個是在z軸上鏈延伸的極小量,其點積可以看成是矢量在方向上的投影與的乘積,而在方向即z軸上的投影正好是投影長度的模為dL,因此該式成立.

那么為什么在cos θ趨近于1時,其計算結果又與自由旋轉鏈一致呢？這是因為P-K方法增設了一個前提條件,即cos θ趨近于1,此時鍵角趨于π,鏈的方向趨近于z軸,因此能近乎滿足第一個鍵在z軸,而末端距也幾乎落在z軸方向,即滿足了末端距h與dh是同一個方向的條件.矢量同向條件滿足,從而由式(13)到(14)便順理成章,導致此時蠕蟲狀鏈末端距與自由旋轉鏈結果一致.這就是為什么對剛性鏈,蠕蟲狀鏈與自由旋轉鏈結果可以一致的原因.不難進一步導出此時鏈的均方末端距為

即均方末端距約為伸直鏈長度的平方.顯然,這是典型的剛性鏈.

我們也可以看一下蠕蟲狀鏈對于柔性鏈的模擬,以便與自由旋轉鏈相比較,來了解其不一致之處.在存在鍵角的情況下,?最為柔性的?模型鏈就是自由旋轉鏈了.對于這種柔性鏈,因為L?a,因此?1,蠕蟲狀鏈均方末端距表達式(15)中的后一項可忽略,則其均方末端距為

對于C-C鍵,其鍵角的補角約為70.5°,此時自由旋轉鏈的持續長度可以通過式(9)計算得到:

故對于C-C鏈形成的自由旋轉鏈,以蠕蟲狀鏈計算所得均方末端距為3nl2.再根據L=nele,而h2=nel2e,由方程式(17)可算得a相當于鏈段長度le的一半.而以方程式(2)計算的均方末端距結果為2nl2,與蠕蟲狀鏈結果相差1.5倍,這就說明蠕蟲狀鏈在模擬柔性鏈時與自由旋轉鏈是不一致的.盡管差別不是很大,但是數學上的不嚴密是蠕蟲狀鏈模型在推導均方末端距時的一處“硬傷”.

4 解決方法

事實上,在求解蠕蟲狀鏈均方末端距時,我們認為完全可以不用通過積分方式來求取,而仍采用自由旋轉鏈求解均方末端距的方法.由于末端距矢量由鍵矢量加和而得:

這樣就可以得到鍵角為α、補角為θ的自由旋轉鏈均方末端距求解公式,即式(2):

將式(9)和(11)及L=nl代入式(2)中,得到:

對于n很大的柔性鏈,因為L?a,因此e-L/a→0,則均方末端距關系式(21)可簡化為

對于C-C鍵形成的自由旋轉鏈,a≈1.5l,所以其均方末端距為h2≈2nl2,與自由旋轉鏈結果一致,此時le=2a-l≈2l.

對于剛性高分子鏈,因為a值很大,從理論上講,剛性鏈的a可以趨于無窮大,例如全反式聚乙炔鏈的a即為無窮大,此時L?a,e-L/a可以用級數展開,則式(21)可化為

對于半剛性鏈,若其極限投影長度等于伸直鏈長,即a=L,則

可見其均方末端距比完全剛性蠕蟲狀鏈的均方末端距略低,也具有剛性鏈的特征.

顯然,通過上述處理,蠕蟲狀鏈與自由旋轉鏈對于柔性鏈的描述就一致了,并且可以運用于剛性鏈體系.

5 持續長度的討論

蠕蟲狀鏈的處理方法非常巧妙,它化解了統計單元數必須很大的難題.因此,一般認為這一模型的適用面更廣.

自Porod和Kratky提出蠕蟲狀鏈模型以來,運用此模型處理諸如DNA等較為剛性長鏈的研究逐年增多.近年來,隨著DNA研究的迅猛發展,蠕蟲狀鏈模型也重新被廣泛應用.例如,有關蠕蟲狀鏈模型應用的文獻自2006—2016年的十年間累計達1 552篇(數據來自SciFinder數據庫).因此,厘清一些基本概念就顯得非常重要.

持續長度是該模型的一個基本參數.持續長度與自由旋轉鏈的處理方法有異曲同工之妙,因為二者都采用了后鍵依次在前一鍵上投影并依此前推至所需鍵的計算方法.自由旋轉鏈因為需要所有鍵之間進行兩兩點乘,因此其平均范圍廣,需要大量樣本的統計平均方可采用投影法進行平均處理.持續長度涉及的是各個鍵在第一個鍵方向上投影,一旦鍵的方向與第一個鍵相反,它在z軸方向的投影就是負值.經平均處理后,負值就不再出現,代之以收斂于0的投影值.因此,持續長度的計算同樣應該是大量連接單元的統計平均值.

持續長度a反映了鏈本身的剛柔性,a值越大,表明鏈的剛性越強.根據式(9),對于自由結合鏈,θ是0°～180°間的任意值,因此其平均值趨于90°,連接單元長度為鍵長l,此時a值達到最小值l;而對于自由旋轉鏈,僅存在鍵角限制.如聚乙烯類碳鏈高分子,其C-C鍵的鍵角α為109.5°,其a值約為1.5l,略高于自由結合鏈;對于鍵角為120°的高分子,其a值理論上約為2l.對于全反式聚乙炔等剛性高分子而言,由于共軛雙鍵不能內旋轉,因此需要將兩個鍵作為一個整體單元來看待,單元長度是鍵長的2倍,單元數則是鍵數的1/2.這樣這些單元間的連接成為180°鍵角的連接,a值將趨于無窮大.對于蠕蟲狀鏈模型研究較多的DNA,當鏈段數趨于無窮大時,其持續長度a可能為35～50 nm[3-4].假定這種DNA中核糖或脫氧核糖五元環的尺寸l約為0.3 nm,則可反推出其鍵角補角θ約為6.3°,因此鍵角約為173.7°,非常接近于剛性直線連接.當然這種鍵角是不存在的,采用蠕蟲狀鏈模型時,連接單元不一定是真實鍵,而是假想鍵,這種假想鍵是自由旋轉的,其“鍵數”、“鍵長”和“鍵角”與真實分子鏈的實際參數相關.

6 投影長度的討論

從式(12)可見,高分子鏈在第一個鍵方向上的投影長度z僅是a和L的函數,其中a是常數,是鏈長趨于無窮大時的極限投影長度,它反映了大分子鏈的本質,組成鏈的鍵長l越大、鍵角α越大或者說其補角θ越小的大分子鏈,剛性越大,a值越大.投影長度z與鏈的總長L的關系如圖2所示.由于鏈長L與分子量M是一次方的正比關系,因此高分子鏈在第一個鍵方向上的投影長度和分子量間的關系與之類似,也可以用圖2的曲線形式來表示.在自由旋轉鏈模型中,均方末端距與分子量是線性關系,而蠕蟲狀鏈的投影長度與鏈長或分子量間的關系則呈指數趨近關系,隨著鏈長或分子量的增加,投影長度逐漸增大,鏈長趨于無窮大時,投影長度趨近于a值.

圖2 投影長度與鏈長的關系Fig.2 Persistence length vs.chain length

7 存在的問題與展望

通過自由旋轉鏈模型對蠕蟲狀鏈的均方末端距進行統計,可以糾正原有模型在推導過程中的錯誤,所得結果既可以用于模擬剛性鏈,也可以用于模擬柔性鏈,因此有助于蠕蟲狀鏈模型得到正確而廣泛的應用.

然而,蠕蟲狀鏈模型也存在一些不足.由于蠕蟲狀鏈用投影長度來表示分子鏈尺寸,看上去沒有用到統計單元數的統計關系,統計單元的多寡僅影響其投影的長度,不影響計算結果,因此可用于描述那些因統計單元數不足而無法用等效自由結合鏈來處理的分子鏈.但實際上,不斷投影取最后的投影長度的方法也是統計的結果.這種暗含式的統計處理方法很隱蔽,使人們在將其運用到剛性鏈時沒有覺得有什么不妥.

對于柔性鏈而言,a值是鏈長趨于無窮大時投影長度的極限,因此是鏈投影長度的最大值.鏈段的數目越少,投影長度也越小.但剛性鏈不同,因為鏈是剛性的,鏈的投影長度用cos θ依次向前一鍵進行投影的方式就不合理.能夠作投影處理的前提條件是鍵可以在錐形面上取得任意位置,并可以進行統計平均(見圖3).把剛性鏈中的鍵無限分割,雖然已經把柔性鏈“揉”到一個鍵中了,但并未影響鏈的整體屬性.因此,對于剛性鏈,由于分子鏈伸展的可能性較大而蜷曲的可能性較小,即受到內旋轉位壘的限制,高分子鏈的“回頭率”是很低的.隨著總長的增加,分子鏈的投影長度是持續增大的,導致a值有可能并不收斂于某一定值,即不再滿足式(9),而是會趨于無窮大.但就在這些持續長度趨于無窮大的鏈中,其剛性也會有所不同,如何加以區別？如何模擬具有不同剛性的剛性鏈？這還需要今后深入研究加以解決.

圖3 單鍵內旋轉示意圖Fig.3 Inner rotation of a bond within a polymer chain

運用經典的蠕蟲狀鏈模型來描述DNA等剛性分子已很普遍[5-8],持續長度也可以用計算機進行模擬[9-10],投影長度對分子鏈形態的描述也有其獨到之處[11-12].隨著高分子科學向生命物質的不斷滲透,采用蠕蟲狀鏈模型來處理分子鏈形態與構象關系將越來越多[13-15].為此,更正一些不當的處理過程,發展計算機模擬方法,將使蠕蟲狀鏈模型得到進一步的發展和補充.