具有階段結(jié)構(gòu)和反饋控制的非自治單種群模型的正周期解

楊 英 鐘

(閩南理工學(xué)院 信息管理學(xué)院, 福建 泉州 362700)

1993年,Gopalsamy[1]提出并研究了單種群反饋控制增長模型,其后很多學(xué)者繼續(xù)廣泛地研究反饋控制系統(tǒng),得到了更多好的結(jié)果,比如得到了系統(tǒng)存在唯一的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的周期正解(概周期正解)的充分性條件,系統(tǒng)的持久性的充分性條件等,更多關(guān)于反饋控制生態(tài)系統(tǒng)的工作,可參見文獻(xiàn)[2-8],但文獻(xiàn)[2-8]中都沒有考慮到階段結(jié)構(gòu)的情況.

近年來,很多學(xué)者認(rèn)為合理的生態(tài)學(xué)模型需要考慮到階段結(jié)構(gòu)對種群的影響.文獻(xiàn)[9]探討了具有反饋控制單種群階段結(jié)構(gòu)模型.

(1)

得到了保證該系統(tǒng)存在唯一的全局吸引的正平衡點(diǎn)的一個(gè)充分條件.而本文進(jìn)一步把系統(tǒng)(1)推廣到非自治情況,即:

(2)

其中:x1(t),x2(t)分別表示幼年種群和成年種群在t時(shí)刻的密度;y(t)是反饋控制變量;b(t),a(t),d1(t),c(t),f(t),e(t)為正w周期連續(xù)函數(shù);τ是正常數(shù).

假設(shè)如下:幼年種群的出生率與成年種群的密度成正比,并且比率系數(shù)記為b(t)>0;幼年種群的死亡率與幼年種群的密度成正比,并且比率系數(shù)記為d1(t)>0;成年種群的死亡符合Logistic規(guī)律,即成年種群的死亡率與其密度的平方成正比,并且比率系數(shù)記為a(t)>0;幼年種群的成熟期為τ,即在t-τ時(shí)刻出生并且成活到t時(shí)刻的幼年種群將轉(zhuǎn)化為成年種群.

考慮系統(tǒng)(2)具有如下初值條件:

(3)

在本文中為了保持初值的連續(xù)性,假設(shè):

本文旨在通過利用重合度理論得到保證該系統(tǒng)至少存在一個(gè)正w周期解的一個(gè)充分條件.

1 重合度理論及其引理

為了討論周期解的存在性,下面引入重合度理論中的延拓定理[10].

(1) 對任意的λ∈(0,1),方程Lx=λNx的解滿足x??Ω;

(2) 對任意的x∈KerL∩?Ω,QNx≠0;

(3) deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0;

引理2[11](x1(t),x2(t),y(t))T是系統(tǒng)(2)的一個(gè)w周期解,當(dāng)且僅當(dāng)它也是如下系統(tǒng)的一個(gè)w周期解:

(4)

其中

證明 引理2的證明類似于文獻(xiàn)[11]中引理2.2的證明,本文只給出簡單的證明如下.

若(x1(t),x2(t),y(t))T是系統(tǒng)(2)的一個(gè)w周期解,則有

由以上分析可知:

又因?yàn)閥(t)是w周期函數(shù),所以

若(x1(t),x2(t),y(t))T是系統(tǒng)(4)的一個(gè)w周期解,則有

引理2證畢.

2 系統(tǒng)正周期解的存在性

由引理2可知,系統(tǒng)(2)的正w周期解問題等價(jià)于如下系統(tǒng)的正w周期解問題:

(5)

是正w周期函數(shù),并且滿足系統(tǒng)(5)的第一個(gè)方程,因此系統(tǒng)(2)的正w周期解的存在性問題等價(jià)于探討如下系統(tǒng)的正w周期解的存在性:

作變換:

x2(t)=exp{v(t)}.

則系統(tǒng)(6)可化為

接下來,敘述并證明本文的主要結(jié)果.

證明 由以上分析可知,要證明定理1,只要證明系統(tǒng)(7)至少存在一個(gè)周期解v*(t)即可.

定義

X=Z={v(t)∈C(R,R)|v(t+w)=v(t)},

dimKerL=codimImL=1,

故L是指標(biāo)為零的Freedholm映射.容易證明P,Q是連續(xù)投影,且使得:

ImP=KerL,KerQ=ImL=Im(I-Q).

因此L的逆映射Kp:ImL→KerP∩DomL存在,且

所以

對應(yīng)于算子方程Lv=λNv,λ∈(0,1),

有

(8)

設(shè)v(t)∈X是系統(tǒng)(8)的對某一個(gè)λ∈(0,1)的解,將式(8)兩端同時(shí)從0到w積分得

由v(t)∈X,知存在ε,η∈[0,w]使得

再將式(8)兩端同乘以ev(t),再從0到w積分得

由式(10)可知

則

(11)

利用不等式

則由式(11)可知

(12)

則

(13)

結(jié)合式(8),式(9)和式(13)可知

再結(jié)合式(13)和式(14)可知

(15)

另一方面又注意到

則由式(9)和式(16)可知

(17)

令

(18)

再由式(17)可知

(19)

結(jié)合式(14)和式(19)可知

(20)

再結(jié)合式(15)和式(20)可知

令H=L1+L2,其中L2>0取充分大,使得

的唯一解v*,滿足|v*|

且

deg{JQN,Ω∩KerL,0}=-1≠0,

定理1證畢.