食餌帶收獲率的Holling-2型捕食者-食餌模型的Bogdanov-Takens分岔

傅仙發, 蔡高明, 陳國雄

(湄洲灣職業技術學院 基礎部, 福建 莆田 351254)

食餌帶收獲率參數的Holling-2型捕食者-食餌模型表示為

(1)

其中:x1,x2是食餌與捕食者隨時間變化的函數,β,γ,δ都是正常數;正參數h表示收獲率[1].

1 預備知識

考慮以下非線性系統

(2)

其中,n≥2,m≥2.

系統(2)在α=0,x=0處可寫為

(3)

F(x)在x=0處的泰勒展開式為

其中,B(x,x),C(x,x,x),D(x,x,x,x)和E(x,x,x,x,x)是向量函數,且滿足[2]

通過將式(3)限制到nc維中心流形,即w∈Rnc的參數化,得到臨界中心流形

x=H(w),H:Rnc→Rn.

(5)

由此限制方程可以寫為

(6)

將式(5)和式(6)代入式(3)可以得到方程[2-3]

Hω(w)G(w)=A(H(w))+F(H(w)).

(7)

2 Bogdanov-Takens分岔

在余維2的BT分岔上存在兩個實線性獨立的特征向量q0,q1,使得

Aq0=0,Aq1=q0.

對于A的轉置矩陣,存在實特征向量p0,p1.并且p0,p1具有如下性質ATp1=0,ATp0=p1,可以選擇這樣的向量使得

〈p0,q0〉=〈p1,q1〉=1,〈p0,q1〉=〈p1,q0〉=0.

y=w0q0+w1q1.

其中,w0=〈p0,y〉,w1=〈p1,y〉.由此方程(7)可以表示為

多維泰勒形式的中心流形可以寫成如下形式

將式(2)限制到臨界參數的任意中心流形,都可以轉化為如下形式

將式(3)限制到H(w0,w1),有

(10)

其中,h20滿足Ah20=2a2q1-B(q0,q0),且

其中,h11滿足Ah11=b2q1+h20-B(q0,q1),且

h30,h21可以由如下公式得到

h02可以由如下公式得到

Ah02=2h11-B(q1,q1).

這里省略b4的公式是因為對本文的討論沒有影響.

很明顯系統(1)的余維3情況在a2=0或b2=0時會發生[6].

現在計算系統(1)的顯式標準形式.在分岔參數h=1/4,(δ/γ)-1=2β時,系統(1)在臨界平衡點p0的雅克比矩陣

其中,特征值λ1,2=0.其標準化后為

且

其中,TERM1是

y1z1w1u2+y1z1w2u1+y1z2w1u1+y2z1w1u1,

且

剩余的計算可直接表示為[5-6,8]

綜上,系統(1)的余維3情況發生,系統(1)的Bogdanov-Takens分岔是退化的.