基于憶阻器的Lü超混沌系統的分析與實現

方 淼, 謝苗苗, 方 帆

(1. 安徽大學江淮學院 理工部, 安徽 合肥 230039; 2. 巢湖學院 教務處, 安徽 巢湖 238000)

自1963年著名的氣象學家Lorenz在研究大氣湍流現象時提出經典Lorenz系統[1]以來,各種混沌系統被相繼提出,對混沌現象和理論的研究成為研究熱點和重點.隨著對混沌科學研究的進一步發展,混沌研究從對混沌現象的揭示和刻畫轉向理論研究和實際應用相結合[2],對混沌生成模型的探究及混沌信號的處理和應用研究已成為重要的研究課題.Lü系統[3]是Lorenz系統族中結構最簡單的混沌系統,但具有豐富的動力學行為,其隨著系統參數的改變會在Lorenz系統和Chen系統之間轉換,是混沌理論與應用研究的經典三維混沌模型.為了更好地滿足保密通信和信息隱藏的需要,人們提出構造超混沌電路系統來提高系統的復雜性,超混沌系統會呈現更為復雜的結構和動力學行為.目前往往通過給三維連續混沌系統上加載反饋控制器的方式構建超混沌系統.反饋控制器分為線性和非線性[4],非線性的反饋項將進一步增加系統的復雜性和不可預測性,更適用于構建超混沌系統.

憶阻器[5]是蔡少棠教授1971年根據電路的完備性提出的描述電荷和磁通關系的非線性元件,由Strukov等[6]在物理上成功實現.憶阻器具有電阻、電感、電容3種基本元件不能復制的記憶特性,能夠記憶流經它的電荷量,通過控制電流可改變其阻值,是一種具有記憶特性的非線性元件.利用憶阻器的非線性和記憶特性,將其作為超混沌系統的反饋項,可產生復雜的非線性動力學現象,為超混沌電路的設計提供了全新的發展空間.

目前構建超混沌系統主要有以下2種實現方法.

(1) 采用憶阻器作為典型混沌系統的反饋項構建超混沌電路系統.包伯成[7]等人通過在三維Bao系統中加入1個新的狀態變量,實現了四維超混沌系統;阮靜雅等人[8]利用憶阻器作為正反饋項構建了Lorenz超混沌系統,設計實現了系統的模擬等效電路.

(2) 通過給振蕩電路增加非線性元件或進行非線性耦合實現超混沌.Li等[9]將2個文氏電路進行非線性耦合獲得文氏超混沌電路,但這些憶阻電路結構過于復雜,不利于進行電路實現.

為此,如何構建一種電路結構更簡單,動力學行為更豐富的電路系統,以滿足保密通信和信息隱藏等領域的要求,也是超混沌系統的研究思路.

本文采用3次型磁控憶阻器作為Lü系統的非線性反饋項,構成1個簡單的四維憶阻系統,獲得了超混沌信號,同時對該超混沌系統的特性進行了分析,采用相圖、Lyapunov指數譜及分岔圖等基本動力學分析方法對系統的非線性動力學行為進行了研究,分析了系統參數的變化對系統動力學特性的影響,最后設計實現了該超混沌系統的模擬等效電路,并利用PSPICE軟件進行仿真,實驗仿真的結果和數值仿真的結果一致,對超混沌電路的工程應用具有一定的理論和實際意義.

1 基于Lü系統的超混沌憶阻系統模型

1.1 Lü系統的數學模型和電路實現

Lü系統是介于Lorenz系統和Chen系統之間的轉換系統,是Lorenz系統族中結構最為簡單的系統,其數學模型[3]可用1個連續自治耗散三維常微分方程組描述為

(1)

式中:x,y,z為系統的狀態變量;a、b、c為實參數.

固定參數a=36,b=3,當參數c∈(18,22)時,系統處于混沌狀態,能產生不同于Lorenz系統和Chen系統的新的混沌吸引子,如圖1所示.采用模擬集成運放和乘法器可實現該混沌系統(1),如圖2所示.

圖1混沌吸引子
Fig.1 The chaotic attractor

圖2 Lü系統模擬電路圖Fig.2 Analog circuit of the Lü system

為提高系統的復雜性和不可預測性,在該系統中增加1個非線性反饋項,構建新的超混沌電路系統.憶阻器作為具有記憶特性的非線性電阻器,適于作為系統的非線性反饋項構建超混沌系統.本系統采用Bao提出的磁控憶阻器作為系統的反饋項,該磁控憶阻器由1條光滑單調上升的3次非線性特性曲線描述[10],即

q(φ)=αφ+Bφ3.

(2)

式中:q為電荷;φ為磁通;α>0,β>0為實參數.

該曲線的斜率,即其電荷隨磁鏈的變化率,稱為憶阻器的憶導,為

(3)

式中,α>0,β>0,憶導是隨內部狀態變量φ變化的函數.設給憶阻器兩端施加電壓V,則流過憶阻器的電流為I,可得

1.2 Lü超混沌系統的數學模型

令憶阻器的控制電壓V=x+y,w=φ,則有

I=W(w)V=(α+3βw2)(x+y).

(6)

將憶阻器的電流I作為反饋項引入Lü系統,根據基爾霍夫定律可得基于憶阻器反饋的Lü系統的系統方程:

(7)

為了獲得無量綱方程,令w=φ,選擇參數a=36,b=3,c=29,α=0.2,β=0.04,并設置初始條件為(10 10 10 0),系統(7)產生雙渦卷超混沌吸引子,如圖3所示.圖4a、圖4b分別給出了超混沌吸引子在x-y和y-w平面上的投影.

由圖3、圖4可見, 由于憶阻器的憶導值受憶阻器內部控制變量的影響, 當將憶阻器引入Lü系統時, 引入了1個新的狀態變量, 該系統所產生的混沌吸引子的拓撲結構遠比三維的Lü系統復雜. 通過尋找合適的Poincaré截面, 能將系統隨時間連續變化運動轉化為Poincaré截面上的離散映射, 該映射降低了系統的維數, 但仍能保持原有動力學系統的拓撲性質[8], 能更好地刻畫出該憶阻電路的混沌特性. 圖5a、圖5b分別給出了x=0和z=30截面上的Poincaré映射, 顯然基于憶阻器的并聯混沌電路的Poincaré映射上存在無窮多個密集點, 吸引子的輪廓清晰可見, 表現出分形的幾何特征, 進一步說明該系統是超混沌的.

圖3超混沌系統吸引子
Fig.3 The chaotic attractor of hyper-chaotic system

圖4 超混沌系統相軌圖Fig.4 The phase portrait of hyper-chaotic system

圖5 系統(7)的Poincaré映射Fig.5 Poincaré section of system (7)

利用Jacobi方法計算該系統的Lyapunov指數得:LE1=9.73;LE2=0.04;LE3=-0.81;LE4=-10.04.系統包含2個正的Lyapunov指數,且滿足所有Lyapunov指數之和小于零,表明該系統處于超混沌狀態.從吸引子的相軌圖和Lyapunov指數可以判斷出憶阻系統是超混沌振蕩的.

2 動力學特性分析

2.1 對稱性

由于系統(7)滿足(x,y,z,w)～(-x,-y,z,-w)的變化下保持不變,因此該系統關于z軸對稱,這種對稱關系對系統所有的參數均成立.

2.2 平衡點穩定性分析

E={(x,y,z,w|x=y=z=0,w=m)},

其中m為實常數,即w坐標上所有的點均為平衡點,系統存在無窮的平衡點集.在平衡點處對系統(7)進行線性化,可得Jacobi矩陣JE為

選取數值仿真時所采用的參數,且取平衡點m=0,可求得系統的特征值λ1=0,λ2=-3,λ3=-18.06,λ4=28.9,即系統的平衡點是1個不穩定的結點,并且當|m|<31.04時,系統平衡點均為不穩定的結點,否則平衡點集是穩定的.

2.3 參數改變對系統的影響

由于系統(7)具有無限平衡點集,包含無限的穩定和不穩定的平衡點,因此該系統具有豐富的非線性動力學行為.為了進一步研究系統的動力學特性,通過改變電路參數對Lyapunov指數譜和分岔圖進行分析.隨著系統參數的改變,系統平衡點的穩定性也將隨著改變,從而使系統處于不同的狀態.在初始條件(10 10 10 0)下,固定電路參數a=36,c=29,α=0.2,β=0.04,選擇b為可變電路參數.當b∈[1,15]時,Lyapunov指數譜和狀態變量x的分岔圖如圖6所示.

圖6 系數隨參數b變化的Lyapunov指數譜和分岔圖Fig.6 The Lyapunov exponential spectrum and bifurcation diagram of the system change with b

由圖6可見,系統的Lyapunov指數譜和分岔圖的穩定和不穩定區間基本一致.當02.4時,Lyapunov指數形式為(+,+,-,-),系統失穩,進入超混沌狀態.當b>6時,Lyapunov指數基本保持恒定,系統處于恒定混沌狀態,說明此時系統不因參數b的擾動或微小變化而導致狀態發生變化,其結構穩定,具有強魯棒性[11],適合作為隨機信號源,產生性能良好的偽隨機序列.

同樣,參數c也會影響系統狀態,在相同的初始條件下,固定其他電路參數,選擇c為可變電路參數.當c在[10,40]范圍內變化時,系統的Lyapunov指數譜和狀態變量x的分岔圖如圖7所示.

圖7 系數隨參數c變化的Lyapunov指數譜和分岔圖Fig.7 Lyapunov exponential spectrum and bifurcation diagram of the system change with c

由圖7可見,Lyapunov指數譜和分岔圖所表現的運動軌跡一致.隨著參數c的增加,系統從周期態進入混沌和超混沌狀態,其中出現了若干個周期窗口,經歷了復雜的非線性變化過程.并且從圖中可以看出,系統在c=[28,35]的很長一段區域內均處于超混沌狀態,在保密通信和信息隱藏中具有一定的應用價值.

3 等效電路實現

為進一步驗證系統的超混沌行為,采用電阻、電容、運放和乘法器構建出跟隨器,積分器和電流轉換器來等效實現憶阻器,如圖8所示.

圖8 憶阻器的等效電路原理圖Fig.8 The equivalent schematic circuit diagram of the memristor

將該憶阻器作為反饋項引入Lü系統,實現系統(7)的運算,電路中采用AD712運放,乘法器為AD633,由于模擬乘法器的容許電壓范圍為±10 V,運放的容許電壓范圍為±15 V,為確保電路變量工作在合適的動態范圍內,在不改變系統性能的條件下對系統狀態變量做合適的線性變換,即

變換后系統(7)對應的方程為

(8)

設計的系統實驗仿真電路如圖9所示.

圖9 超混沌系統電路圖Fig.9 The circuit diagram of the hyper-chaotic system

采用PSPICE軟件對上述電路進行仿真驗證,將式(7)和式(8)對應的系數進行比較,并合理地設置,相應的元件值分別為:Ci(i=1,2,3,4)=1 μF;Ri(i=1,2,7,18,19,20)=1 kΩ;R3=360 Ω;R8=2.9 kΩ;R9=290 Ω;R12=3 kΩ;R13=300 Ω;R17=100 kΩ;Ri(j=4,5,6,10,11,14,15,16,21,22)=10 kΩ.得到仿真結果如圖10所示,電路仿真結果和數值仿真結果基本一致,驗證了該超混沌電路的正確性.

4 結 論

本文基于Lü系統設計了一種新的超混沌系統,該系統具有無限的平衡點集,并且由于磁控憶阻器的非線性反饋,使得系統包含豐富的動力學行為. 數值仿真結果表明, 該系統能夠產生超混沌吸引子, 當參數增加到一定值時,

出現了恒定

圖10 超混沌系統電路仿真圖Fig.10 The circuit simulation diagram of the hyper-chaotic system

Lyapunov指數譜,說明該超混沌系統不僅結構簡單、穩定,且具有很好的魯棒性.為了進一步驗證系統的動力學行為,采用通用的運算放大器和模擬乘法器實現了系統的模擬等效電路,并對該等效電路通過PSPICE軟件進行了電路仿真,仿真結果與數值仿真及理論仿真結果一致,驗證了電路的有效性和可實現性,其復雜的超混沌特性和恒Lyapunov指數譜現象使該系統在混沌保密通信中具備潛在的應用價值.