基于三坐標測量機的立方鏡標定精度分析

倪愛晶 郭 慶 趙 婕 于望竹 蔡子慧 楊 純

(北京衛星制造廠有限公司，北京 100094)

1 引 言

航天器總裝是將航天器上各分系統裝配在一起，形成一個能夠完成特定任務的完整系統[1]。航天器裝配精度對其功能的實現有著直接影響，裝配過程需嚴格保證重要部件的安裝位置與方向，因此總裝過程需依賴測量手段保證裝配精度，測量對象涉及多種有效載荷，如天線系統、設備、相機等。由于各分系統尺寸大、結構復雜，測量過程中難免出現遮擋導致的不可測量情況。因此，航天器總裝中通常引入立方鏡作為工藝基準，通過提前標定立方鏡和有效載荷的姿態關系，來確定有效載荷的安裝位置和姿態。

航天器總裝用立方鏡是經過精密加工的規則的正方體，根據邊長的不同分為多種規格。立方鏡6個表面的平面度都極高，且表面中心處刻有十字刻線，精度達微米級。任意相鄰面的垂直度可達±3″[2]。立方鏡表面的法線可通過經緯儀、三坐標測量機等測量設備進行測量獲得，利用多個面的法線便可構造立方鏡坐標系。因此，航天器研制過程中，通常使用立方鏡坐標系表示重要部件的空間位置。

由于裝配的最后階段只能通過測量獲取到有效載荷上立方鏡坐標系，而精度測量和調整的對象是有效載荷。因此在分系統裝配前需要通過測量并建立立方鏡坐標系及產品自身機械坐標系，從而獲得立方鏡坐標系與機械坐標系的關系矩陣，通常我們將此過程稱為立方鏡的標定。基于測量精度方面的考慮，測量范圍1m以內時，立方鏡的標定通常使用三坐標測量機。由于立方鏡的標定結果作為航天器裝配的輸入條件直接影響裝配精度，因此有必要對基于三坐標測量機的立方鏡標定精度進行分析。而立方鏡坐標系由立方鏡表面法向確定，所以立方鏡標定精度可以通過立方鏡相鄰面夾角的測量精度進行分析。

本文利用試驗采樣的方法，對立方鏡相鄰面夾角的重復性精度進行了評估。在此基礎上，使用蒙特卡羅仿真法和解析法對立方鏡標定的精度進行了評估。最終結合試驗數據和仿真數據對基于三坐標測量機的立方鏡標定給出了具體建議。

2 立方鏡采樣試驗

以精度±5″、邊長20mm的立方鏡為試驗對象，使用三坐標測量機測量立方鏡上3個互相垂直的平面，所用型號的坐標測量機示值誤差為(2.2+3L/1000)μm，20mm測量范圍內，測量精度約為3μm。立方鏡采樣試驗分為3個步驟，分別是在立方鏡3個互相垂直的表面上測量4點/面、9點/面、25點/面，如表1和圖1所示。每個步驟采樣重復6次，試驗中的采樣均使用三坐標測量機的自動測量功能，重復采樣使用相同的測量程序。用每個面的測點擬合平面，分別得到立方鏡的面1、面2、面3，評價相鄰面的夾角，以夾角的重復測量精度評判立方鏡標定的重復性精度。

表1 立方鏡采樣試驗Tab.1Tests with different sampling strategies of cube-mirror

圖1 立方鏡采樣試驗Fig.1Tests with different sampling strategies of Cube-mirror

3 試驗結果與分析

利用立方鏡平面上測點擬合平面，計算每次采樣的相鄰面夾角，分別得到4點/面、9點/面、25點/面試驗時面1與面2夾角、面1與面3、面2與面3夾角共3個夾角數值，如表2、表3、表4所示。從表中數據可以看出，4點/面、9點/面、25點/面試驗的極差都比較大，接近8″，從實驗標準差數值來看，3組試驗的實驗標準差相差較小，從平均值數值看，25點/面的6次采樣的均值與理論值最為接近。可見，單純從數值上難以分辨幾組試驗的效果，也沒有規律可循。

利用表2、表3、表4中夾角數據繪制折線圖，分別如圖2、圖3、圖4所示，圖中橫軸為采樣次數，縱軸為相鄰面夾角θ數值。每幅圖中有3條折線、2條虛線和3條細實線。3條折線表達立方鏡3個互相垂直被測表面的3組相鄰面夾角，兩條虛線表達精度±5″立方鏡的理論夾角區間(89.998 61°,90.001 39°)，細實線表達夾角折線的平均值。從折線圖可以看出，4點/面和9點/面采集測點時，3條夾角折線分布在(89.996°,90.004°)區間內，明顯不能被理論夾角區間包絡，且3條夾角折線的平均線只有1條在理論夾角區間內。而25點/面的3條夾角折線分布在(89.999°,90.002°)區間內，大部分能夠被理論夾角區間包絡，最關鍵的是3條夾角折線的平均線均在理論夾角區間內。

表24點/面立方鏡夾角

Tab.2Thecube-mirrorangleof4points/surface(°)

表3 9點/面立方鏡夾角Tab.3 Cube-mirror angle of 9 points/surface (°)

表4 25點/面立方鏡夾角Tab.4 Cube-mirror angle of 25 points/surface (°)

圖2 4點/面立方鏡夾角Fig.2 Cube-mirror angle of 4 points/surface

圖3 9點/面立方鏡夾角Fig.3 Cube-mirror angle of 9 points/surface

圖4 25點/面立方鏡夾角Fig.4 Cube-mirror angle of 25 points/surface

從3組試驗數據和夾角折線圖可以得出以下結果：

(1)不同采樣點數的多次試驗中立方鏡相鄰面夾角極差、實驗標準差與采樣點數相關性不大，其數值不會隨著采樣點數的增多而變小；

(2)25點/面試驗的3條夾角折線大部分能夠被理論夾角區間包絡，而4點/面和9點/面的3條夾角折線與理論夾角區間重合區域較少；

(3)25點/面試驗的3條夾角折線的平均線均在理論夾角區間內，而4點/面和9點/面的3條夾角折線的平均線只有1條在理論夾角區間內。

4 基于蒙特卡羅法的不確定度評定

從試驗結果可以看出，試驗得到的數值并不能充分表達立方鏡夾角的測量精度。為了進一步地分析立方鏡夾角測量精度，將夾角測量不確定度作為衡量立方鏡標定精度的指標。測量不確定度表征合理賦予的被測量之值的分散性，是與測量結果相關聯的參數，是反映測量結果是否可靠的一個重要參數[3]。測量不確定度評定主要有蒙特卡羅仿真法和GUM中的解析法。

蒙特卡羅(Monte-Carlo)仿真法，簡稱MCM方法，其以大數定律和中心極限定理為理論基礎[4]。基于MCM方法估計夾角測量不確定度的流程[5]為：設夾角θ與測點(xi，yi，zi)的函數關系為θ=f(xi，yi，zi)，利用MATLAB軟件中的normrnd函數產生多維符合正態分布的隨機數作為隨機誤差注入到測點坐標上，然后通過函數模型計算θ。相同的模擬仿真過程執行m次，就可以得到θ的m個可能的測量值，對θ={θi|i=1，2，…，m}進行統計，就可以得到θ的測量不確定度。

設立方鏡相鄰兩個平面方程分別為

A1x+B1y+z+C1=0

(1)

A2x+B2y+z+C2=0

(2)

立方鏡相鄰面夾θ為

(3)

設每個測點的不確定為u0，則

uxi=uyi=uzi=u0

u0主要由測量機示值誤差引起。所用型號的坐標測量機示值誤差為(2.2+3L/1000)μm，立方鏡測量范圍為20mm，綜合考慮測量重復性誤差等因素，得到測量機誤差約為3μm，服從正態分布，則單點測量不確定度u0=3/3=1μm。

因此，蒙特卡羅仿真時，利用MATLAB程序產生一組樣本容量為1000000的隨機數，且隨機誤差服從如下分布

σ～N(0，0.001)mm

將立方鏡兩個表面的25個測點/面的測點坐標作為輸入，通過注入產生的隨機數，得到1000000組測點坐標，每組包含25個測點。利用奇異值分解法分別計算每組測點對應的A、B等參數，再利用數學模型計算夾角θ，對1000000組的夾角θ求實驗標準差，得到夾角θ的不確定度為0.002861°。為了給解析法求解夾角不確定度提供輸入，計算了兩個平面方程中的A、B的相關系數，分別為-0.0286和0.7632。

為了獲得夾角測量不確定度與每個平面測量點數的關系，利用蒙特卡羅仿真方法計算了4個測點/面、9個測點/面、36個測點/面、49個測點/面、64個測點/面等多種情況下的各個參數的不確定度及夾角不確定度，計算數據如表5所示。

表5 不同測點數量的測量不確定度Tab.5 Measurement uncertainty of different sampling strategies

從表中數據可以看出，夾角測量不確定度隨著測點數量的增加而減小，最小接近0.002 0°。但是其減幅隨著測點數量增加呈減小趨勢。

5 基于解析法的不確定度評定

解析法是GUM導則[6]提供的不確定度評價方法，是一種基于不確定度傳播規律的方法，GUM中對不確定度的解析法評估提供了定義和標準程序。使用解析法評定測量不確定度的基礎是輸出量與輸入量的模型。針對本文的立方鏡夾角測量不確定度計算，公式(3)即是表達輸出量-夾角與輸入量-測點坐標的模型。由于立方鏡3組相鄰面夾角不確定度評價方法相同，因此以其中一組夾角(關聯的兩個表面與第4節計算所用的表面相同)為例，使用解析法評定夾角不確定度。

根據GUM中不確定度解析計算法，對式(3)的每個分量求偏導，可得夾角θ的不確定度uθ

(4)

式中:uA1、uA2、uB1、uB2——分別為平面方程中參數的不確定度；rA1B1——參數A1與B1之間的相關系數；rA2B2——參數A2與B2之間的相關系數。

從式(4)中可以看出，計算夾角θ的不確定度首先要確定夾角計算數學模型中A1、B1、A2、B2各參數的不確定度、傳遞系數及參數之間的相關系數。設測點坐標為(xi，yi，zi)，則根據最小二乘原理，平面方程中的待定參數A、B、C由式(5)～式(7)確定。通常假設測點的三維坐標xi、yi、zi之間互不相關，則參數A、B的不確定度可由式(8)、式(9)求得。

A=n∑zi∑yi∑xi∑xizi∑xiyi∑yi∑yizi∑y2in∑xi∑yi∑xi∑x2i∑xiyi∑yi∑xiyi∑y2i

(5)

B=n∑xi∑zi∑xi∑x2i∑xizi∑yi∑xiyi∑izin∑xi∑yi∑xi∑x2i∑xiyi∑yi∑xiyi∑y2i

(6)

C=∑zi∑xi∑yi∑xizi∑x2i∑xiyi∑yizi∑xiyi∑y2in∑xi∑yi∑xi∑x2i∑xiyi∑yi∑xiyi∑y2i

(7)

(8)

(9)

將兩個表面的25個測點/面的測點坐標及測量不確定度帶入式(5)～式(9)中，可得

uA1=0.000 037 035

uB1=0.000 037 016

uA2=0.000 392 74

uB2=0.001 744 3

利用以上獲得的A1、B1、A2、B2不確定度數據及第4節獲得的平面方程參數間的相關系數，計算式(4)，可得uθ=0.002 866°。

可見，與解析法計算求得的夾角θ的不確定度相差很微小，兩種算法求得的結果一致性較高。

6 結束語

立方鏡作為航天器產品的工藝基準，在航天器產品的部裝和總裝過程中起到了關鍵作用，裝配前通過提前標定目標立方鏡和有效載荷的關系矩陣，即可在產品裝配狀態下實現對不可測的有效載荷的間接測量，從而達到獲得和調整有效載荷的安裝位置和姿態的目的。立方鏡和有效載荷的關系矩陣的標定是影響有效載荷裝配精度的主要因素，分析立方鏡自身的測量精度有著重要意義。本文利用立方鏡夾角測量重復性試驗及夾角測量不確定度的解析法和蒙特卡羅方法對立方鏡測量精度進行分析，通過立方鏡采樣試驗數據及理論方法計算得到的不確定度可以得到以下幾點結論：

(1)不同采樣點數的多次試驗中可以看出，立方鏡相鄰面夾角極差、實驗標準差與采樣點數相關性不大，其數值不會隨著采樣點數的增多而變小，但25點/面試驗的3條夾角折線大部分能夠被理論夾角區間包絡，且3條夾角折線的平均線均在理論夾角區間內;

(2)立方鏡相鄰面夾角的測量不確定度隨著采樣點的數量增多而減小，但不確定度的降幅隨著采樣點數的增多呈減小趨勢；

(3)基于蒙特卡羅法和解析法的立方鏡相鄰面夾角測量不確定度評定結果相差微小，兩種評定夾角測量不確定度的方法一致性較好；

(4)當利用本文提及的三坐標測量機對立方鏡平面測量且采點數達到64點/面時，立方鏡相鄰面夾角的測量不確定度約為0.002 0°;

(5)從多次測量試驗數據和理論分析獲得的夾角測量不確定度可以看出，多次試驗測量獲得的立方鏡相鄰面夾角均落在90°±2uθ區間內，試驗數據和理論分析結果是一致的。

基于以上數據和結論，針對航天器產品的工藝基準立方鏡的測量提出以下幾點建議：

(1)應首先根據立方鏡標定精度指標要求評估使用三坐標測量機標定立方鏡的精度是否符合指標要求；

(2)應當根據立方鏡標定精度指標要求，合理選擇三坐標測量機和采樣方案；

(3)當大密度的立方鏡平面采樣點數難以實施時，應評估最少采樣點數，且立方鏡的采樣應重復多次，以多次采樣的平均值作為立方鏡標定輸入條件。