數列模型的實際應用分類解析

黃寧

[摘???要]從四個方面分析數列模型在解決實際應用題中的應用，以培養學生運用數列模型解決實際生活問題的能力.

[關鍵詞]數列;模型;分類;應用

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0030-02

在我們的日常生活中，數列問題隨處可見.比如，銀行計息問題、人口增長問題、植樹造林問題、養老金問題等.學習的目的是什么？就是為了解決實際問題.那么，在數列知識的實際應用中，主要涉及哪些基本模型呢？

一、等差模型

當實際問題滿足在變化過程中增加或減少的是一個固定量時，可把它視為等差模型，這類實際問題可利用等差數列的有關知識加以解決.

[例1]小朋友王偉和賈亮相約世紀廣場玩機器人游戲，他們讓自己的機器人分別從相距70?m的兩處同時相向運動.王偉的機器人第1分鐘走2?m，以后每分鐘比前一分鐘多走1?m，而賈亮的機器人每分鐘都走5?m.請問：（1）倆機器人開始運動后幾分鐘相遇？（2）如果倆機器人到達對方起點后立即折返，王偉的機器人繼續每分鐘比前一分鐘多走1?m，賈亮的機器人繼續每分鐘走5?m，那么開始運動幾分鐘后它們再次相遇？

分析：從數列角度看，王偉的機器人每分鐘行走的路程可看成首項為2，公差為1的等差數列，而王偉的機器人每分鐘行走的路程不變，可看作是常數數列，故本題可用等差模型來解.

解：（1）設[n]分鐘后倆機器人第1次相遇，依題意，有[2n+n（n-1）2+5n=70]，整理得[n2+13n-140=0]，解得[n=7]，[n=-20]（舍）.

故倆機器人第1次相遇是在開始行走后7分鐘.

（2）設[n]分鐘后倆機器人第2次相遇，依題意，有[2n+n（n-1）2+5n=3×70]，整理得[n2+13n-420=0]，解得[n=15]，[n=-28]（舍）.

故倆機器人第2次相遇是在開始行走后15分鐘.

二、等比模型

如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數時，該模型是等比模型，這個固定的數就是公比.等比數列模型往往也涉及等比數列求和公式的應用.

[例2]在德國的一個小鎮上曾經發生過一個令人動容的故事——九歲孤兒尋母.這位孤兒名叫彼得.他以助人為樂的形式表達對母親的思念之情，他在幫助他人之后，懇請被幫助者也去幫助10位需要幫助的人，依次接力下去，被幫助的每個人都這樣把愛心繼續傳遞給不同的人.彼得相信，母親總有一天也會成為被幫助者.假如德國有8220萬人口，請你用數列的觀點回答下列問題：?（1）當n天過去后，用[Sn]表示被幫助者的總人數，請求出[Sn];（2）試問最多第幾天，彼得的母親也會成為被幫助者？

分析：據題意，第1天被幫助的人數為[a1=1]，第2天被幫助的人數為[a2=1+10]，第3天被幫助的人數為[a3=1+10+100]……第[n]天被幫助的人數為[an=1+10+100+？+10n-1]，顯然，數列[{an}]成等比數列，故本例是個等比模型.

解：（1）?據題意，第[n]天被幫助的人數為[an=1+10+100+？+10n-1]?[=10n-19]?.

設到第[n]天為止，得到幫助的總人數為[Sn]，則

[Sn=10-19+102-19+？+10n-19=19（10+102+？+10n-n）]?[=1910n+1-109-n]?.

（2）由[Sn=1910n+1-109-n≤8220×104=8.22×107].

可以這樣估算：當[n=8]時，[S8]?[=12345678<8220×]?[104];當[n=9]時，[S9]?[=123456789>8220×]?[104].?因此最多第9天，彼得可以如愿以償.

三、等差與等比綜合模型

有些應用問題，既含有等差模型，又含有等比模型，需通過兩種模型的綜合，才能解決有關問題.

[例3]我們只有一個地球，保護地球就是保護我們人類自己.自黨的十八大以來，“環保”意識越來越深入人心.保護環境，人人有責.為了凈化空氣，濱河市準備用幾年的時間把正在使用的一萬輛燃油車更換為電力型和混合動力型機動車.先在年初投入128輛電力型公交車和400輛混合動力型公交車.并擬以后每年電力型公交車點的投入是上一年的1.5倍，而混合動力車的投入每年比上一年多投入a輛.試問：（1）經過[n]年后，濱河市會出現多少輛新公交車？（2）濱河市準備在7年內讓燃油車全部“下崗”，那么[a]的最小值是多少？

解：（1）設第[n]年投入的電力型公交車為[an]輛，第[n]年投入的混合動力型公交車為[bn]輛，數列[{an}]是等比數列，且[a1=128]，公比為[q=1+0.5=32]?.數列[{bn}]是首項為400，公差為[a]的等差數列.

數列[{an}]的前[n]項和[Sn=128×1-32n1-32=25632n-1]?.數列[{bn}]的前[n]項和[Tn=400n+n（n-1）2a]，所以經過[n]年，該市更換的公交車總數為：

[S（n）=Sn+Tn=][25632n-1][+400n+n（n-1）2a].

（2）若計劃7年內完成全部更換，所以[S（7）≥1000]，

所以?[256327-1+400×7+7×62a≥1000]，即[21a≥2082]，所以[a≥1461621].又[a∈N？]，所以[a]的最小值為147.

四、遞推數列模型

有些應用問題，既不是等差模型，又不是等比模型，它給出的是一種遞推關系.如何將這種遞推關系通過變形變成等差模型或等比模型，需要解題者自行探索.一是從特殊到一般，即先計算出該數列的前幾項，由此歸納出通項公式，再加以檢驗.對遞推關系式進行合理配湊，直接配成等差數列或等比數列.

[例4]一位幼兒園老師給班上[k（k≥3）]個小朋友分糖果.她發現糖果盒中原有糖果數為[a0]，就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的[12]分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的[13]分給第二個小朋友，以后她總是在分給一個小朋友后，就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內糖果的[1n+1]分給第[n（n=1，2，3，？，k）]個小朋友.設分給第[n]個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內剩下的糖果數為[an].

（1）當[k=3]，[a0=12]時，分別求[a1，a2，a3];

（2）請用[an-1]表示[an];令[bn=（n+1）an]，求數列[{bn}]的通項公式.

分析：欲求數列[{bn}]的通項公式，關鍵是找到數列[{an}]的遞推關系，為此可以通過[a1]與[a0]的關系，[a2]與[a1]的關系，[a3]與[a2]的關系，歸納出[an]與[an-1]之間的遞推關系.

解：（1）當[k=3]，[a0=12]時，[a1=a0+2-12a0+2=7]，[a2=a1+2-13a1+2=6]，[a3=a2+2-14a2+2=6]?.

（2）由題意知[an=an-1+2-1n+1an-1+2=nn+1an-1+2]，[∵][bn=（n+1）an]，[∴bn-bn-1=2n]，

[∴bn-bn-1=2n??，??bn-1-bn-2=2n-2??，？?，?b1-b0=2]?.

累加得[bn-b0=2+2n2n=nn+1]，又[b0=a0]，[∴]故?[bn=nn+1+a0]?.

（責任編輯 黃桂堅）