基于滑模控制理論的前向追蹤制導(dǎo)律研究*

李之翰 王 琦 劉 陽 吳健健

南昌航空大學(xué)，南昌 330063

高超聲速目標(biāo)的攔截，對(duì)攔截器的攔截范圍以及制導(dǎo)精度都提出了更高要求，而使用傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法等方法攔截高超聲速目標(biāo)，難以達(dá)到制導(dǎo)精度要求，或成本過高。

為克服這些困難，Golan O M等人[1-2]提出了一種前向攔截的思想，即通過事先機(jī)動(dòng)將攔截導(dǎo)彈置于目標(biāo)前方的預(yù)測(cè)飛行彈道上，且飛行方向與其保持一致，由于攔截導(dǎo)彈具有較低的飛行速度，目標(biāo)接近導(dǎo)彈，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的攔截。該攔截方式將攔截器速度大于目標(biāo)速度轉(zhuǎn)化為攔截器速度小于目標(biāo)速度，降低了攔截器的能量需求，從而降低控制難度和攔截成本。為研究空-空攔截器制導(dǎo)策略的導(dǎo)引品質(zhì)，有必要研究前向追蹤攔截方式的三維制導(dǎo)算法。張友安等[3]建立了迎面攔截三維模型，該模型中攔截器與目標(biāo)對(duì)向運(yùn)動(dòng)，與前向追蹤攔截有較大不同。文獻(xiàn)[4]基于比例導(dǎo)引設(shè)計(jì)三維制導(dǎo)律，但他的制導(dǎo)律是建立在彈道線性化基礎(chǔ)上，且比例導(dǎo)引的局限性大。趙振昊[5]基于準(zhǔn)平行接近原理[6]設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，他的制導(dǎo)律只需保持視線角為常數(shù)，不要求攔截器與目標(biāo)速度方向一致，因此該制導(dǎo)律不僅僅適用于前向攔截。但是該制導(dǎo)律針對(duì)大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截所需過載較大，且制導(dǎo)末期視線角速度易發(fā)散。文獻(xiàn)[7]運(yùn)用輔助圓設(shè)計(jì)制導(dǎo)律算法，讓攔截器沿輔助圓飛行進(jìn)行攔截，文獻(xiàn)[8]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制應(yīng)用于高超聲速飛行器，這2種方法簡單有效，但對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)沒有很好的適應(yīng)性。由于變結(jié)構(gòu)控制對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)具有良好的魯棒性，而被廣泛運(yùn)用于制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[9]將變結(jié)構(gòu)控制用于高超聲速飛行器。文獻(xiàn)[10-13]用變結(jié)構(gòu)控制理論和模糊控制理論解決導(dǎo)彈等飛行器的攔截問題，取得了一定成果。文獻(xiàn)[14]運(yùn)用高階滑模控制方法，有效抑制了抖動(dòng)。文獻(xiàn)[15]將滑模控制方法用于高超聲速飛行器縱向軌跡研究。

通過建立前向追蹤攔截模型，根據(jù)前向追蹤攔截的限制條件，結(jié)合比例導(dǎo)引的優(yōu)勢(shì)，利用變結(jié)構(gòu)控制對(duì)干擾具有自適應(yīng)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種滑模制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律采用了控制攔截器與目標(biāo)高度角成比例的思想，將低速攔截器始終控制在高速目標(biāo)之前，具有很好的魯棒性。同時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，攔截過程中目標(biāo)通常是機(jī)動(dòng)的，在目標(biāo)5g機(jī)動(dòng)的情況下進(jìn)行仿真，驗(yàn)證制導(dǎo)律的精度。

1 前向追蹤攔截模型

該數(shù)學(xué)模型為三自由度模型，將目標(biāo)和攔截器視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮姿態(tài)變化；目標(biāo)和攔截器的加速度矢量視為與速度矢量垂直，即法向加速度，加速度只改變速度方向，不改變速度大小。圖1為彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖，T和M分別表示目標(biāo)和攔截器；xiyizi表示慣性坐標(biāo)系；xlylzl表示視線坐標(biāo)系；r為二者相對(duì)距離；vt和vm表示速度矢量；at和am表示加速度矢量；θ1和θ2分別表示視線傾角和視線偏角；α1和α2表示vt與視線的夾角；β1和β2表示vm與視線的夾角。通過圖1可推導(dǎo)出前向追蹤攔截的三維運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程，得到各相關(guān)參數(shù)的表達(dá)式。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，aty和atz分別表示at在縱向通道和側(cè)向通道的投影;amy和amz分別表示am在縱向通道和側(cè)向通道的投影。

采用前向追蹤攔截方式，要求攔截器速度小于目標(biāo)速度，即|vm|/|vt|<1。

想要成功攔截目標(biāo)，不僅要求在攔截處|r|→0，也要求目標(biāo)和攔截器運(yùn)動(dòng)方向一致。即

(8)

(9)

導(dǎo)引的目的是達(dá)到式(8)和(9)要求的攔截點(diǎn)，在這一過程中，要求α和β成比例，即

β1=N1α1

(10)

β2=N2α2

(11)

其中，N1和N2是導(dǎo)引系數(shù)。這樣就保證了β隨α減小，使攔截器運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)前方，達(dá)到前向攔截的目的。

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為達(dá)到式(8)和(9)要求的攔截點(diǎn)，本文根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，將攔截器的機(jī)動(dòng)加速度amy和amz作為制導(dǎo)律進(jìn)行設(shè)計(jì)。

導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)是一種強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，考慮如下非線性系統(tǒng)：

(12)

式中，X∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)量;U(t)∈R為控制量;W(t)∈R為系統(tǒng)不確定項(xiàng)，即干擾項(xiàng)。假設(shè)不確定項(xiàng)W(t)有界，且滿足0≤|W(t)|≤b。

根據(jù)滑模控制理論，設(shè)計(jì)滑模面為：

S=CX

(13)

其中，C∈R1×n為定常的，且Cg1(X,t)≠0。

Cg2(X,t)W(t)

(14)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]中設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律，加以改進(jìn)，得到如下制導(dǎo)律：

U(t)=Ueq+Us+Un

(15)

其中，

Ueq=-[Cg1(X,t)]-1[Cf(X,t)]

(16)

Us=-[Cg1(X,t)]-1Ksign(S)

(17)

(18)

式中，Ueq為等效控制項(xiàng);Us為比例導(dǎo)引項(xiàng)，且為非負(fù)定;Un為不確定部分控制項(xiàng)。

定義Lyapunov函數(shù):

(19)

而

(20)

從而有

(21)

由上式可知，設(shè)計(jì)的滑模面滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理，從理論上驗(yàn)證了制導(dǎo)律的可行性。

1)縱向通道

根據(jù)式(10)的限制條件，設(shè)計(jì)滑模面為：

S1=β1-N1α1

(22)

取系統(tǒng)狀態(tài)量X=[r,β1,α1]T，控制量U(t)=amy，干擾量W(t)=aty，得狀態(tài)方程：

(23)

其中：

f1=vmcosβ1cosβ2-vtcosα1cosα2

(24)

(25)

(26)

從而，

Ueq=-vm(f2-N1f3)

(27)

Us=-vmK2sign(S1)

(28)

(29)

可得縱向通道制導(dǎo)律：

(30)

2)側(cè)向通道

與縱向通道制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法同理，根據(jù)式(11)的限制條件，設(shè)計(jì)滑模面：

S2=β2-N2α2

(31)

取系統(tǒng)狀態(tài)量X=[r,β2,α2]T，控制量U(t)=amz，干擾量W(t)=atz，得狀態(tài)方程：

(32)

其中：

h1=vmcosβ1cosβ2-vtcosα1cosα2

(33)

(34)

(35)

可得側(cè)向通道制導(dǎo)律：

(36)

為降低抖振對(duì)滑模運(yùn)動(dòng)過程的影響，可以用飽和函數(shù)sat(Si)代替符號(hào)函數(shù)sign(Si)：

(37)

得到改進(jìn)后的制導(dǎo)律：

(38)

(39)

3 仿真結(jié)果

根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律應(yīng)當(dāng)能夠攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)。在仿真過程中先讓目標(biāo)定速平直飛行；經(jīng)過60s后給目標(biāo)添加法向加速度，機(jī)動(dòng)時(shí)間40s，前20s法向加速度為3g，后20s法向加速度為5g，2次機(jī)動(dòng)方向相反；機(jī)動(dòng)結(jié)束后，目標(biāo)繼續(xù)定速平直飛行。本文利用上述制導(dǎo)律進(jìn)行攔截，分析其導(dǎo)引品質(zhì)，對(duì)目標(biāo)非機(jī)動(dòng)與機(jī)動(dòng)2種情況下的仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

設(shè)置初始條件：vt=1700m/s，vm=1360m/s，N1=N2=2，b1=b2=100，目標(biāo)初始坐標(biāo)(0,20000,0)m，攔截器初始坐標(biāo)(50000,10000,15000)m，許用過載為20g。本文攔截器發(fā)射方式為水平發(fā)射，只考慮攔截器定速飛行的情況。

從圖2和3可以看出，目標(biāo)非機(jī)動(dòng)時(shí)，攔截軌跡很理想，攔截器在141.52s時(shí)成功攔截目標(biāo)；目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)，攔截器能夠隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)而機(jī)動(dòng)，在末端制導(dǎo)中攔截器與目標(biāo)運(yùn)行軌跡逐漸重合，最終在127.49s時(shí)成功攔截目標(biāo)。

從圖4和5可以看出，過載最大值為17g，未超過許用過載，符合實(shí)際要求。攔截器在發(fā)射點(diǎn)達(dá)到最大過載，隨后迅速降至0附近，之后過載隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)而變化，最終趨于0。

圖2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡(目標(biāo)非機(jī)動(dòng))

圖3 相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡(目標(biāo)機(jī)動(dòng))

圖4 法向過載(目標(biāo)非機(jī)動(dòng))

圖5 法向過載(目標(biāo)機(jī)動(dòng))

圖6 α和β(目標(biāo)非機(jī)動(dòng))

圖7 α和β(目標(biāo)機(jī)動(dòng))

圖6和7顯示的是速度與視線夾角α和β的變化趨勢(shì)，可以看出，α和β是成比例變化的，最終都趨于0。

圖8和9顯示的是視線角的變化，θ1是縱向通道的視線角，θ2是側(cè)向通道的視線角。圖8說明，目標(biāo)非機(jī)動(dòng)時(shí)，視線角隨時(shí)間遞增，但其變化率逐漸減小，最終視線角趨于定值；圖9說明，目標(biāo)開始機(jī)動(dòng)后，視線角迅速增大又迅速減小，目標(biāo)結(jié)束機(jī)動(dòng)，視線角變化率減小，視線角最終趨于定值。

圖8 視線角(目標(biāo)非機(jī)動(dòng))

4 結(jié)論

通過分析前向追蹤攔截過程的特性，建立前向追蹤攔截三維運(yùn)動(dòng)模型，基于滑模控制理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，對(duì)攔截過程進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果表明，該方法能夠讓低速攔截器成功攔截高速目標(biāo)，且目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)攔截器能自適應(yīng)改變運(yùn)動(dòng)軌跡，一定程度上解決了比例導(dǎo)引法存在的控制難度大、制導(dǎo)精度不高的問題；本制導(dǎo)律對(duì)加速度干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，適用于對(duì)高超聲速目標(biāo)的攔截；通過估計(jì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度，證明了其也適用于對(duì)復(fù)雜機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截。