基于柯西問題的二階雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制

傅 勤,陳 實，陳小藝

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

引言

迭代學(xué)習(xí)控制由Arimoto等[1]123-140于1984年提出完整的設(shè)計方法后, 已成為近年來控制理論研究的熱點問題, 并引起研究人員的廣泛關(guān)注. 在迭代學(xué)習(xí)控制設(shè)計中, 常用的是D型學(xué)習(xí)律[1]123-140,[2]1177-1182和P型學(xué)習(xí)律[3]590-600,[4]707-714, 分別適用于非正則系統(tǒng)(系統(tǒng)的輸入、輸出無直輸通道)和正則系統(tǒng)(系統(tǒng)的輸入、輸出有直輸通道).

許多實際問題常用偏微分方程所刻畫的分布參數(shù)系統(tǒng)模型來描述, 近年來,分布參數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用已經(jīng)滲透到各個領(lǐng)域, 相應(yīng)的研究工作也取得了不少成果. 然而, 由于其系統(tǒng)變量涉及無窮維函數(shù)空間,至今,將迭代學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于分布參數(shù)系統(tǒng)上的研究成果并不多, 且多集中于拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)[5]619-623,[6]1082-1085,[7]1155-1163,[8]2397-2408,[9]114-122上. 同時, 涉及雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)的研究成果[10]284-293,[11]606-611,[12]1086-1089也比較少,文獻[10]研究了二階雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題,文獻[11][12]則將迭代學(xué)習(xí)控制方法應(yīng)用到一階雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)系統(tǒng)上.從偏微分方程的定解條件角度來看,文獻[5-11]中系統(tǒng)涉及的都是混合問題(既有初始條件, 又有邊界條件的定解問題), 涉及柯西問題(只有初始條件的定解問題)的就很少了.文獻[12]利用Fourier變換，研究了一類一階強雙曲分布參數(shù)系統(tǒng)基于柯西問題的迭代學(xué)習(xí)控制，在輸入、輸出有直輸通道的情形下，構(gòu)建得到P型學(xué)習(xí)律，使得系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差于L2空間內(nèi)沿迭代軸方向收斂.文獻[12]在結(jié)尾中提出了未來進一步可考慮研究的二階雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題.

本文研究一類分布參數(shù)系統(tǒng)基于柯西初值條件的迭代學(xué)習(xí)控制問題，該系統(tǒng)由二階雙曲型偏微分方程所構(gòu)建，有一定的不確定性，且輸入、輸出無直輸通道.對分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制，通常的處理方法[5]619-623,[6]1082-1085, [7]1155-1163,[8]2397-2408,[9]114-122,[10]284-293,[12]1086-1089是：先在空間方向構(gòu)建跟蹤誤差的L2范數(shù), 然后在時間方向上使用λ-范數(shù)等常用的一些處理手段，得到跟蹤誤差在L2意義下的收斂性.本文采用與之不同的處理方法，基于波動方程柯西問題的求解公式[13]7-15，構(gòu)建得到D型迭代學(xué)習(xí)控制律.這種借助于求解公式的處理方式, 據(jù)筆者所知, 應(yīng)屬首次提出，其不僅簡單，而且能使得系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差沿迭代軸方向逐點收斂(現(xiàn)有此類問題的收斂均為L2意義下)，也毋需涉及到λ-范數(shù)等常用的一些處理手段，并且有很大的推廣性(許多偏微分方程都是可求得準確解的[13]7-32,49-59).

1 問題描述

考慮如下形式的不確定二階雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)：

(1)

這里Q(x,t),u(x,t),y(x,t)∈R分別是系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入、輸出；b,c為不確定常數(shù), 滿足0<α1≤b≤α2, 0<β1≤c≤β2，其中α1,α2,β1,β2是已知常數(shù). 輸出y(x,t)表達式中不含有控制輸入u(x,t)，即系統(tǒng)輸入、輸出無直輸通道. 對式(1)給出如下假設(shè)條件：

假設(shè)2 對于給定的理想軌跡yr(x,t), 存在唯一的控制輸入ur(x,t), 使得

-∞

設(shè)式(1)在有限區(qū)間t∈[0,T]內(nèi)是可重復(fù)的, 在迭代學(xué)習(xí)過程中, 重寫式(1)為：

(2)

學(xué)習(xí)控制的目的是尋找適當?shù)膶W(xué)習(xí)律, 使得迭代學(xué)習(xí)序列yk(x,t)逐點一致收斂于理想的輸出yr(x,t)，即：

?(x,t)∈(-∞,+∞)×(0,T].

其中，ek(x,t)=yr(x,t)-yk(x,t).

注1 假設(shè)1-3是通常的構(gòu)建迭代學(xué)習(xí)控制的假設(shè)條件.

引理1 柯西定解問題[13]8-9

的解為：

顯然, 將t>0改為0

2 主要結(jié)果

對式(1)構(gòu)建D型學(xué)習(xí)律

(3)

其中，p>0為學(xué)習(xí)增益，有如下定理：

定理1 假設(shè)1-3成立，如果有

(4)

證明記δQk(x,t)=Qk+1(x,t)-Qk(x,t)，δuk(x,t)=uk+1(x,t)-uk(x,t)，將式(3)改寫為：

結(jié)合假設(shè)3, 有：

應(yīng)用引理1，得：

即：

(5)

由式(2)及假設(shè)3，有：

再由引理1及式(5)，可得：

(6)

由式(2)(6)有：

ek+1(x,t)=ek(x,t)+yk(x,t)-yk+1(x,t)=ek(x,t)-cδQk(x,t)=

ek(x,t)-cbpek(x,t)=(1-cbp)ek(x,t).

由式(4)可得：

|ek+1(x,t)|=|1-cbp||ek(x,t)|≤ρ|ek(x,t)|.

(7)

由壓縮映象原理可知：

?(x,t)∈(-∞,+∞)×(0,T].

證畢.

注3 由式(7)可知, 若選取初始控制u0(x,t)，使得e0(x,t)關(guān)于x,t是一致有界的，即存在正數(shù)M，有：

|e0(x,t)|≤M, ?(x,t)∈(-∞,+∞)×(0,T]

3 結(jié)語

本文研究了一類基于柯西初值條件的分布參數(shù)系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制問題, 該系統(tǒng)由二階雙曲型偏微分方程所構(gòu)建，并具有適定的初值定解條件.同時，提出一種新的處理方式，即在輸入、輸出無直輸通道的情況下，采用D型學(xué)習(xí)律進行控制設(shè)計，得到魯棒迭代學(xué)習(xí)控制器，使得系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差沿迭代軸方向逐點收斂，取得了很好的效果.