油管動力鉗雙聯齒輪軸的模態分析

胡寶軍，陳 東，周井玲，許雪松

(1.江蘇如通石油機械股份有限公司，江蘇 南通 226400；2.南通大學 機械工程學院，江蘇 南通 226000)

0 前言

油田的修鉆井作業中最為關鍵的環節就是管柱的上卸扣作業，國內外的所有產品中動力大鉗和鐵鉆工是使用最為廣泛的工具。動力大鉗按照使用用途可以分為：鉆桿動力鉗、套管動力鉗和油管動力鉗[1-2]。美國WEATHERFORD公司在2005年開發了一種閉口動力鉗，并在2005年獲得了近海技術會議最優機械裝置的榮譽，這款動力鉗最大的特點就是主鉗和背鉗是一體式的，上管柱與下管柱可以實現迅速對中，有利于動力鉗的平穩運行[3]。

XQ140/20油管動力鉗是一種在油田上快速上卸螺紋的一種開口式動力鉗，適用于直徑范圍在Φ42～Φ140 mm范圍內的油管，與同類型的其他液壓動力鉗相比，具有結構緊湊、操作方便、性能可靠、使用壽命長等優點。

XQ140/20油管動力鉗主鉗系統是由齒輪傳動帶動的，而齒輪在傳遞較大的載荷時，輪齒的嚙合表面始終處于接觸狀態，導致輪齒間的接觸、分開、再接觸的反復沖擊，對主鉗系統動態特性產生了不良的影響。這些將會導致動力鉗的振動，影響動力鉗使用的可靠性與安全性[4-6]。

1 油管動力鉗雙聯齒輪軸固有頻率的理論計算

解決振動問題的方法，不外乎是理論分析方法與實驗研究方法，二者是相輔相成的。而理論方法首先要做的就是依據研究的對象建立對應的物理參數模型，即以質量、阻尼、剛度為參數的關于位移的振動微分方程，然后求得特征值和特征向量，進而得到模態參數模型即系統的模態頻率、模態向量、模態阻尼等[7]。

以主鉗傳動系統的雙聯齒輪軸為研究對象，軸上有雙聯齒輪、軸承、軸承密封圈、襯套，雙聯齒輪組件及雙聯齒輪軸，分別如圖1和圖2所示。

圖1 雙聯齒輪組件

圖2 雙聯齒輪軸

對雙聯齒輪軸進行簡化處理，將其簡化成等截面的軸，軸的當量直徑為

(1)

式中，L為雙聯齒輪軸的長度；ln為階梯軸每段的長度；dn為階梯軸每段的直徑大小；d為當量直徑，計算后求得當量直徑d=29 mm。

簡化之后的物理參數模型如圖3所示。

圖3 雙聯齒輪軸的物理參數模型

1.1 瑞利商法

首先通過瑞利商法估算系統的基頻。多自由度系統的運動微分方程一般為

(2)

式中，M為系統的質量矩陣；C為系統的阻尼矩陣；K為系統的剛度矩陣；F(t)為外部激勵列陣。

由于所求的是雙聯齒輪軸的自由模態，所以振動微分方程中阻尼矩陣C為0，外部激勵列陣F(t)也為0，簡化之后的振動微分方程為

(3)

采用瑞利商法計算雙聯齒輪軸的基頻。根據瑞利商法可以得到

(4)

式中，R(ω)是一個標量，任取一向量w并將向量k和向量m帶入式(4)中，最終求得雙聯齒輪軸的基頻為 3 978.21 Hz。

1.2 柔度系數法

通過瑞利商法對雙聯齒輪軸的基頻進行了理論計算，但是瑞利商法所求得的特征值永遠不會低于第一特征值，而第一特征值也就是瑞利商能取的極小值。所以使用柔度系數法對雙聯齒輪軸進行固有頻率的理論計算，并把計算處的結果和瑞利商法求出的基頻進行比較。

依然使用所建立的物理參數模型和振動微分方程。將微分方程(3)兩邊同時除以[k]ω2，將其轉化為關于固有頻率的振動微分方程。轉化之后的微分方程為

(5)

式中，fij為柔度系數，可以通過當量直徑d將柔度系數解出

(6)

求解式(5)可以求出雙聯齒輪軸前3階的圓頻率，通過式(6)可以知道圓頻率和固有頻率之間的關系，進而求出雙聯齒輪軸前3階的固有頻率，表1為雙聯齒輪軸的前3階固有頻率。

表1 雙聯齒輪軸前三階固有頻率

通過理論計算發現：雙聯齒輪軸前面3階的固有頻率均遠遠大于液壓馬達的旋轉頻率16 Hz, 所以不會產生共振。

通過將柔度系數法所求的基頻與瑞利商法所求的基頻進行對比，二者相差了2.3%，且瑞利商法所求的基頻略大于柔度系數法所求的基頻。

2 雙聯齒輪軸的有限元模態分析

隨著計算機技術的飛速發展和有限元軟件的日趨成熟，采用有限元分析法已經可以對雙聯齒輪軸進行模態分析[8]。

對雙聯齒輪軸進行有限元模態分析，首先就是要建立雙聯齒輪軸的有限元模型。所以先在ANSYS Workbench中建立雙聯齒輪軸的三維模型，并對其進行適當的簡化處理，除去雙聯齒輪軸上的圓角、倒角等特征，然后將雙聯齒輪軸的材料屬性設置為：密度ρ等于7 800 kg/m3,彈性模量E等于2×105MPa,泊松比μ等于0.3。網格大小設置為2 mm,然后對雙聯齒輪軸進行自由網格的劃分，如圖3所示。

圖4 雙聯齒輪軸的網格劃分示意圖

對雙聯齒輪軸進行自由模態的分析，為了方便找出規律，取雙聯齒輪軸前13階頻率和振型進行分析，表2列出了其前13階的模態結果。

表2 雙聯齒輪軸前13階模態結果

根據有限元模態分析的結果得出雙聯齒輪軸的各階固有頻率和模態振型，1～6階自由模態均是剛體模態，而第11階雙聯齒輪軸產生剛體轉動，也沒發生變形。因為雙聯齒輪軸為軸對稱模型，所以除了剛體模態以外的模態都是兩兩相等，從圖5和圖6可以證實這一點。

圖5 雙聯齒輪軸第7階振型

圖6 雙聯齒輪軸第8階振型

圖7和圖8分別顯示了第9階和第12階的模態振型。通過圖片可以看出雙聯齒輪軸的各段均有明顯的彎曲振動，且隨著固有頻率的增加，雙聯齒輪軸的振動也越來越大。除了剛體模態，雙聯齒輪軸最小的固有頻率為3 900 Hz，遠遠大于液壓馬達的頻率16 Hz，所以雙聯齒輪軸完全避開了共振頻率。

圖7 雙聯齒輪軸第9階振型

圖8 雙聯齒輪軸第12階振型

3 雙聯齒輪軸的實驗模態分析

實驗模態分析作為研究模態的重要手段和方法。通過人為的激勵輸入時結構產生振動，然后運用數字信號處理技術獲得頻響函數、脈沖響應函數等，再運用參數識別方法，求得系統的模態參數[9]。通過B&K測試得到了雙聯齒輪軸的實驗模態，并將之與理論計算和有限元模態分析結果進行對比。三種求解方法的比較見表3。

表3 雙聯齒輪軸的理論、有限元、實驗模態分析對比

理論計算求出雙聯齒輪軸的基頻為3 954.23 Hz；有限元分析求出雙聯齒輪軸基頻為3 900 Hz,與理論計算的誤差僅為1.4%，而通過B%K聲學與振動測試儀器測量雙聯齒輪軸的固有頻率為4 068.14 Hz，與理論計算的誤差為2.9%，驗證了有限元分析對于雙聯齒輪軸模態分析的正確性。通過有限元分析得出雙聯齒輪軸的多階模態頻率和模態振型。

4 結論

(1)通過瑞利商法和柔度系數法兩種理論方法計算雙聯齒輪軸的基頻，兩種方法所求基頻相差2.3%，由于瑞利商法是近似求解，所以取雙聯齒輪軸的基頻為3 954.23 Hz。

(2)使用ANSYS Workbench有限元分析軟件對雙聯齒輪進行有限元模態分析，與理論計算相差為1.4%，使用B&K儀器對雙聯齒輪軸進行模態分析，與理論計算相差為2.9%，三者相近，驗證了有限元分析的正確性，也驗證了實驗模態分析的準確性，為油管動力鉗的動力學優化分析做了標定，提供了理論依據。