基于Heston模型的期權定價與波動率建模

摘要：本文首先回顧期權定價方法的經典模型及發展過程。隨后介紹了Heston模型的歐式期權半顯式解的形式。實證部分對象為上證50ETF期權，使用了LM算法對Heston模型進行參數估計，并評估了該模型的隱含波動率擬合情況。文章最后，對Heston模型研究的進一步發展進行了展望。

關鍵詞：期權定價;Heston模型;隨機波動率模型;上證50ETF期權;隱含波動率

研究背景

隨著我國金融市場愈發成熟，包括期權在內的金融衍生品交易也愈發活躍。上證50ETF期權，作為我國金融市場上唯一一支交易量大，流動性好的期權品種，對滿足我國投資者風險對沖的需求有著重大的意義。

1973年， Black和Scholes提出了著名的BS期權定價模型，直至今仍有非常重大的意義。但是，BS模型存在著一個重大缺陷，即它無法解釋現實中廣泛存在的“波動率微笑”現象，為解決這一缺陷，學者們在BS模型基礎上，相繼提出了CEV模型（Cox & Ross， 1975），跳躍——擴散模型（Merton， 1976），CIR模型（Cox， Ingersoll & Ross， 1985）以及本文介紹的Heston模型（Heston， 1993）等。

Heston模型對歐式看漲期權價格有：

其中，

另外，歐式看跌期權價格可由漲跌平公式得到，為簡化討論，在實證研究部分，本文也只研究歐式看漲期權。

實證研究

參數估計

我們以2019年4月1日上證50ETF期權的44種看漲期權合約，進行研究。當日50ETF（$510050$）凈值為2.877。由Heston模型看漲期權的解析解，得到Heston模型期權價格，另有觀測到的期權市場價格。到此，只需解決如下的優化問題：

綜合考慮，選擇了LM算法進行模型校正工作。并由此得出參數估計結果：，，， ，

隱含波動率曲面擬合優度檢驗

檢驗Heston模型對距到期日23天，51天，86天，177天的四類期權隱含波動率擬合情況可以發現，擬合優度明顯隨著到期日距離變長而上升，對23天到期的期權擬合情況不佳，而對177天到期的期權卻擬合的非常好。事實上，這是Heston模型的一個固有缺陷。對此，一種解釋是：當離行權日越來越近，交易也變得越來越頻繁，這使得期權的波動率更加無法預測。下文會提到對Heston模型的各種改進。

結論

總的來說，Heston模型的確能較好的刻畫出上證50ETF期權的“波動率微笑”現象，唯一不足在于對短剩余期限的期權隱含波動率擬合欠佳。

為解決這一問題，有人試圖發展出時變的Heston模型，也有人曾提出“雙Heston模型”， 但任何對模型的擴展又會造成一些新的問題，如：加大了參數估計量， 新模型不存在顯示解或是模型的泛化性能差等。

Heston模型雖然于90年代就已經被提出，但近年來的許多文章不斷地發掘出以前未知的關于Heston模型的性質，為模型定價和參數估計提供了新的理論指導。也許對性質進一步的探討，才是Heston模型未來發展的方向。

參考文獻：

[1]FABRICE D ROUAH. The heston model and its extensions in matlab and C#，+ Website[M]. Wiley， 2013.

[2]RPLLIN et al.A new look at the Heston characteristic function[Z]. 2009.

[3]李星. Heston模型下的歐式期權定價及隱含波動率研究[D].成都：西南財經大學， 2016

[4]RICARDO CRISOSTOMO. An analysis of the heston stochastic volatility model： implementation and calibration using matlab[EB/OL]. https：//papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm？abstract_id=2527818

[作者簡介] 吳致中（1998—），男，漢，江蘇蘇州人，四川大學商學院。