基于結構-整機性能映射模型的機床薄弱件結構優化方法

楊 勇 孫 群 沈曄湖 蔡曉童 李 華 張子鉞

(1.蘇州科技大學機械工程學院， 蘇州 215009； 2.蘇州科技大學蘇州市精密與高效加工技術重點實驗室， 蘇州 215009；3.上海電機學院機械工程學院， 上海 201306)

0 引言

隨著市場發展及汽車、船舶、軍工等行業需求的不斷提高，其對現代數控機床性能提出了更高的要求[1-3]，而通過其結構部件的優化設計來提高機床性能一直是相關研究的熱點[4-6]。

根據機床結構部件優化設計方法中優化目標評價尺度的不同，可以將機床結構部件優化設計方法大致分為兩類：第1類是以結構件自身性能作為結構優化評價指標，采用元結構法[7-8]、靈敏度分析法[9]、仿生法[10-11]、拓撲法[12-13]等，面向結構件自身動靜態性能進行結構件優化設計。第2類是以機床整機動靜態性能等作為評價指標，面向整機性能進行結構部件的優化設計[5,14-16]。

在第1類研究中，由于其僅針對單個機床結構件自身動靜態性能且在非實際裝配條件下對結構件優化設計，忽略了裝配邊界約束影響，邊界條件設置不準確，無法判定結構件在裝配約束工況下的結構性能；此外，數控機床整機包含有多個結構部件，無法通過單個結構部件性能優化精確反映整機性能；且優化結構對象的選取存在一定的盲目性，無法判定該結構件是否屬于整機薄弱環節，優化效率偏低。

在第2類研究中，部分研究通過對整機的動靜態性能分析，找出其薄弱結構部件，并通過對該薄弱結構件的優化設計實現整機性能的改善。這種基于整機分析對結構件指導優化的思路可以有效提高優化效率。但因其無法構建裝配工況下薄弱結構件參數與整機性能之間的映射關系，其在整機分析確定薄弱結構件的基礎上，仍然只能選取薄弱結構件自身動靜態性能作為結構件優化評價指標，對薄弱結構件進行類似于第1類方法的孤立式結構優化，依然無法真正實現面向整機性能的薄弱件結構優化設計。

此外，部分商用軟件[17]可以實現整機裝配約束工況下對特定部件的結構優化設計，但其優化評價指標選擇多受限于軟件本身，且隨著產品復雜程度的不斷增加，整個優化過程十分耗時甚至無法實現，其普適性受到一定制約。

針對上述問題，本文提出一種基于結構-整機性能映射元模型的機床薄弱件結構優化方法。該方法首先通過機床整機性能分析確定薄弱結構部件。其次，提出基于擴展常數自組織選取橢圓基函數(Elliptical basis function，EBF)的結構-動靜態性能映射元模型建模方法，對EBF神經網絡進行改進，提出基于擴展常數自組織選取的EBF建模方法，通過擴展系數的自組織選取確定不同橢圓基函數合理的參與度與重疊性，避免所有橢圓基函數圖形偏平或偏尖而影響EBF建模精度；基于改進后的橢圓基函數神經網絡構建薄弱件結構-整機動靜態性能映射元模型。通過實例樣本數據驗證該映射元模型有效性和可靠性。在此基礎上，根據上述薄弱件結構-整機動靜態性能映射關系，以薄弱結構部件為優化對象，以整機動靜態性能為評價指標，以期實現面向機床整機動靜態性能的薄弱結構部件結構優化。

1 基于動靜態特性分析的機床薄弱結構件確定

通過有限元方法構建機床結構力學分析模型，并對其進行動靜態特性分析，確定薄弱結構部件，以進一步實現基于結構-整機性能映射元模型的機床薄弱件結構優化，并且將此分析結果作為約束條件，確保優化后機床的動靜態性能優于優化前。

以某型號機床為例，基于商用有限元軟件構建該機床有限元模型，床身、主軸箱、床鞍、刀架等部件采用三維實體單元進行建模，采用灰鑄鐵材料，彈性模量為118 GPa，泊松比為0.28，密度為7 200 kg/m3，其他構件為結構鋼材料，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 800 kg/m3。由于機床結構復雜，存在如小倒角、小圓角、螺紋孔、高度較小的階梯結構等細微結構，為便于網絡劃分，可以將其去除。主軸箱和床身采用固定連接，床鞍與床身之間采用導軌滑塊進行連接，通過查詢產品零件技術參數手冊，可得其導軌滑塊切向、垂向剛度分別為 5.66×109、3.76×109N/m，刀架與床身之間采用導軌滑塊進行連接，其導軌滑塊切向、垂向剛度分別為1.73×108、1.38×108N/m，實際建模中采用切向彈簧和垂向彈簧進行模擬，該機床結構整體有限元模型見圖1。

圖1 某型號機床結構整體有限元模型Fig.1 Integral finite element model of one machine tool structure

采用指數模型對切削力進行推導計算，其模型為[18]

(1)

式中Ff——牽引切削力

Fp——背向切削力

Fc——主切削力ap——切削深度

vc——切削速度f——進給速度

CFc、CFp、CFf——切削系數，根據加工條件決定

xF、yF、nF——各因素對切削力的影響程度指數

KFc、KFp、KFf——不同加工條件對各切削分力的影響修正系數

一般在粗加工時切削力大，故按粗加工情況進行切削力計算，根據該機床產品的切削指導手冊，將執行粗加工的參數代入式(1)進行計算，其中所選的切削用量參數為ap=3 mm、f=0.3 mm/r、vc=325 m/min，最終得Fc=1 427.5 N、Fp=1 063.4 N、Ff=1 159.7 N，在進行靜態特性分析時，將該載荷施加在刀具中心點位置處。

圖2 靜力變形云圖(刀具中心點變形量為21.2 μm)Fig.2 Cloud chart of static deformation(tool center deformation was 21.2 μm)

對其進行動靜態特性分析，計算得到靜載變形云圖如圖2所示，其中刀具中心點變形量為21.2 μm，通過模態分析計算得到機床的前3階固有頻率及振型描述見表1，其中第1階振型云圖見圖3。從動態特性的振型描述及振型云圖可以看出，低階振型多表現為床鞍及其所承載托架跟隨其產生的運動，由此可確定床鞍即為對低階振型影響程度大的結構件。

表1 前3階固有頻率及其振型描述Tab.1 The first three orders natural frequencies and their vibration modes description

圖3 第1階振型云圖(36.62 Hz)Fig.3 The first order vibration mode (36.62 Hz)

2 基于擴展常數自組織選取EBF的動靜態性能結構映射元模型建模

2.1 基于擴展常數自組織選取的改進EBF建模

(2)

將λ寫作λ=(λ1,λ2,…,λN+1)，gj(‖x-xj‖m)為橢圓基函數，可寫作gj(x)，‖x-xj‖m為馬氏距離。

對于N個輸入輸出樣本(xi，y(xi))(i=1，2，…，N)，式(2)應滿足

(3)

將式(3)寫作矩陣形式

Y=GλT+λN+1E

(4)

其中

Y=[y(x1) …y(xi) …y(xN)]T
gj(xi)=gj(‖xi-xj‖m)

式中E——單位向量

因待求加權系數向量λ包含N+1個變量，因此增加約束方程，令

1.2.3 血壓測量:采取經校正的臺式血壓計,在受試者靜坐5~10分鐘后采取右臂測量2次,每次間隔至少1分鐘,取3次均值為其血壓值。

(5)

若在橢圓基函數gi(xj)=gi(‖xj-xi‖m)確定的情況下，聯立式(4)、(5)便可以求解得到線性加權系數向量λ=(λ1,λ2,…,λN+1)。因Multiquadric函數具有全局性估計的特點，求解時選取其作為橢圓基函數，將其寫為

(6)

式中S——協方差矩陣

Si——S的對角線元素

σj——擴展常數

從式(6)可以看出，橢圓基函數不僅含變量x且包含擴展常數σj，因此在聯立式(4)、(5)求解線性加權系數向量λ時必須確定擴展常數σj，擴展常數σj表征了橢圓基函數的寬度，擴展常數σj越小，橢圓基函數的寬度越小，橢圓基函數的選擇性越強、參與度越大，從橢圓基函數圖形來看其就越尖；反之擴展常數σj越大，基函數寬度越大，從而其選擇性降低，不同基函數之間的重疊性較大，從橢圓基函數圖形來看其就越平坦[19-20]。因此，需要選取合適的擴展系數以確定不同橢圓基函數合理的參與度與重疊性，避免所有橢圓基函數圖形偏平或偏尖。而通常情況下，為便于求解，常設定所有的擴展常數σj相等且根據經驗進行取值，勢必會造成不合理的橢圓基函數的參與度與重疊性，從而影響EBF建模的精度。因此，提出基于樣本點數據的擴展常數自組織選取確定方法，通過樣本點數據的訓練學習，依賴于樣本數據自身特性來選取確定擴展常數σj。

定義誤差

ek=|y(xk)-(xk)| (k=1，2，…,N)

(7)

將式(2)與式(6)代入式(7)，可得

(8)

(9)

將N個樣本點數據(xk，y(xk))代入式(9)，通過樣本點數據的訓練學習，采用多目標優化算法可以求解得到當目標函數式(9)取得最小值時的i，從而最終實現了基于樣本點數據的擴展常數自組織選取，根據該求解結果可定義擴展系數向量=(1，2，…,i)，并將其代入式(6)，可以得到基于擴展常數自組織選取的橢圓基函數，在此基礎上進一步將式(6)代入式(2)便可以得到基于擴展常數自組織選取的改進EBF模型。

2.2 基于改進EBF的動靜態性能結構映射元模型構建

基于上述改進EBF模型，構建結構-整機性能映射關系元模型，將改進后EBF模型的輸入向量x=(x(1),x(2),…，x(i)，…，x(n))T對應于結構件的一系列結構參數變量，其中x(1)為結構件的某一結構參數變量；將改進后EBF模型的輸出向量y(x)=(y(1),y(2),…，y(i)，…，y(P))T對應于一系列動靜態性能評價指標，例如選取低階固有頻率作為動態性能評價指標、選取刀具中心點最大變形量作為靜態變形評價指標等，其中P為動靜態性能評價指標個數。借助基于有限元構建的機床力學分析模型，求解得到一系列結構-整機性能樣本數據點(xi,y(xi))，即

y(xi)=F(xi) (i=1，2，…，N)

(10)

式中F(·)——基于機床有限元模型的動靜態特性分析求解過程

將上述得到的結構-整體性能樣本數據點(xi,y(xi))代入式(4)～(6)、(9)，依照前述基于擴展常數自組織選取的改進EBF建模方法，可優化求解得到自組織選取擴展系數及最終的基于擴展常數自組織選取的改進EBF模型，該模型的輸入為結構參數變量，輸出為整機性能評價指標，從而構建基于改進EBF的結構-整體性能映射關系。

綜上所述，并結合2.1節內容，基于改進EBF的動靜態性能結構映射元模型建模過程如圖4所示，從圖4可以看出，在結構-性能元模型建模的基礎上，通過定義各個結構設計變量的范圍、動靜態性能目標函數、約束條件等，基于多目標優化算法可以實現基于動靜態性能結構映射元模型的機床薄弱件結構優化。

圖4 動靜態性能結構映射元模型建模及薄弱件結構參數優化過程Fig.4 Mapping meta modeling between dynamic and static performance and structure and also structural parameter optimization

從圖4可以看出，動靜態性能結構映射元模型建模及結構參數優化過程，需要定義結構設計變量、元模型誤差檢測方法、樣本DOE實驗設計方法等。可以通過整機分析選取其薄弱結構部件作為設計對象；常用的元模型誤差評價方法包括顯著性檢驗、復相關系數法、均方誤差法(RMSE)等[21-23]；實驗設計方法包括全因子方法、中心復合法、超拉丁方方法等[21-23]。此外可以看出，當通過樣本檢測后結構性能映射元模型誤差較大不滿足要求時，則需要適當增加樣本采集點重新構建映射關系模型，從而一定程度上實現了以盡可能少的樣本點設計來建立滿足誤差要求的結構-性能映射元模型的目的，這對于求解樣本點實際值時需要耗費計算成本較大的情況是非常有利的。此外，不同于以往優化過程中設計響應目標函數只能選擇商用軟件所設置提供的目標函數類型，基于結構-整機性能映射元模型的動靜態性能優化過程中設計響應目標函數選取可以不受軟件限制，亦可以選取其他動靜態性能評價指標如動態響應中的結構最大振幅、振動衰減時間等來構建該評價指標與結構之間映射關系元模型，從而進一步實現結構性能優化。

3 基于薄弱件結構-整機性能映射元模型的薄弱件結構優化

根據第2節中基于改進EBF的動靜態性能結構映射元模型建模方法，構建所研究機床實例的薄弱件結構-整機動靜態性能元模型，并通過實例樣本數據驗證所建立映射元模型的有效性和可靠性。在此基礎上，根據上述薄弱件結構-整機動靜態性能映射關系，實現面向機床整機動靜態性能的薄弱結構部件結構優化。

通過前述分析得到所研究實例機床薄弱件為床鞍，選取其結構參數作為設計變量，根據其結構特點選取其兩側板厚度為變量x1、前側板厚度為變量x2、底板厚度為變量x3、背部肋板厚度為變量x4、底部肋板為變量x5。兩側板、前側板、底板、背部肋板、底部肋板具體位置如圖5所示。所對應的設計變量變化范圍如表2所示；選取一階固有頻率作為動態性能評價指標；選取刀具中心點變形量作為靜態性評價能指標。根據前述改進EBF的結構-整機性能元模型建模方法，考慮裝配邊界約束影響，在實際裝配條件下以整機動靜態性能為評價指標，以薄弱結構部件為優化對象，基于多目標優化算法，對所研究機床實例的床鞍結構進行優化。

圖5 機床薄弱結構部件實例Fig.5 Design variables for weak structural components

初始值下限上限兩側板厚度x1403050前側板厚度x2403050底板厚度x3322242背部肋板厚度x4201030底部肋板厚度x5201030

以優化前機床的動靜態性能作為約束條件，在保證床鞍質量不多于優化前質量以及刀具中心點位移不大于優化前刀具中心點變形量的情況下，盡量使其一階固有頻率最大。定義優化問題為

(11)

式中M0——床鞍初始質量，為0.998 t

x1x、x2x、…、x5x——設計變量的下限值

x1s、x2s、…、x5s——設計變量的上限值

δ0——初始變形量

f0——初始頻率

基于優化拉丁方設計方法進行試驗設計，根據

表3 結構設計變量及動靜態性能指標部分樣本數據Tab.3 Structural design variables and part of data samples of dynamic and static performance indicators

得到的EBF動靜態性能結構映射元模型協方差矩陣S為

(12)

借助機床有限元模型求解得到的檢驗用樣本數據(表5)對該動靜態性能結構映射元模型進行檢驗，從表5可以看出，通過結構映射元模型得到的計算結果與實際值誤差較小，采用復相關系數評價動靜態結構映射元模型計算結果與真實值之間誤差，通過計算可以得到其復相關系數均在0.995以上，說明所建立映射元模型的準確性和有效性，從而驗證了該結構-整機性能映射元模型構建方法是正確的。

根據上述動靜態性能結構映射元模型數學映射關系，基于多目標優化算法，對上述優化問題進行求解。圖6為基于動靜態性能結構映射元模型得到的x1-x2-y1和x1-x2-y2關系圖；優化前后設計變量及動靜態特性評價指標見表6，可以看出優化后，設計變量x4較初始值增加，x1、x2、x3、x5較初始值減小，且其中x2、x3降低程度較大，優化前后刀具中心點變形量降低了12.8%，而床鞍質量下降了9.7%，并且整機一階固有頻率增加了6.9%。

表4 動靜態性能結構映射元模型部分加權系數λTab.4 Weighted coefficient value of dynamic and static performance-structure mapping meta-model

表5 動靜態性能結構映射元模型求解與實際值比較Tab.5 Comparison between result from structure-performance mapping meta-model and actual value

圖6 基于動靜態性能結構映射元模型得到的x1-x2-y1和x1-x2-y2關系圖Fig.6 Relationship graph of x1-x2-y1 and x1-x2-y2 based on mapping meta model between structure and dynamic and static performance

x1/mmx2/mmx3/mmx4/mmx5/mmδ/mmf/HzM/t優化前40403220200.0212036.620.998優化后35.9831.2323.1426.2115.950.0184739.180.906變化率/%-12.86.9-9.7

4 結論

(1)提出了一種基于結構-整機性能映射元模型的機床薄弱件結構優化方法。首先通過機床動靜態特性分析確定薄弱結構部件。其次，提出基于擴展常數自組織選取橢圓基函數的結構-動靜態性能映射元模型建模方法，構建薄弱件結構-整機動靜態性能物理映射關系。最后，根據上述薄弱件結構-整機動靜態性能物理映射關系，以薄弱結構部件為優化對象，基于多目標優化算法，實現面向整機動靜態性能的機床薄弱部件結構優化。

(2)以某型號機床為例，通過樣本數據檢驗得到：所建立的動靜態性能結構映射元模型計算結果與實際值之間復相關系數均在0.995以上，說明所建立映射元模型的準確性，驗證了該結構-整機性能映射元模型構建方法的正確性。根據其薄弱結構件-整機性能映射關系對薄弱件優化后，刀具中心點變形量降低了12.8%，而床鞍質量下降了9.7%，且整機一階固有頻率增加了6.9%。