含落角約束打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)偏置比例制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

郝 峰,王鵬飛,張 棟

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,陜西 西安 710072;2.西北工業(yè)大學(xué) 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072;3.中國(guó)兵器工業(yè)第二○三研究所,陜西 西安 710065)

末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的目的是使導(dǎo)彈在擊中目標(biāo)時(shí)獲得最小脫靶量。此外,為使導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時(shí)姿態(tài)最佳,進(jìn)而使戰(zhàn)斗部發(fā)揮最大效能,取得最佳毀傷效果,往往還需要對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定向打擊,即滿足落角約束[1-7]。如希望反坦克導(dǎo)彈能夠以接近垂直下落的方式命中目標(biāo)的頂裝甲以獲得最大穿深。文獻(xiàn)[8]利用自適應(yīng)比例制導(dǎo)律對(duì)高超聲速飛行器進(jìn)行導(dǎo)引,通過(guò)改變比例系數(shù)來(lái)對(duì)靜止目標(biāo)進(jìn)行垂直打擊。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于偏置比例導(dǎo)引法的帶落角約束打擊地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)律。該制導(dǎo)方案擴(kuò)大了導(dǎo)彈的捕獲域。然而,當(dāng)采用該制導(dǎo)方案以尾追方式攻擊目標(biāo)時(shí),導(dǎo)彈的制導(dǎo)性能會(huì)下降。文獻(xiàn)[10]提出了一種間接作用角控制的偏置比例制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[11]提出了一種通過(guò)調(diào)節(jié)偏置項(xiàng)來(lái)滿足終端角度約束以及導(dǎo)引頭視場(chǎng)范圍限制的偏置比例制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[12]通過(guò)設(shè)計(jì)偏差反饋?lái)?xiàng)來(lái)獲得了一種基于比例導(dǎo)引法的攔截角控制制導(dǎo)律。通過(guò)調(diào)整比例導(dǎo)引法中導(dǎo)引系數(shù)的值,文獻(xiàn)[13]分2個(gè)階段調(diào)節(jié)比例導(dǎo)引系數(shù),在二維平面內(nèi)分別實(shí)現(xiàn)碰撞角約束條件下對(duì)固定目標(biāo)的攻擊。文獻(xiàn)[14]進(jìn)而又將該制導(dǎo)方案擴(kuò)展到全向打擊地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的情況。但這兩種制導(dǎo)方案均需要改變制導(dǎo)模式。由于可能會(huì)造成控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定,因而制導(dǎo)指令的突然改變是不可取的。雖然以上研究均包含落角約束打擊靜止目標(biāo)或運(yùn)動(dòng)目標(biāo),但其制導(dǎo)方案較難同時(shí)實(shí)現(xiàn)全向打擊及具有寬松的初始發(fā)射條件。

為了解決該問(wèn)題,本文提出了一種打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的偏置比例制導(dǎo)律。首先,通過(guò)導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng),將目標(biāo)視為一個(gè)虛擬的靜止目標(biāo)。進(jìn)而,可將打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題降階為打擊該虛擬靜止目標(biāo)的問(wèn)題。對(duì)于飛行軌跡角的約束控制,可間接地通過(guò)控制相對(duì)飛行軌跡角來(lái)實(shí)現(xiàn)。通過(guò)相對(duì)關(guān)系以及引入偏置相對(duì)比例導(dǎo)引的思想,要求相對(duì)飛行軌跡角速率與視線角速率成比例,并利用瞬時(shí)變換以及小角度假設(shè)對(duì)偏置項(xiàng)進(jìn)行設(shè)計(jì)以控制約束角。由于所提制導(dǎo)方案進(jìn)行落角約束時(shí)需要獲取剩余時(shí)間信息,在本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)方案的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)得到了一種較為精確的針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)并同時(shí)考慮比例和偏置項(xiàng)影響的剩余時(shí)間估計(jì)方法。

1 問(wèn)題描述

導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)幾何關(guān)系如圖1所示,其中Oxy為慣性坐標(biāo)系,vm和vt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度,并認(rèn)為其大小為常值。

如圖1所示,假設(shè)目標(biāo)背離導(dǎo)彈從左向右運(yùn)動(dòng),即認(rèn)為目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡角為0。根據(jù)幾何關(guān)系,導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:γm為導(dǎo)彈的飛行軌跡角,am為導(dǎo)彈的法向加速度,φ為視線角。導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)速度矢量vR為

vR=vm-vT

(6)

定義γR為導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)飛行軌跡角,其為相對(duì)速度矢量與基準(zhǔn)線之間的夾角(逆時(shí)針為正),如圖1所示。根據(jù)幾何關(guān)系,可以得到相對(duì)飛行軌跡角γR的表達(dá)式為

(7)

定義速度比β=vt/vm,則式(7)可以簡(jiǎn)化為

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行求導(dǎo),可得:

(9)

(10)

通過(guò)觀察可以分析出,式(10)建立了導(dǎo)彈實(shí)際的飛行軌跡角速率與相對(duì)飛行軌跡角速率之間的關(guān)系,也意味著建立了實(shí)際的制導(dǎo)指令與虛擬指令之間的關(guān)系。對(duì)于式(10)的分子項(xiàng)可知,其滿足:

1-2βcosγm+β2≥(1-β)2>0

(11)

定義相對(duì)前置角σR為

σR=γR-φ

(12)

結(jié)合以上處理,式(3)和式(4)可以簡(jiǎn)化為

(13)

(14)

此外,通過(guò)式(13)和式(14),可將地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)視為一個(gè)虛擬靜止目標(biāo),從而將整個(gè)制導(dǎo)問(wèn)題簡(jiǎn)化。假設(shè)整個(gè)過(guò)程被理想跟蹤,便可以通過(guò)控制相對(duì)飛行軌跡角γR而間接實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行軌跡角γm的控制,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的定向打擊。

打擊目標(biāo)是末制導(dǎo)階段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的第一要?jiǎng)?wù)。此外,為增強(qiáng)導(dǎo)彈的殺傷威力,一般還要求可以對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定向打擊。通常情況下,約束角可以定義為Γimp=γm,f,γm,f為導(dǎo)彈飛行軌跡角的終端值。將式Γimp代入式(8)中,整理后可以得到終端相對(duì)飛行軌跡角γR,f的表達(dá)式為

(15)

2 偏置比例制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

aRM=aRPN+aRB

(16)

式中:aRPN為相對(duì)比例制導(dǎo)指令,aRB為所需要設(shè)計(jì)的相對(duì)偏置項(xiàng)。

(17)

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行求導(dǎo),可以得到相對(duì)比例制導(dǎo)指令表達(dá)式為

(19)

定義ρ為飛行器當(dāng)前位置到參考基準(zhǔn)之間的距離,將式(19)代入式(16)中,整理后可得:

(20)

已知tgo=tf-t,將M1位置所對(duì)應(yīng)的飛行器狀態(tài)作為初始狀態(tài),求解上述微分方程,整理后可得:

(21)

式中:

(22)

(23)

假設(shè)在t1時(shí)刻飛行器完成落角約束,則在t時(shí)刻的剩余時(shí)間tgo=0,則有γR(t1)=γR,f,即:

(24)

將tgo1換成tgo可以得到每一時(shí)刻約束角的值為

(25)

結(jié)合式(25)和式(19)可以得到aRB為

(26)

(27)

(28)

(29)

由于在推導(dǎo)制導(dǎo)律的時(shí)候進(jìn)行了小角度假設(shè),會(huì)影響制導(dǎo)精度,為此對(duì)偏置項(xiàng)補(bǔ)償一個(gè)系數(shù)κ,則式(27)可以表示為

(30)

通過(guò)式(28)可以得到實(shí)際的制導(dǎo)指令為

(31)

由式(31)可以看出,導(dǎo)彈的法向加速度指令主要由兩部分組成:第一部分主要是建立運(yùn)動(dòng)目標(biāo)與靜止目標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系;第二部類似于含落角約束打擊靜止目標(biāo)時(shí)的偏置比例制導(dǎo)律。另外,第二部分同樣也可以分為2塊:第一塊主要抑制視線旋轉(zhuǎn),從而保證導(dǎo)彈能夠擊中目標(biāo);第二塊通過(guò)引入角偏差項(xiàng),形成一個(gè)反饋,通過(guò)實(shí)時(shí)調(diào)整制導(dǎo)指令來(lái)滿足所要求的角度約束。

此外,由于該制導(dǎo)方案主要針對(duì)高速導(dǎo)彈打擊低速目標(biāo)的情況,即β<1。因而,在整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中始終滿足關(guān)系1-βcosγm>0,即采用制導(dǎo)律(31)在制導(dǎo)過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)制導(dǎo)指令奇異的情況出現(xiàn)。

3 附加參數(shù)的選取及剩余時(shí)間估計(jì)

上一節(jié)通過(guò)小角度假設(shè)推導(dǎo)了本文所提的制導(dǎo)方案,然而小角度假設(shè)只是一種理想情況,其會(huì)對(duì)制導(dǎo)精度以及加速度收斂特性造成較大的影響。為此,本文在偏置項(xiàng)前補(bǔ)償一個(gè)系數(shù)κ來(lái)解決小角度假設(shè)所帶來(lái)的制導(dǎo)性能下降等問(wèn)題。此外,在執(zhí)行本文所提制導(dǎo)方案時(shí)需要獲知剩余時(shí)間tgo,剩余時(shí)間的估計(jì)精度將直接影響制導(dǎo)精度。然而,絕大多數(shù)傳統(tǒng)剩余時(shí)間方案主要針對(duì)靜止目標(biāo)或緩慢移動(dòng)目標(biāo),以及只考慮比例指令對(duì)剩余時(shí)間的影響。當(dāng)考慮落角約束時(shí),約束角控制指令也會(huì)對(duì)彈道造成較大幅度的影響,進(jìn)而影響實(shí)際的剩余時(shí)間。因此,在考慮落角約束時(shí),不僅要考慮比例指令對(duì)剩余時(shí)間的影響,還要考慮偏置項(xiàng)指令對(duì)剩余時(shí)間的影響幅度。

將εR對(duì)時(shí)間求導(dǎo),并將式(30)代入其中,可得:

(32)

已知tgo=tf-t,對(duì)上式進(jìn)行積分可得:

(33)

將式(33)求導(dǎo),可得:

(34)

可見(jiàn),當(dāng)κ>1時(shí),初始角偏差及其變化率會(huì)隨著時(shí)間的推移而逐漸收斂到0。需要說(shuō)明的是,κ應(yīng)在合適的范圍取值。原因主要有:一是飛行器執(zhí)行能力有限,制導(dǎo)指令不能過(guò)大;二是在推導(dǎo)過(guò)程中進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化,這會(huì)帶來(lái)一定的偏差,κ取值過(guò)大會(huì)放大這些偏差,可能會(huì)造成在執(zhí)行制導(dǎo)方案過(guò)程中,制導(dǎo)偏差無(wú)法及時(shí)消除,進(jìn)而導(dǎo)致任務(wù)失敗。

文獻(xiàn)[15]給出了一種針對(duì)靜止目標(biāo)常比例導(dǎo)引系數(shù)的剩余時(shí)間tgo計(jì)算方法,具體表達(dá)式為

(35)

然而,對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)及具有變比例導(dǎo)引系數(shù)的本文所提制導(dǎo)律,該剩余時(shí)間并不合適。為此,需要結(jié)合本文所提制導(dǎo)方案,對(duì)式(35)的剩余時(shí)間估計(jì)方案進(jìn)行改進(jìn)。具體方案為:需要在相對(duì)坐標(biāo)系中,將目標(biāo)作為一個(gè)虛擬靜止目標(biāo),采用相對(duì)量,如γR,σR以及vR等替換式(35)中的實(shí)際量。根據(jù)以上分析,對(duì)于本文所提制導(dǎo)方案,比例指令對(duì)剩余時(shí)間的影響幅度為

(36)

式中:

(37)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知,對(duì)于靜止目標(biāo),偏置項(xiàng)對(duì)彈道長(zhǎng)度的影響幅度為

(38)

式中:aPN和aB分別為常系數(shù)比例項(xiàng)和偏置項(xiàng)產(chǎn)生的制導(dǎo)指令。

類似地,采用相對(duì)量,式(38)可以表示為

(39)

此外,根據(jù)式(19)可知,相對(duì)比例項(xiàng)產(chǎn)生的制導(dǎo)指令可近似寫(xiě)為

(40)

根據(jù)式(30),由偏置項(xiàng)產(chǎn)生的制導(dǎo)指令具體形式為

(41)

將式(40)和式(41)代入式(39)中,整理后可得:

(42)

進(jìn)而,由偏置項(xiàng)引起的剩余時(shí)間表達(dá)式可通過(guò)sRB/vR計(jì)算獲得,將其與式(36)結(jié)合,可以得到總的剩余估計(jì)值為

(43)

4 仿真結(jié)果

以地地導(dǎo)彈打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)為例,驗(yàn)證本文所提出制導(dǎo)律的性能。導(dǎo)彈速度大小為300 m/s,目標(biāo)以50 m/s大小的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)。另外,導(dǎo)彈的初始位置的坐標(biāo)為(0,0),目標(biāo)的初始位置坐標(biāo)為(5 000,0),合成導(dǎo)引系數(shù)N為4。

圖3為所提制導(dǎo)方案與文獻(xiàn)[14]中的打擊勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的兩階段制導(dǎo)方案的對(duì)比結(jié)果。導(dǎo)彈的初始飛行軌跡角為90°,落角約束分別為-60°和-120°。表1為不同制導(dǎo)方案性能對(duì)比結(jié)果。表中,r(tf)為脫靶量,γm(tf)為落角。從仿真結(jié)果和表1可以看出,所提制導(dǎo)方案與兩階段制導(dǎo)方案均具有較高的制導(dǎo)精度。然而,所提制導(dǎo)方案彈道軌跡收斂快,且中間過(guò)程不需要制導(dǎo)指令大幅度切換。因而,所提制導(dǎo)方案優(yōu)于該兩階段制導(dǎo)方案。

γm,f/(°)本文所提方案r(tf)/mγm(tf)/(°)兩階段方案r(tf)/mγm(tf)/(°)-601.02-59.992.21-60.01-1201.23-119.991.90-120.01

圖4為采用本文所提剩余時(shí)間估算方案與傳統(tǒng)剩余時(shí)間估算算法r/vm在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行垂直打擊時(shí)的對(duì)比結(jié)果。從結(jié)果中可以看出,利用所提方案,導(dǎo)彈飛行高度更低,射程更近,彈道軌跡收斂更快。

為驗(yàn)證本文所提制導(dǎo)方案對(duì)約束角的全域捕獲能力,約束角γm,f分別取為-30°,-90°,-120°,-150°和-180°時(shí),所對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5(a)可以看出,在不同落角約束情況下,導(dǎo)彈均能成功命中目標(biāo),從而驗(yàn)證了本文所提出的制導(dǎo)律對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)具有全向打擊能力。圖5(b)給出了不同情況下的導(dǎo)彈法向加速度曲線。從圖中可以看出,當(dāng)落角約束比較大時(shí),在導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí),導(dǎo)彈的法向加速度幅值越大,導(dǎo)彈的需用過(guò)載越大,但最終都收斂到0附近,展現(xiàn)了良好的收斂能力。圖5(c)給出了導(dǎo)彈飛行軌跡角γm隨時(shí)間的變化曲線,圖5(d)給出了相應(yīng)的導(dǎo)彈飛行軌跡角與期望落角之間偏差隨時(shí)間的變化曲線。從圖中可以看出,角度偏差均收斂到0。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)含落角約束打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的問(wèn)題,本文提出了一種偏置相對(duì)比例制導(dǎo)律。利用導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)關(guān)系,將目標(biāo)視為一虛擬靜止目標(biāo),利用偏置相對(duì)比例的設(shè)計(jì)思想,通過(guò)對(duì)相對(duì)飛行軌跡角的設(shè)計(jì),從而間接地實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的打擊以及落角約束。剩余時(shí)間的估計(jì)直接影響落角控制的精度及制導(dǎo)性能。針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)落角約束問(wèn)題,在本文所提制導(dǎo)方案的基礎(chǔ)上,得到了考慮具有時(shí)變系數(shù)的比例項(xiàng)以及偏置項(xiàng)影響的剩余時(shí)間估計(jì)方法。此外,該制導(dǎo)方案能夠保證導(dǎo)彈在末制導(dǎo)前期盡可能地充分利用導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)能力,以使制導(dǎo)律盡快地收斂;在制導(dǎo)中后期可快速完成落角控制。在保證脫靶量的同時(shí),能夠迅速將約束角控制完成,進(jìn)而保證加速度曲線收斂。大量的數(shù)值仿真驗(yàn)證了采用所提制導(dǎo)方案良好的制導(dǎo)性能及加速度收斂特性,并驗(yàn)證了較為寬松的初始發(fā)射條件以及對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的全向打擊能力。