考慮視場(chǎng)角約束下的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律

陳升富,劉 丹,常思江

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094;2.西北工業(yè)集團(tuán)有限公司 設(shè)計(jì)二所,陜西 西安 710043)

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)飽和打擊的需求與近防武器系統(tǒng)的發(fā)展,設(shè)計(jì)能夠?qū)崿F(xiàn)攻擊時(shí)間控制的制導(dǎo)律正越來(lái)越受到學(xué)者的關(guān)注[1-5]。通過(guò)對(duì)導(dǎo)彈攻擊時(shí)間的控制,不僅能夠提高導(dǎo)彈在近防武器系統(tǒng)下的生存能力,還能使彈群各導(dǎo)彈之間無(wú)需進(jìn)行數(shù)據(jù)交換就可實(shí)現(xiàn)聯(lián)合攻擊,完成對(duì)目標(biāo)的飽和打擊。

比例導(dǎo)引法因其魯棒性和簡(jiǎn)易性而廣泛應(yīng)用于導(dǎo)彈制導(dǎo)[6-7],但傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法沒(méi)有考慮攻擊時(shí)間約束,無(wú)法實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間的控制。為此,研究人員在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上結(jié)合現(xiàn)代控制理論,通過(guò)設(shè)計(jì)偏置控制項(xiàng)[3-4]或時(shí)變比例系數(shù)[8-9]等方式實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間的控制。文獻(xiàn)[4]針對(duì)非線性模型應(yīng)用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)附加控制項(xiàng),實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間控制。文獻(xiàn)[9]提出一種修正比例導(dǎo)引法,通過(guò)時(shí)變的比例系數(shù)實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間控制。

在研究攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)問(wèn)題中,為避免導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)可能造成的導(dǎo)引頭丟失目標(biāo)的問(wèn)題,需要考慮導(dǎo)引頭視場(chǎng)角限制下的攻擊時(shí)間制導(dǎo)問(wèn)題[10-13]。文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[3]的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律基礎(chǔ)上,提出了一種常前置角制導(dǎo)律邏輯轉(zhuǎn)換策略,實(shí)現(xiàn)視場(chǎng)角受限下的攻擊時(shí)間控制。文獻(xiàn)[12]通過(guò)附加控制項(xiàng)的方式設(shè)計(jì)出滿足視場(chǎng)角約束下的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律,取得了較好的成果,但存在控制奇點(diǎn),且末端制導(dǎo)指令變化較大。

本文針對(duì)上述問(wèn)題,基于彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型,對(duì)考慮視場(chǎng)角受限的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)問(wèn)題展開(kāi)研究。在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上,采用偏置控制項(xiàng)的形式,得到了滿足視場(chǎng)角約束且沒(méi)有控制奇點(diǎn)的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律,并對(duì)制導(dǎo)律的性能開(kāi)展研究,給出了仿真結(jié)果。

1 問(wèn)題的描述

假設(shè)導(dǎo)彈的速度vm為常值,考慮平面內(nèi)攔截靜止目標(biāo)的情況,其導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1中,M表示導(dǎo)彈;T表示目標(biāo);γ,θ,R分別為導(dǎo)彈彈道角、目標(biāo)視線角以及彈目連線距離;φ為導(dǎo)彈速度矢量前置角(簡(jiǎn)稱前置角)。導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系滿足如下運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

θ=γ+φ

(6)

式中:am為制導(dǎo)指令。

忽略導(dǎo)彈的側(cè)滑角,則導(dǎo)引頭的視場(chǎng)角受限可看做導(dǎo)彈前置角受限[10,12]。此時(shí),導(dǎo)引頭的視場(chǎng)角受限問(wèn)題,可描述為|φ(t)|≤φmax,φmax∈(0,π/2),是由導(dǎo)引頭視場(chǎng)角邊界所確定的常數(shù)。

定義如下攻擊時(shí)間誤差ξ為

(7)

假設(shè):①導(dǎo)彈的初始前置角滿足|φ0|≤φmax;②所需的攻擊時(shí)間td選取合適,使得ξ∈I。本文的問(wèn)題可簡(jiǎn)述為,設(shè)計(jì)一個(gè)制導(dǎo)指令am使得在所需的攻擊時(shí)間td內(nèi)滿足如下方程:

(8)

2 攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

由前文可知,為實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間控制,制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)需要用到剩余飛行時(shí)間tgo的估算。為簡(jiǎn)便考慮,本文設(shè)計(jì)如下形式的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律:

am=aPN+aξ

(9)

顯然,由方程(9)可知,應(yīng)使用比例導(dǎo)引法下的剩余飛行時(shí)間估算公式對(duì)tgo進(jìn)行估算。考慮到在視場(chǎng)角約束下導(dǎo)彈的前置角較小,因此可直接采用文獻(xiàn)[9]在小角度假設(shè)下推導(dǎo)的剩余飛行時(shí)間估算公式:

(10)

(11)

由式(11)可知,攻擊時(shí)間誤差的變化與偏置控制項(xiàng)aξ有關(guān)。為實(shí)現(xiàn)視場(chǎng)角約束下的攻擊時(shí)間控制,設(shè)計(jì)如下偏置控制項(xiàng):

(12)

式中:K>0,定義如下的函數(shù):

(13)

ξ可由式(7)和式(10)獲得。

因此,本文設(shè)計(jì)的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律具體形式為

(14)

由方程(14),結(jié)合式(3)～式(6)和式(11)可得到R,φ和ξ的導(dǎo)數(shù):

(15)

(16)

(17)

由式(15)～式(17)可知,在滿足假設(shè)①和假設(shè)②的條件下,式(15)～式(17)能夠使得式(8)成立,即制導(dǎo)指令(14)能夠?qū)崿F(xiàn)視場(chǎng)角約束下的攻擊時(shí)間控制。

引理1在整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中滿足視場(chǎng)角受限,即集合S∈{φ:|φ|≤φmax}不變。

證明考慮如下Lyapunov候選函數(shù):

(18)

由方程(16)可知,式(18)在整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(19)

(20)

顯然,由不等式(20)可知,V1(φ)在集合S的邊界值附近為負(fù)定函數(shù)。因此,對(duì)于滿足|φ0|≤φmax條件下的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo),整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中滿足視場(chǎng)角受限要求。

引理2在整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中,其攻擊時(shí)間誤差ξ和前置角φ均收斂到0。

證明考慮如下的Lyapunov候選函數(shù):

(21)

式中:C為常數(shù),滿足C≥4[(N-1)|sinφ|-ε0]/[K(2N-1)esinφ];ε0為常數(shù),滿足0<ε0<(N-1)|sinφ|。由引理1可知,方程(21)為正方程。其導(dǎo)數(shù)為

(22)

需要指出的是,對(duì)于φ∈S,以下不等式成立:

sinφs(φ)=|sinφ|

(23)

(φ-sinφ)s(φ)≥0

(24)

由不等式(24)可得:

(25)

對(duì)于ξ≤0的情形,不等式(25)滿足:

(26)

(27)

(28)

綜上所述,當(dāng)選取合適的比例系數(shù)N、參數(shù)K以及所需的攻擊時(shí)間td時(shí),本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠?qū)崿F(xiàn)視場(chǎng)角受限下的攻擊時(shí)間控制。需要指出的是,文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)了較為完善的視場(chǎng)角約束下的攻擊時(shí)間可控范圍的計(jì)算方法。本文不再進(jìn)行介紹。

3 仿真分析

為驗(yàn)證所提出的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)的性能,本節(jié)將在不同條件下進(jìn)行仿真驗(yàn)證并與文獻(xiàn)[12]所提出的帶視場(chǎng)角約束的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)比分析,即:

(29)

仿真的統(tǒng)一參數(shù)為:導(dǎo)彈速度vm=300 m/s,加速度限制為amax=5g,g=9.81 m/s2,視場(chǎng)角限制為φmax=45°,初始彈目連線距離R0=10 km,初始彈目視線角θ0=0,比例系數(shù)N=3,參數(shù)K取4。

首先,在導(dǎo)彈的初始前置角φ0=-35°,攻擊時(shí)間td分別為33.6 s,38 s和42 s的情況下進(jìn)行仿真,需要指出的是,此時(shí)導(dǎo)彈僅在比例導(dǎo)引法下制導(dǎo)的飛行時(shí)間為34.62 s。所得結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知,本文所提出制導(dǎo)律能夠?qū)崿F(xiàn)視場(chǎng)角受限下的攻擊時(shí)間控制。由圖2(a)可知,制導(dǎo)指令在初始階段達(dá)到最大以調(diào)整攻擊時(shí)間。由圖2(b)和圖2(c)可知,對(duì)于攻擊時(shí)間減小的控制(即ξ<0),前置角不會(huì)達(dá)到視場(chǎng)角邊界值。對(duì)于攻擊時(shí)間增大的控制(即ξ>0),導(dǎo)彈前置角將先增大到視場(chǎng)角邊界值,然后隨攻擊時(shí)間誤差ξ趨向于0而逐漸收斂到0,驗(yàn)證了前文的分析。

在其他仿真條件不變的情況下,取初始前置角φ0=-5°,所需攻擊時(shí)間td=42 s,并與文獻(xiàn)[12]所提出的制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)比,所得結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知,本文所提出的制導(dǎo)律和文獻(xiàn)[12]所提出的制導(dǎo)律都能實(shí)現(xiàn)視場(chǎng)角受限下的攻擊時(shí)間控制。對(duì)比圖3(a)可知,本文所提出的制導(dǎo)律在末端的加速度變化較為平滑,且沒(méi)有達(dá)到過(guò)載限制。此外由圖3(b)本文所提方法在視場(chǎng)角達(dá)到邊界值的時(shí)間較文獻(xiàn)[12]要短。這表明本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律具有一定的最優(yōu)性。

為進(jìn)一步研究本文所提出制導(dǎo)律的性能,考慮φ0=0和td=38 s的極端條件,并與文獻(xiàn)[12]進(jìn)行對(duì)比,所得結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知,本文所提出的制導(dǎo)律在φ0=0的情況下能夠完成視場(chǎng)角受限下的攻擊時(shí)間控制,而文獻(xiàn)[12]控制失敗。這是因?yàn)楫?dāng)φ0=0時(shí),由式(29)可知,文獻(xiàn)[12]所提出的制導(dǎo)律為控制奇點(diǎn),無(wú)法進(jìn)行攻擊時(shí)間控制。而本文所提出的制導(dǎo)律不存在控制奇點(diǎn),能夠?qū)崿F(xiàn)攻擊時(shí)間的控制。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為基礎(chǔ),對(duì)考慮視場(chǎng)角約束下的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)問(wèn)題開(kāi)展了深入研究。通過(guò)理論推導(dǎo)與仿真分析,可得到如下結(jié)論:

①本文所提出的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律能夠較好地實(shí)現(xiàn)視場(chǎng)角約束下的攻擊時(shí)間控制;

②無(wú)論是攻擊時(shí)間增大(ξ>0)的控制或攻擊時(shí)間減小(ξ<0)的控制,攻擊時(shí)間誤差ξ都能先于前置角φ收斂到0,且制導(dǎo)指令最終收斂為0;

③本文所提出的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律,不存在控制奇點(diǎn),且控制結(jié)果具有一定的最優(yōu)性。