郵票里的數(shù)學(xué)故事

陳新合

一枚枚郵票包含著一個(gè)個(gè)典故。郵票與數(shù)學(xué)有什么不解之緣呢？讓我們一起走近郵票里那些形形色色的圖形。

如圖1，這張郵票上的圖形是一個(gè)“彭羅斯三角形”，它是現(xiàn)實(shí)世界中不能客觀存在的圖形，也稱為不可能圖形。不可能圖形，又稱錯(cuò)覺圖片，是指只能在二維世界存在，而無法存在于三維的現(xiàn)實(shí)世界中的一種幾何圖形，常以視覺錯(cuò)位的形式“欺騙”觀看者的眼睛，令觀看者產(chǎn)生眼見不一定為實(shí)的想法。如今，不可能圖形已成為視覺藝術(shù)的一個(gè)子類，在數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、電子游戲等領(lǐng)域均有應(yīng)用。“彭羅斯三角形”雖然以彭羅斯命名，但它其實(shí)最先是由荷蘭藝術(shù)家埃舍爾設(shè)計(jì)的。數(shù)學(xué)家彭羅斯在看到埃舍爾的繪畫作品后，產(chǎn)生關(guān)于這種圖形的靈感，然后與其父親一同討論出一篇論文并發(fā)表。“彭羅斯三角形”便由此得名。

圖1

如圖2，這張郵票給我們展示了“希爾賓斯基三角形”。它由波蘭數(shù)學(xué)家希爾賓斯基在1915年提出。我們可以嘗試制作“希爾賓斯基三角形”：取一個(gè)實(shí)心正三角形，挖去“中心三角形”（以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），在其余的小三角形中再分別挖去“中心三角形”。如圖3，白色三角形代表挖去的面積，黑色三角形代表剩下的面積。如果無限重復(fù)以上方法，則“希爾賓斯基三角形”的面積趨近于零，周長(zhǎng)趨近于無限大。

圖2 圖3

“希爾賓斯基三角形”是最簡(jiǎn)單的分形。分形具有自相似性，顧名思義，就是一個(gè)圖形的自身可以看成由許多與自己相似的、大小不一的部分組成。……