展開與折疊　轉化與互逆

在學習“展開與折疊”的過程中，可能有不少小伙伴無法在腦海中抽象出立體圖形與平面圖形的轉化過程。其實這對我們的空間想象能力提出了較高的要求。現在我把我的一些發現整理如下，希望能幫助大家學習。

“展開與折疊”包含了兩個關鍵詞：展開、折疊，這兩個詞本身是一種互逆的關系。

首先，我們從圖形的展開說起。展開就是將某個幾何體的表面適當剪開并平鋪的過程，形成的平面圖形稱為幾何體的展開圖。在小學階段，我們曾了解到圓柱的展開圖是兩個圓和一個長方形（如圖1）。

圖1

進入初中后，我們談到圖形的展開，就不得不提到一個非常重要的幾何體——正方體。正方體的展開圖可能是大家的一個困惑點。其實正方體的展開圖種類并不多，只有11種。根據展開圖中每一層的正方形個數（從上往下數），我們可以把它們分成4類，即“141型（如圖2）”“231型（如圖3）”“ 222型（如圖4）”“33型（如圖5）”。

圖2

圖3

圖4 圖5

當然，在某些展開圖中也隱藏著一些數量關系。比如圖1中，圓的周長與矩形的長是相等的。因為如果將展開圖折疊還原為圓柱，圓的一周與矩形的長是完全重合的。這里就涉及另一個關鍵詞——折疊。將展開后的平面圖形折疊成立體圖形，形成幾何體的過程，就是折疊。如果將8個相同的正三角形沿如圖6所示的虛線折疊，則會得到一個正八面體。

圖6

相較于“展開”結果的多樣性，折疊結果則具有唯一性。對一個平面展開圖實施不同的方法折疊，還原成幾何體，這個幾何體有且只有一個。……