展開與折疊　轉化與互逆

在學習“展開與折疊”的過程中，可能有不少小伙伴無法在腦海中抽象出立體圖形與平面圖形的轉化過程。其實這對我們的空間想象能力提出了較高的要求。現在我把我的一些發現整理如下，希望能幫助大家學習。

“展開與折疊”包含了兩個關鍵詞：展開、折疊，這兩個詞本身是一種互逆的關系。

首先，我們從圖形的展開說起。展開就是將某個幾何體的表面適當剪開并平鋪的過程，形成的平面圖形稱為幾何體的展開圖。在小學階段，我們曾了解到圓柱的展開圖是兩個圓和一個長方形（如圖1）。

圖1

進入初中后，我們談到圖形的展開，就不得不提到一個非常重要的幾何體——正方體。正方體的展開圖可能是大家的一個困惑點。其實正方體的展開圖種類并不多，只有11種。根據展開圖中每一層的正方形個數（從上往下數），我們可以把它們分成4類，即“141型（如圖2）”“231型（如圖3）”“ 222型（如圖4）”“33型（如圖5）”。

圖2

圖3

圖4 圖5

當然，在某些展開圖中也隱藏著一些數量關系。比如圖1中，圓的周長與矩形的長是相等的。因為如果將展開圖折疊還原為圓柱，圓的一周與矩形的長是完全重合的。這里就涉及另一個關鍵詞——折疊。將展開后的平面圖形折疊成立體圖形，形成幾何體的過程，就是折疊。如果將8個相同的正三角形沿如圖6所示的虛線折疊，則會得到一個正八面體。

圖6

相較于“展開”結果的多樣性，折疊結果則具有唯一性。對一個平面展開圖實施不同的方法折疊，還原成幾何體，這個幾何體有且只有一個。在這個還原的過程中，會衍生出一類問題，比如求正方體展開圖重新折疊成正方體時，原來的展開圖上哪兩個面是相對的？在解決這類問題之前，我們首先要明白一個基本規律：在正方體展開圖中，相對的兩個面不可能是“相連”的，應該是“分隔”的;如果展開圖中兩個面是“相連”的，那么折疊后的它們一定是相鄰的面，而不是對面。

運用這個規律，我們逐個剖析，可以把正方體的11種展開圖中的“對面”分布情況標注如下（如圖7）。字母相同的兩個面是對面。

圖7

“展開”是將立體圖形轉化為平面圖形;“折疊”是將平面圖形轉化為立體圖形。這其中蘊含著轉化和互逆的數學思想方法。我們在解決實際問題時，經常會把立體圖形轉化為平面圖形來解決，也會借助平面圖形折疊成立體圖形，練習空間想象能力。

希望我的一點學習經驗能為大家的學習帶來幫助。

教師點評

“展開與折疊”是蘇科版《數學》教材七年級上冊的學習內容，是在小學內容的基礎上對圖形的進一步認識。在小學階段，同學們已經初步認識了正方體、圓柱、圓錐等立體圖形，從直觀上對展開與折疊有了一定的認識，但對展開與折疊前后立體圖形與平面圖形的位置、數量之間的關系認識不足，直觀想象能力有待進一步訓練提高。許辰宇同學在平時的學習中，注重自主探索，及時歸納、總結學習中的小規律、小發現，形成有借鑒意義的小成果，值得同學們學習。眾所周知，正方體與其展開圖之間的相互轉化是學習的重點，許辰宇同學以最具代表性的“正方體”為例，歸納總結了4類共11種展開圖，便于記憶使用。文章最后給出正方體展開圖的互為對面情況的標記，有助于同學們探尋對面的規律，理解并掌握展開圖的特征。相信他的這篇小文章會對同學們的圖形學習有一定的幫助。

（指導教師：孫 凱）