展開與折疊　轉(zhuǎn)化與互逆

在學(xué)習(xí)“展開與折疊”的過程中，可能有不少小伙伴無法在腦海中抽象出立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化過程。其實這對我們的空間想象能力提出了較高的要求。現(xiàn)在我把我的一些發(fā)現(xiàn)整理如下，希望能幫助大家學(xué)習(xí)。

“展開與折疊”包含了兩個關(guān)鍵詞：展開、折疊，這兩個詞本身是一種互逆的關(guān)系。

首先，我們從圖形的展開說起。展開就是將某個幾何體的表面適當(dāng)剪開并平鋪的過程，形成的平面圖形稱為幾何體的展開圖。在小學(xué)階段，我們曾了解到圓柱的展開圖是兩個圓和一個長方形（如圖1）。

圖1

進(jìn)入初中后，我們談到圖形的展開，就不得不提到一個非常重要的幾何體——正方體。正方體的展開圖可能是大家的一個困惑點。其實正方體的展開圖種類并不多，只有11種。根據(jù)展開圖中每一層的正方形個數(shù)（從上往下數(shù)），我們可以把它們分成4類，即“141型（如圖2）”“231型（如圖3）”“ 222型（如圖4）”“33型（如圖5）”。

圖2

圖3

圖4 圖5

當(dāng)然，在某些展開圖中也隱藏著一些數(shù)量關(guān)系。比如圖1中，圓的周長與矩形的長是相等的。因為如果將展開圖折疊還原為圓柱，圓的一周與矩形的長是完全重合的。這里就涉及另一個關(guān)鍵詞——折疊。將展開后的平面圖形折疊成立體圖形，形成幾何體的過程，就是折疊。如果將8個相同的正三角形沿如圖6所示的虛線折疊，則會得到一個正八面體。

圖6

相較于“展開”結(jié)果的多樣性，折疊結(jié)果則具有唯一性。對一個平面展開圖實施不同的方法折疊，還原成幾何體，這個幾何體有且只有一個。……