基于Newmark法的RV減速器傳動精度計算

單麗君,孫大朋

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

RV傳動是由少齒差行星傳動發展而來的一種新型精密傳動.具有體積小、傳動比范圍大、運動精度高、傳動平穩等一系列的優點.廣泛應用于高精度機器人關節傳動.德國和日本的RV減速器技術較為先進，而我國起步較晚，存在傳動精度不穩定的缺陷.這種傳動從產生至今已進行了大量的研究工作，在受力分析[1]、齒形優化[2]、靜態性能[3]等方面的研究已達到一定的理論深度，但對其非線性動態傳動精度研究文獻較少，文獻多是基于定值剛度和有限數量誤差值的條件下建立的動態精度分析模型[4-6].而RV傳動中的漸開線和擺線齒輪傳動的嚙合剛度和各種單項誤差都是隨時間變化的，是影響整機傳動誤差的主要因素，論文以RV-80E型號減速器為例，基于非線性理論，考慮時變嚙合剛度和時變單項誤差等因素，分析計算了整機的動態傳動誤差，研究結果對提高應用RV減速器作為關節傳動的工業機器的定位精度具有重要的意義[7-8].

1 RV減速器傳動原理

RV減速器是一種二級減速裝置，結構緊湊，其結構如圖1所示.整個減速傳動裝置可以歸納為兩級減速部分：第一級是位于高速端的漸開線圓柱齒輪減速部分，由中心輪和兩個漸開線行星輪組成；第二級是位于低速端的擺線針輪行星減速部分，由曲柄軸、擺線輪、針齒輪、針齒殼以及行星架組成.

圖1 RV減速器傳動系統簡圖

2 傳動精度分析模型

2.1 動力學模型

采用質量彈簧“等價模型”的方法建立了RV減速器的動態傳動精度的動力學模型，如圖2所示.

圖2 RV減速器動態傳動精度計算的動力學模型

2.2 參變量的解釋與說明

Xs、Ys為太陽輪微位移；Xpi、Ypi為第i個行星輪的微位移，(θpi-θp)為行星輪實際轉角對于理論轉角的微位移；ηj為第j個擺線輪的微位移，(θj-θp)、(θoj-θc)為擺線輪實際自轉角和共轉角對于理論轉角的微位移；Xca、Yca為行星架微位移，(θca-θc)為行星架轉角對于理論轉角的微位移.

輸入軸扭轉剛度為Ks，太陽輪與行星輪間的輪齒嚙合剛度為Ki，曲柄軸與擺線輪軸孔的轉臂軸承剛度為Kj、曲柄軸和行星架軸孔的支撐軸承剛度為Kb、擺線輪與針齒間的輪齒嚙合剛度系數為Kjk，軸承間隙為δbji，針齒的直徑誤差引起的間隙為δjb；以及擺線輪輪齒的齒形誤差δb.

以向量的方式表示誤差，意為大小和方向.太陽輪、行星輪基圓的偏心誤差(Esβs)、(Epiβpi)在其嚙合作用線上產生的位移：

esi=Escos(θs+βs-Ai)

(1)

epi=Epicos(βpi-θp-Ai)

(2)

Ai=θc+φi+π/2-α

(3)

式中,α為太陽輪和行星輪的嚙合角(°).

太陽輪裝配誤差(Asγs)引起的微位移：

δsx=Ascosγs

(4)

δsy=Assinγs

(5)

針輪和擺線輪的齒槽偏差Rk、Rjk，圓周方向上的齒距累計偏差Pk、Rjk引起的微位移：

δRk=-Rkcos(αjk-φjk)

(6)

δRjk=Rjkcos(αjk-φdjk)

(7)

δPk=-Pkcos(αjk-φjk)

(8)

δPjk=Pjkcos(αjk-φdjk)

(9)

擺線輪上的均布孔的偏心誤差(Ejiβji)以及曲柄軸上偏心距(Eqjiβqji)引起的微位移：

δxji=-Ejicos(θc+φi+βji)

(10)

δyji=-Ejisin(θc+φi+βji)

(11)

δqxji=-Eqjicos(θp+φj+βqji)

(12)

δqyji=-Eqjisin(θp+φj+βqji)

(13)

行星架支撐曲柄軸的偏心誤差(Eciβci)以及行星架裝配誤差(Acγc)引起的微位移：

δcxi=-Ecicos(θc+φi+βci)

(14)

δcyi=-Ecisin(θc+φi+βci)

(15)

δcx=Accosγc

(16)

δcy=Acsinγc

(17)

2.3 RV減速器動態傳動精度的動力學方程

通過對機構間零部件的受力分析，推導出RV減速器的動力學方程，如式(18)～(28).

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

通過求解上述方程組，在求得實際輸出轉角θca，進而求出它的傳動誤差Δθca.

3 RV減速器運動學方程的求解

所建立的RV減速器動態傳動精度計算模型屬于非線性動力學模型，采用非線性Newmark法[9-10]對其進行求解.

(29)

通過Newmark法假設的t+Δt時刻的速度和位移為:

(30)

(31)

參數γ和β的選擇對算法影響較大.算法穩定性分析指出，當γ≥0.5，β≥(1/2+γ)2/4時，Newmark法無條件穩定，這時可以只根據精度的要求選擇時間步長Δt.

計算步驟如下：

(1)初始計算

①建立剛度K，質量矩陣M和阻尼矩陣C.

③選擇時間步長Δt以及參數γ和β，并計算下列有關常數.

④計算有效剛度矩陣

=K+α0M+α1C

(32)

(2)對每個時間步計算

①計算t+Δt時刻的有效載荷向量

(33)

②求t+Δt時刻的位移

(34)

③計算t+Δt時刻的加速度和速度

(35)

(36)

4 數值仿真

以RV-80E為例，初始參數如表1所示.

表1 RV減速器基本結構參數表

其中，針齒與齒槽間的間隙δjk=0.005 mm；擺線輪曲柄軸孔處的軸承間隙δbji=0.001 5 mm；行星架上曲柄軸孔處的軸承間隙δxi=0；行星架與殼體間的軸承間隙δca=0；其他誤差初始值設定如表2、3、4所示.

表2 擺線輪曲柄軸孔偏心誤差參數

表3 曲柄軸偏心輪偏心誤差參數

表 4 行星輪曲柄軸孔偏心誤差及裝配誤差參數

基本參數以及零件誤差根據實際測量的資料所得，對所建立的動力學方程求解并進行數值仿真，傳動誤差隨行星架理論輸出轉角變化的仿真曲線如圖3所示，傳動誤差在第二周趨于穩定.系統傳動誤差曲線具有清晰的波動性，傳動誤差的范圍為：-42.52″～8.141″，正值表明輸出值實際值大于理論值，負值意為輸出值實際值小于理論值.曲線呈現正負交替，表明RV減速器工作中齒輪嚙合存在快慢差異，傳動過程不平穩.

圖3 系統傳動誤差動態曲線

5 結論

(1)采用質量彈簧“等價模型”方法建立動力學分析模型；根據動力學模型推導方程，并采用Newmark法通過Matlab編程對方程進行求解；

(2)計算結果表明，最大誤差為42.52″，在1′以內.傳動誤差呈現大周期和小周期變化，其中大周期和小周期分別由擺線輪轉一圈和一個齒引起輸出軸的轉角誤差導致的；為研究單項誤差對RV減速器傳動的影響做了準備.