基于Newmark法的RV減速器傳動(dòng)精度計(jì)算

單麗君,孫大朋

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

RV傳動(dòng)是由少齒差行星傳動(dòng)發(fā)展而來的一種新型精密傳動(dòng).具有體積小、傳動(dòng)比范圍大、運(yùn)動(dòng)精度高、傳動(dòng)平穩(wěn)等一系列的優(yōu)點(diǎn).廣泛應(yīng)用于高精度機(jī)器人關(guān)節(jié)傳動(dòng).德國(guó)和日本的RV減速器技術(shù)較為先進(jìn)，而我國(guó)起步較晚，存在傳動(dòng)精度不穩(wěn)定的缺陷.這種傳動(dòng)從產(chǎn)生至今已進(jìn)行了大量的研究工作，在受力分析[1]、齒形優(yōu)化[2]、靜態(tài)性能[3]等方面的研究已達(dá)到一定的理論深度，但對(duì)其非線性動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度研究文獻(xiàn)較少，文獻(xiàn)多是基于定值剛度和有限數(shù)量誤差值的條件下建立的動(dòng)態(tài)精度分析模型[4-6].而RV傳動(dòng)中的漸開線和擺線齒輪傳動(dòng)的嚙合剛度和各種單項(xiàng)誤差都是隨時(shí)間變化的，是影響整機(jī)傳動(dòng)誤差的主要因素，論文以RV-80E型號(hào)減速器為例，基于非線性理論，考慮時(shí)變嚙合剛度和時(shí)變單項(xiàng)誤差等因素，分析計(jì)算了整機(jī)的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差，研究結(jié)果對(duì)提高應(yīng)用RV減速器作為關(guān)節(jié)傳動(dòng)的工業(yè)機(jī)器的定位精度具有重要的意義[7-8].

1 RV減速器傳動(dòng)原理

RV減速器是一種二級(jí)減速裝置，結(jié)構(gòu)緊湊，其結(jié)構(gòu)如圖1所示.整個(gè)減速傳動(dòng)裝置可以歸納為兩級(jí)減速部分：第一級(jí)是位于高速端的漸開線圓柱齒輪減速部分，由中心輪和兩個(gè)漸開線行星輪組成；第二級(jí)是位于低速端的擺線針輪行星減速部分，由曲柄軸、擺線輪、針齒輪、針齒殼以及行星架組成.

圖1 RV減速器傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

2 傳動(dòng)精度分析模型

2.1 動(dòng)力學(xué)模型

采用質(zhì)量彈簧“等價(jià)模型”的方法建立了RV減速器的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度的動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示.

圖2 RV減速器動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度計(jì)算的動(dòng)力學(xué)模型

2.2 參變量的解釋與說明

Xs、Ys為太陽(yáng)輪微位移；Xpi、Ypi為第i個(gè)行星輪的微位移，(θpi-θp)為行星輪實(shí)際轉(zhuǎn)角對(duì)于理論轉(zhuǎn)角的微位移；ηj為第j個(gè)擺線輪的微位移，(θj-θp)、(θoj-θc)為擺線輪實(shí)際自轉(zhuǎn)角和共轉(zhuǎn)角對(duì)于理論轉(zhuǎn)角的微位移；Xca、Yca為行星架微位移，(θca-θc)為行星架轉(zhuǎn)角對(duì)于理論轉(zhuǎn)角的微位移.

輸入軸扭轉(zhuǎn)剛度為Ks，太陽(yáng)輪與行星輪間的輪齒嚙合剛度為Ki，曲柄軸與擺線輪軸孔的轉(zhuǎn)臂軸承剛度為Kj、曲柄軸和行星架軸孔的支撐軸承剛度為Kb、擺線輪與針齒間的輪齒嚙合剛度系數(shù)為Kjk，軸承間隙為δbji，針齒的直徑誤差引起的間隙為δjb；以及擺線輪輪齒的齒形誤差δb.

以向量的方式表示誤差，意為大小和方向.太陽(yáng)輪、行星輪基圓的偏心誤差(Esβs)、(Epiβpi)在其嚙合作用線上產(chǎn)生的位移：

esi=Escos(θs+βs-Ai)

(1)

epi=Epicos(βpi-θp-Ai)

(2)

Ai=θc+φi+π/2-α

(3)

式中,α為太陽(yáng)輪和行星輪的嚙合角(°).

太陽(yáng)輪裝配誤差(Asγs)引起的微位移：

δsx=Ascosγs

(4)

δsy=Assinγs

(5)

針輪和擺線輪的齒槽偏差Rk、Rjk，圓周方向上的齒距累計(jì)偏差Pk、Rjk引起的微位移：

δRk=-Rkcos(αjk-φjk)

(6)

δRjk=Rjkcos(αjk-φdjk)

(7)

δPk=-Pkcos(αjk-φjk)

(8)

δPjk=Pjkcos(αjk-φdjk)

(9)

擺線輪上的均布孔的偏心誤差(Ejiβji)以及曲柄軸上偏心距(Eqjiβqji)引起的微位移：

δxji=-Ejicos(θc+φi+βji)

(10)

δyji=-Ejisin(θc+φi+βji)

(11)

δqxji=-Eqjicos(θp+φj+βqji)

(12)

δqyji=-Eqjisin(θp+φj+βqji)

(13)

行星架支撐曲柄軸的偏心誤差(Eciβci)以及行星架裝配誤差(Acγc)引起的微位移：

δcxi=-Ecicos(θc+φi+βci)

(14)

δcyi=-Ecisin(θc+φi+βci)

(15)

δcx=Accosγc

(16)

δcy=Acsinγc

(17)

2.3 RV減速器動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度的動(dòng)力學(xué)方程

通過對(duì)機(jī)構(gòu)間零部件的受力分析，推導(dǎo)出RV減速器的動(dòng)力學(xué)方程，如式(18)～(28).

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

通過求解上述方程組，在求得實(shí)際輸出轉(zhuǎn)角θca，進(jìn)而求出它的傳動(dòng)誤差Δθca.

3 RV減速器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解

所建立的RV減速器動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度計(jì)算模型屬于非線性動(dòng)力學(xué)模型，采用非線性Newmark法[9-10]對(duì)其進(jìn)行求解.

(29)

通過Newmark法假設(shè)的t+Δt時(shí)刻的速度和位移為:

(30)

(31)

參數(shù)γ和β的選擇對(duì)算法影響較大.算法穩(wěn)定性分析指出，當(dāng)γ≥0.5，β≥(1/2+γ)2/4時(shí)，Newmark法無條件穩(wěn)定，這時(shí)可以只根據(jù)精度的要求選擇時(shí)間步長(zhǎng)Δt.

計(jì)算步驟如下：

(1)初始計(jì)算

①建立剛度K，質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C.

③選擇時(shí)間步長(zhǎng)Δt以及參數(shù)γ和β，并計(jì)算下列有關(guān)常數(shù).

④計(jì)算有效剛度矩陣

=K+α0M+α1C

(32)

(2)對(duì)每個(gè)時(shí)間步計(jì)算

①計(jì)算t+Δt時(shí)刻的有效載荷向量

(33)

②求t+Δt時(shí)刻的位移

(34)

③計(jì)算t+Δt時(shí)刻的加速度和速度

(35)

(36)

4 數(shù)值仿真

以RV-80E為例，初始參數(shù)如表1所示.

表1 RV減速器基本結(jié)構(gòu)參數(shù)表

其中，針齒與齒槽間的間隙δjk=0.005 mm；擺線輪曲柄軸孔處的軸承間隙δbji=0.001 5 mm；行星架上曲柄軸孔處的軸承間隙δxi=0；行星架與殼體間的軸承間隙δca=0；其他誤差初始值設(shè)定如表2、3、4所示.

表2 擺線輪曲柄軸孔偏心誤差參數(shù)

表3 曲柄軸偏心輪偏心誤差參數(shù)

表 4 行星輪曲柄軸孔偏心誤差及裝配誤差參數(shù)

基本參數(shù)以及零件誤差根據(jù)實(shí)際測(cè)量的資料所得，對(duì)所建立的動(dòng)力學(xué)方程求解并進(jìn)行數(shù)值仿真，傳動(dòng)誤差隨行星架理論輸出轉(zhuǎn)角變化的仿真曲線如圖3所示，傳動(dòng)誤差在第二周趨于穩(wěn)定.系統(tǒng)傳動(dòng)誤差曲線具有清晰的波動(dòng)性，傳動(dòng)誤差的范圍為：-42.52″～8.141″，正值表明輸出值實(shí)際值大于理論值，負(fù)值意為輸出值實(shí)際值小于理論值.曲線呈現(xiàn)正負(fù)交替，表明RV減速器工作中齒輪嚙合存在快慢差異，傳動(dòng)過程不平穩(wěn).

圖3 系統(tǒng)傳動(dòng)誤差動(dòng)態(tài)曲線

5 結(jié)論

(1)采用質(zhì)量彈簧“等價(jià)模型”方法建立動(dòng)力學(xué)分析模型；根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)方程，并采用Newmark法通過Matlab編程對(duì)方程進(jìn)行求解；

(2)計(jì)算結(jié)果表明，最大誤差為42.52″，在1′以內(nèi).傳動(dòng)誤差呈現(xiàn)大周期和小周期變化，其中大周期和小周期分別由擺線輪轉(zhuǎn)一圈和一個(gè)齒引起輸出軸的轉(zhuǎn)角誤差導(dǎo)致的；為研究單項(xiàng)誤差對(duì)RV減速器傳動(dòng)的影響做了準(zhǔn)備.