非線性回聲消除之收斂性分析*

楊瑞麗，郭 瑩

（沈陽工業大學信息科學與工程學院,沈陽110870）

1 引言

聲學回聲一直是影響通信質量的關鍵問題[1-2]。目前，典型的回聲消除器設計都在假設回聲路徑是線性的，可以采用有限長脈沖響應（FIR）濾波器進行建模。然而，近幾年，隨著低成本小型設備在免提手機和視頻會議等應用中的廣泛使用，放大器和揚聲器引入非線性回聲的問題日益嚴重[3-4]。這種非線性回聲難以由傳統的線性回聲消除器消除，回聲路徑中存在的非線性也會限制線性濾波器的性能，干擾聲學脈沖響應的正確估計，降低語音信號的感知質量[5-6]。因此，如何消除非線性回聲日益成為信號處理領域的研究熱點[7-10]。

目前，雖然已有部分學者研究了很多非線性回聲消除法，但其都缺少相應的收斂性分析。為此，新提出的一種非線性回聲消除方法，在此基礎上，進一步對非線性濾波器系數和線性濾波器系數進行詳細的收斂性分析，并進行了大量的MATLAB實驗仿真，驗證對非線性回聲消除的收斂性分析的合理和可行性。

2 非線性回波消除

本研究采用基于Hammerstein模型的無記憶非線性回聲消除方案，以非線性濾波器建模非線性器件，以線性濾波器建模線性回聲路徑。系統整體構成原理如圖1所示。

圖1 非線性回聲消除系統

對于無記憶非線性濾波器，采取一種級數展開的截斷模型來描述，如下式所示：

其中，

這里，

由式(2)、(3)、(4)可以得到：

此處所用的兩個濾波器的自適應算法均采用NLMS算法，非線性濾波器系數的級聯NLMS迭代方程如下式：

相似地，線性濾波器系數的迭代方程可以表示為下式：

3 完美假設下的收斂性分析

3.1 線性系數誤差的收斂性分析

完美假設指的是濾波器系數對未知系統的估計是完全匹配的，這里是假設非線性系數估計完美時即，來對線性系數誤差進行收斂性分析。

線性系數誤差和非線性系數誤差分別表示如下：

公式(7)又可以表示為：

這里假設系統中的近端噪聲v(n)是零均值且獨立的，即這兩項不存在。

對其取跡可得：

通過遞歸，公式(14)可以重新表示如下：

3.2 非線性系數誤差的收斂性分析

4 不完美假設下的收斂性分析

4.1 線性系數誤差的收斂性分析

在此不再假設非線性系數是完美估計，而是考慮到了非線性系數的估計誤差所產生的影響。公式(9)將會成為線性參數的更新方程，有以下關系，其中

將線性系數估計誤差的相關矩陣劃分為兩個部分，可以將其重寫為：

由于假設非線性系數的估計誤差和線性系數的估計誤差的期望值均為零，以及當地噪聲的均值也為零，在此條件下，公式(22)中只保留了第五項，即如下式表示：

將公式(18)和線性濾波器的輸出代入公式(22)中，其可以被重寫為：

綜合以上分析，公式(19)可以重寫表示為：

接下來，對公式(24)進行求跡，

當Q=3時，

4.2 非線性系數誤差的收斂性分析

在不完美假設下對非線性系數誤差進行分析，其過程與在4.1中類似，

接下來，對此式求跡，具體表示如下：

當Q=3時，

5 仿真實驗

5.1 仿真條件

在仿真中，采用零均值的高斯白噪聲作為系統的輸入信號。無記憶非線性濾波器的階數取3,FIR濾波器的長度和線性聲學回聲路徑的長度一致，均為128。背景噪聲采用20dB的高斯噪聲。無記憶非線性系數向量定義為a=[1.0,0.1,0.33]T，線性聲學回聲路徑可以由下式產生[11]：

其中，n,i=0,1,...,L-1,L為脈沖響應長度，r(n)為[-0.2,0.2]的隨機數，δ為Dirac函數，L取128。如圖2所示。

圖2 聲學回聲路徑脈沖響應h

在初始化時，a與h不同，h初始化為零向量，而a初始化為[1,0,0]。

5.2 性能指標

非線性系數的權誤差向量范數WEVN表達式為：

線性系數的WEVN表達式為：

WEVN的值越小則說明自適應濾波器越逼近于所跟蹤的未知系統。

5.3 仿真結果分析

仿真生成曲線與理論曲線的對比情況如圖3、圖4、圖5和圖6所示，分別對應為公式(15)、公式(16)、公式(25)和公式(28)。

從圖3～圖6可以得出，無論是在完美假設條件下，還是在不完美假設條件下，線性系數和非線性系數誤差的仿真結果與理論結果之間的誤差保持在3dB左右，可以說明文中對線性濾波器系數和非線性濾波器系數的收斂性分析是合理的，這對非線性回波消除的研究具有很重要的意義。而且，在實際生活中有很多場合都會存在非線性回聲，比如，免提通話系統，視頻會議系統等。對于有關提高電信設備通話質量的研究，此仿真結果可提供有力的參考。

圖3 完美假設下線性系數誤差收斂曲線

圖4 完美假設下非線性系數誤差收斂曲線

圖5 不完美假設下線性系數誤差收斂曲線

圖6 不完美假設下非線性系數誤差收斂曲線

6 結束語

本研究在提出一種新的非線性回聲消除方法的基礎上，在完美假設和不完美假設的兩個方面分別對線性系數誤差和非線性系數誤差進行了詳細的收斂性分析，并進行了相應的MATLAB實驗仿真，與理論值進行對比，驗證了對線性系數誤差和非線性系數誤差的收斂性分析的合理性，對于非線性回聲消除的進一步研究具有非常重要的意義以及實用價值。