EPR信道保真度的研究

張安琪，李 暉

（沈陽工業大學信息科學與工程學院,沈陽110870）

1 引言

量子隱形傳態方案[1]是基于糾纏對實現的通信過程。近幾十年，從最簡單的EPR糾纏對[2]開始,研究人員已經提出諸多可行的量子隱形傳態方案[3-4]。但是受工業制造和環境噪聲等方面的影響，量子隱形傳態不能保證實現信息100%的“復制”，所以為了衡量量子隱形傳態方案是否成功，研究人員提出了一個量子通信中的重要物理量——保真度[5-6]。由于量子隱形傳態的理想的量子信道是不存在的，學者們致力于用不同方式來提高信道保真度以達到正確傳送量子信息的目的[7-9]。文獻[10]分析了以非最大糾纏的EPR態和GHZ態為信道的保真度，其中用信道系數代表糾纏度，驗證了保真度不但與信道糾纏度相關，還與待傳送粒子的糾纏度有關。文獻[11]提出一種測量保真度的方法，為理論計算建立保真度數學模型奠定了基礎。康永香，夏云杰等人在特定系統中通過提高信道的糾纏度，以及在傳輸過程中進行糾纏態提純來提高保真度[12-14]。文獻[15]描述一個優化且為純量子的貝葉斯推理修正保真度的狀態過程，可以求得保真度的極大值和極小值，但是沒有解釋保真度在兩極值之間的變化規律。文獻[16、17]研究了不同類型噪聲環境下的信道保真度，提出不同的噪聲對保真度的影響不同，給出了粒子糾纏態通過噪聲量子信道的最佳保真度，并證明了量子通信比經典通信更具優勢。可見，在量子通信中，針對不同類型的噪聲，可以設計不同信道系數幅度比的信道以提高保真度。

基于以上內容，當以EPR為信道傳送粒子時，由于通信信道受到不良影響，信道糾纏度不能達到理論上的最大值，保真度將隨著傳送的粒子數的增加而減小。但是，使用量子隱形傳態方案傳送信息時，不可能每次只傳送一個粒子，因為這樣會造成時間成本極大的浪費。所以本研究以非最大糾纏度的EPR為信道傳送（n=1、2、3）粒子，在信道的基礎設計方面，討論隨著傳送粒子數的增多，保真度與信道系數幅度比之間的變化情況。根據研究結果，可以得出量子隱形傳態為滿足保真度大于0.6700的臨界值，需要對EPR信道系數幅度比的取值條件，便于應用在實際的信道設計中。

2 量子隱形傳態信道保真度模型

設n粒子未知量子態從發送者Alice傳送給接收者Bob。n粒子未知量子態為：

傳送n粒子未知量子態的EPR信道表示為：

式中，Xi、Yi為信道系數，其幅度滿足對信道系數幅度滿足表示第i對EPR信道；下角標Ci1、Ci2分別表示組成第i個信道的糾纏粒子對中的第1個粒子和第2個粒子。

將每個EPR信道的第一個粒子Ci1發送給Alice，第二個粒子Ci2發送給Bob。Alice手中共有2n個粒子（n個被傳送粒子和n個信道粒子Ci1），Bob手中有n個信道粒子Ci2。

Alice擁有的總的量子系統表示為：

然后，Alice需要對手中的粒子進行Bell測量。

經過Bell測量后總的量子態由式(4)變為：

其中，Pj表示Bell測量的測量結果是的共軛轉置，Tr是求跡過程。

Bell測量后，Bob手中的粒子發生坍縮，Alice通過經典信道告知Bob自己Bell測量的結果，則此時Bob手中粒子的量子態密度矩陣可以表示為：

然后，Bob根據Bell測量結果設計合適的幺正算子U作用在總的量子態上，得出的最終量子態密度矩陣就是Alice需要傳送的量子態的密度矩陣，表示為：

式中，U+是U的共軛轉置。

將式(7)帶入保真度的數學模型為：

在式(9)中可以看到，分母的每一項都對信道系數進行平方處理，相當于取信道系數的幅度，令 k=，定義為以EPR為信道時的信道系數幅度比，當EPR信道為最大糾纏時有，若EPR糾纏度為非最大糾纏時，則k＞1。進一步化簡，式(9)可以寫成：

式(10)將信道系數幅度比ki與保真度F聯系了起來，可以研究保真度隨信道系數幅度比之間的變化情況及不同信道系數幅度比之間相互影響的情況。由式(10)可得，當信道為最大糾纏度即k1=k2=...=ki=...=kn=1時，保真度達到最大值，即F=1。

3 以EPR為信道傳輸3粒子的實現

假設發送者Alice有一個三粒子量子態，由粒子1、粒子2和粒子3構成，可表示為下式：

傳送三粒子的EPR信道分別由粒子C11和粒子C12，粒子 C21和粒子 C22，以及粒子 C31和粒子 C32組成，且信道系數幅度滿足

所以，發送者Alice手中有粒子1、粒子2、粒子3、粒子C11、粒子C21和粒子C31。發送者Alice總的量子系統表示為：

Bob手中有粒子C12、粒子C22和粒子C32。然后，Alice對手中的粒子1和粒子C11，粒子2和粒子C21，粒子3和粒子C31分別進行Bell測量。

Bell測量結束后，Bob手中的粒子坍縮為：

式(13)經過幺正變換后量子態的密度矩陣為：

中國特色社會主義制度自信與國家自信的關系最為緊密。新中國成立時，確立的是新民主主義制度，當時的中國仍是一個新民主主義國家。1956年，社會主義改造的完成和社會主義制度的基本建成，標志著中國從新民主主義社會過渡到了社會主義社會。在“四個自信”中，文化自信、道路自信和理論自信的歷史起點都先于新中國的成立，只有制度自信的歷史起點與新中國的成立是同步的。在現代意義上，建立一個國家，必然要相應地建立一套制度體系，離開一定的制度體系，國家是無法存在。所以在“四個自信”中，制度自信與國家自信的關系最為緊密。

可以驗證，該信道在單位時間內傳送了三個粒子，當k1=k2=k3=1時，保真度最大，即F=1。這表明這種演化推導保真度的方式是正確的。

4 實驗仿真與數據分析

在上述理論分析的基礎上，對保真度變化與糾纏信道系數取值之間的關系進行定量分析。分別定量分析了一對EPR信道傳送單粒子的保真度、兩對EPR信道傳送2粒子的保真度以及三對EPR信道傳送3粒子的保真度變化，及其糾纏信道系數幅度比的取值。以經典信道所能達到的最大保真度0.6700為臨界值，當保真度大于0.6700時，認為量子隱形傳輸成功。當保真度減小到臨界值以下，則界定量子隱形傳輸失敗。

數據分析共分為三個部分：首先給出了保真度隨信道系數幅度比的變化情況；然后給出保真度為臨界值時，多對EPR信道系數幅度比之間的變化關系；最后研究信道系數幅度比之和隨著信道系數幅度比的變化規律。

圖1和圖2分別為一對和兩對EPR傳輸粒子時保真度隨信道系數幅度比變化的曲線圖。圖中水平實直線為臨界值0.6700。

圖1 一對EPR信道k1-F變化曲線

圖2 兩對EPR信道k2-F變化曲線

如圖1所示，在k1-F曲線中，信道的保真度從1.0000開始隨著信道系數幅度比k1的增大而快速減小，至k1=2.6000，保真度為0.2577處，保真度隨著k1的增大而緩慢減小，并逐漸趨近于0。保真度F=0.6700所對應的k1值為1.4089。當F＞0.6700，即信息正確傳送時，信道系數幅度比的取值范圍k1∈(1，1.4089)。

圖2表示當其中一對EPR信道k1增加時，k2-F曲線會隨著k1的增加而下降,表明正確傳送量子信息的k2范圍縮小，使信道設計更加困難。k1=1的曲線和k1-F重合，說明兩對EPR信道當中有一對信道系數幅度比為1時，保真度只與另一對信道系數幅度比相關，相當于一對EPR信道的保真度。這也表明最大糾纏態的EPR信道是最理想的信道，當多對EPR為信道傳送粒子時，最大糾纏態的EPR信道對于總信道的保真度無影響。三條k2-F曲線起始坐標分別為(1.0000,1.0000)、(1.0000,0.8197)、(1.0000,0.6757)，它們的縱坐標差值是遞減的，即曲線向下移動的程度變小，這說明信道系數幅度比增大對保真度的影響程度減小。當k1=1.4089時，其k2-F曲線的起始點坐標為（1.0000,0.6700），所以在 k1＞1.4089時，無論k2取何值，其k2-F曲線上每個點均在F=0.6700臨界值以下，無論信道如何設計，量子信息均無法正確傳送。

圖3、圖4、圖5、圖6及圖7探究多對EPR信道傳輸粒子時，各個信道的信道系數幅度比之間的相互關系。為了便于對信道系數幅度比規律的探究，以下探究均是在保真度為臨界值的條件下完成的，即F=0.6700。

圖3中點橫線上的點均可使F=0.6700，表示兩對EPR信道的信道系數幅度比k1和k2之間的相互關系是非線性的。該曲線與X、Y軸分別交于點(1.0000,1.4089)和點(1.4089,1.0000)；在曲線上任意取得一點(1.1000,1.3044)，該點的坐標X、Y軸相互交換后的坐標(1.3044,1.1000)和點(1.2014,1.2014)都在該曲線上，這證明該曲線凹向原點 (1.0000,1.0000)且關于直線X=Y對稱。在由曲線與X、Y軸相交所圍成的區域內取得的點（k1,k2）可使F＞0.6700，保證量子信息的正確傳送。

圖3 兩對EPR信道k1、k2關系曲線

圖4中的點可以滿足F=0.6700，即表示三對EPR信道系數幅度比k1、k2和k2之間的關系。圖中由點表示的面構成一個頂點坐標分別是（1.4089,1.0000,1.0000）、（1.0000,1.4089,1.0000）、（1.0000,1.0000,1.4089）的曲面。在曲面與三個坐標軸相交形成的平面所圍成的密閉體區間內F＞0.6700，可以確保量子信息的正確傳送。

圖4 三對EPR信道k1、k2和k3關系曲線

圖5、圖6和圖7研究信道系數幅度比之和S隨信道系數幅度比ki變化的曲線。

在圖5中，由于k1-S曲線和k2-S曲線重合，這表明在以EPR為信道的量子隱形傳送過程中，每對EPR的信道系數幅度比k1和k2對于整體信道的影響是相同的。在該圖像中，每條ki-S曲線的最低點坐標為（1.2014,2.4028），最高點坐標為（1,2.4089）和（1.4089,2.4089）。

圖5 兩對EPR信道S隨ki變化曲線

由于k1-S曲線和k2-S曲線是重合的，取k1-S曲線研究單獨一對EPR信道系數幅度比的性質。取k1-S曲線在定義域（1.2014,1.4089）內的曲線圖像以k1=1.2014為對稱軸反轉，形成“—□—”圖線，如圖6所示，在定義域（1.0000,1.2014）內，“—□—”線和“—*—”線完全重合，說明k1-S曲線是關于k1=1.2014對稱軸對稱的曲線。

圖6 兩對EPR信道S隨k1變化曲線

為了說明ki-S曲線的意義，在k1-S曲線上任取一點（1.1000,2.4044）為例進行解釋。點（1.1000,2.4044）代表的意義是：在用兩對EPR傳送信息的量子信道中，當k1=1.1000，k1=S-k1=2.4044-1.1000=1.3044時，能保證信道保真度F=0.6700，k1-S曲線的其余點同理。所以在k1-S曲線上，點（1.1000,2.4044）到點（1.1000,2.0000）直線范圍之間的點表示的是：當k1=1.1000時，k2在1.0000～1.3044區間內的任意取值都能保證信道保真度F≥0.6700，即量子信息能夠正確傳送。所以曲線上每個點到直線S=2.0000的距離可以間接表示在該點條件下量子信息正確傳送的信道系數幅度比取值的范圍。綜合來看，在ki-S曲線上，最高點坐標的信道系數幅度比之間的差值為0.4089，最低點坐標的信道系數幅度比之間的差值為0.2014，所以信道系數幅度比的差值越小，使量子信息能夠正確傳送的信道系數幅度比的取值范圍也就越小。以上分析表明以二對EPR為信道時，信道系數幅度比ki在從1.0000變化到1.4089的過程中，能正確傳送量子信息的信道系數幅度比的取值范圍先減小后增大，當ki=1.2014時，能正確傳送量子信息的信道系數幅度比的取值范圍最小。

如圖7所示，曲面上的每一點都能滿足信道保真度F=0.6700。曲面上最低點和三個最高點分別代表當滿足信道保真度F=0.6700時的k1、k2及S的值。

還可進一步求得相應的k3值，如表1所示。

在圖7曲面上每一點到平面S=3.0000的直線區間內取得的點（k1,k2,S）均可使F≥0.67，保證量子信息的正確傳送。在曲面的最低點，任意兩個信道系數幅度比之差取絕對值，三個絕對值求總和為0；同理，在最高點，三個總和值都為0.8178。類似于上述分析的以兩對EPR為信道的ki-S曲線，隨著任意兩個信道系數幅度比之差取絕對值求和值的減小，能正確傳送量子信息的信道系數幅度比的取值范圍減小，曲面最低點，有k1=k2=k3=1.1338時，能正確傳送量子信息的信道系數幅度比的取值范圍最小。

圖7 三對EPR信道S隨k1、k2變化曲面

表1 圖7的最高/最低點坐標及對應k3值

5 結束語

對以EPR為信道傳送粒子信道模型的保真度與信道系數幅度比之間的關系規律進行了探討。驗證了當分別以一對，二對和三對EPR為信道傳送粒子時，k-F曲線會怎樣隨k的變化而變化的規律。當兩對以上的EPR為信道時，理論上，每對EPR對于總信道的影響是相同。以此，可推廣得知以n對EPR為信道傳送多粒子時，每對EPR在總信道中均處于對稱的地位，對總信道的影響相同，但為了保證量子信息的正確傳送，總信道的信道系數幅度比之和S在信道設計方面要滿足一定的取值條件才能保證傳輸成功。對信道系數幅度比之和的范圍的研究結論，對于在工程中展開信道設計具有直接的應用價值。