隨機跳風險與隨機強度組合模型的歐式期權定價

一、引言

自從由Black和Scholes[1]提出期權定價理論，該理論在股票價格變化分析方面得到了有效應用。針對擴散模型，需假設價格連續變化。伴隨著后續研究的不斷深入，人們發現在實踐運用過程中，Black-Scholes模型分析結果與實際情況存在出入。一旦有重大事件發生，如認識變動、災難等，會有重大信息出現。此時，股票市場上將出現價格大幅度波動，呈現出跳躍性的特點。出現這種情況，主要是由于以往模型采用的是純粹的假設因素。針對這一問題，后續學者不斷進行模型改進，以便使Black-Scholes 模型得到更好的推廣運用。從實踐研究來看，在股票市場上，不連續波動的發生，主要是受到了利率跳變的影響[2-6]。

本文通過分析股票市場結構，聯合分析隨機跳風險與隨機強度，并提出了相應的組合模型。在此基礎上，通過對以往的傅里葉反變化、Feynman-Kac公式等進行聯合運用，則能更好的完成歐式期權定價分析。從模型特點上來看，跳風險的引進，同時加強市場利率跳變，使得股票波動與隨機變化相關性更加顯著，因此得到的結果更具普遍性。

二、市場模型

因為Poisson跳過程存在，同時存在V1,V2這兩個無法交易因素，因此市場不完全。受這一因素影響，盡管存在等價鞅測度，卻不止一個。為加強風險中性定價，還要采用最小熵測度等.假設Q為特選測度，可以得到短期利率r(t)滿足

r(t)=V1(t)+V2(t)，

(1)

其中

(2)

Λ指的是股票跳躍強度，滿足式(3)

(3)

以及股價S無連續紅利支付并滿足

(4)

三、主要結果及證明

首先，T為到期日，可知無風險債券價格能夠利用引理1推導.

引理1 (1)、(2)為利率模型，對無風險債券進行分析可得

P(t,T)=P(t,V1,V2,T)=exp(A(t,T)-B(t,T)V1-B1(t,T)V2)，

其中

(5)

(6)

(7)

b2=r2-a2,a3=2+μ1r1+μ1a1,b3=μ1r1-2-μ1a1,a4=-2+μ2r2+μ2a2,

b4=μ2r2+2-μ2a2.證明：根據Feynman-Kac公式得出P(t,V1,V2,T)滿足下列P.D.E：

(8)

以及P(t,V1,V2,T)=1

由于模型(1)，(2)均是仿射結構的，于是T期無風險債券P(t,T)有指數形式的解：

P(t,T)=P(t,V1,V2,T)=exp(A(t,T)-B(t,T)V1-B1(t,T)V2)

(9)

將(9)代入(8)，得：

(10)

且

A(T,T)=0,B(T,T)=0,B(T,T)=0.

化簡得

(11)

比較V1,V2前面的系數可以得出下列O.D.E：

求解(12)、(13)得B(t,T)、B1(t,T)代入(14)式，能夠得到A(t,T).

通過推導，可知無風險債券價格P(t,T)應該達到S.D.E.

在歐式期權定價分析時，需要先確定看漲期權.

根據無套利原理，條件為T，K為執行價，可以得到t時看漲期權價

(15)

IA為示性函數.

在對條件期權進行計算時，需要完成新概率測度Q1、Q2的定義，以S(t)為計價單位，實現測度Q1的變換，以P(t,T)為計價單位，完成測度Q2變換：

(16)

由Q1、Q2為概率測度且等價于Q，則

VC(t,S;V1,V2)=StQ1(ST>K)-KP(t,T)Q2(ST>K)

=StQ1(lnST>lnK)-KP(t,T)Q2(lnST>lnK)

(17)

為了得到概率Q1、Q2閉式解，需要導出其相應的特征函數式，定義

(18)

則

(19)

以及

(20)

從而

(21)

(22)

定理1 在(1)，(2)，(3)，(4)模型應用基礎上，在T時刻，執行K，可得歐式股票看漲期權價格：

(23)

證明：由Fourier反變換和分布函數的關系知

(24)

從而

(25)

(26)

將(25)、(26)代入(17)中，得證定理.

推論1 在金融市場模型(1)，(2)，(3)，(4)下，T時刻，執行K，可得歐式股票看跌期權價：

（3）樹立危機意識。危機意識是企業財務管理人員必須時刻具備的，正所謂“生于憂患”，企業財務管理人員在新時期更需要重視自身理論觀念的充實、豐富與發展，培養接納新事物，勇于挑戰的心理素質，要充分意識到經濟開放性所帶來的機遇與挑戰，梳理企業發展面臨的困難，樹立危機管理意識，積極向外開拓新的業務與對外合資渠道，全方位、多層面的促進企業資本的多元化發展，將“雞蛋”放在盡可能多的“籃子”里，降低企業財務風險。

(27)

從(23)式可看出，期權價格的計算依賴于特征函數φ1(u)、φ2(u)的表達式，而有(21)、(22)式，故只需計算ψ(z)的表達式如下：

(28)

于是

(29)

其中

在(29)式中，

(30)

(31)

其中

(32)

(33)

則由Feyman—Kac定理可知，知y(t,T,V1)是下面向后PDE方程的解

由于v1滿足仿射結構形式，故y(t,T,V1)有指數形式的解，設y(t,T,V1)=exp{E(t,T∶z)-H(t,T∶z)V1(t)}，將其代入上述PDE方程并求解即可得證。

(34)

(35)

證明：證明過程類似引理1。

(36)

(37)

證明：證明過程類似引理1。

綜合上述引理2—4，得

ψ(z)=exp{E(t,T∶z)-H(t,T∶z)V1(t)}·exp{C(t,T∶z)-D(t,T∶z)V2(t)}·exp{G(t,T∶z)-F(t,T∶z)λ*(t)}·ezk3=exp{E(t,T∶z)-H(t,T∶z)V1(t)+C(t,T∶z)-D(t,T∶z)V2(t)+G(t,T∶z)-F(t,T∶z)λ(t)-zk3}

(38)

于是有

引理5 定理1中的兩個特征函數、φ2(u)的表達式分別為：

φ1(u)=exp{(E(t,T∶1+iu)-E(t,T∶1))-(H(t,T∶1+iu)-H(t,T∶1))V1(t)+(C(t,T∶1+iu)-C(t,T∶1))-(D(t,T∶1+iu)-D(t,T∶1))V2(t)+(G(t,T∶1+iu)-G(t,T∶1))-(F(t,T∶1+iu)-F(t,T∶1))λ(t)+iuk3},

(39)

φ2(u)=exp{(E(t,T∶iu)-E(t,T∶0))-(H(t,T∶iu)-H(t,T∶0))V1(t)+(C(t,T∶iu)-C(t,T∶0))-(D(t,T∶iu)-D(t,T∶0))V2(t)+(G(t,T∶iu)-G(t,T∶0))-(F(t,T∶iu)-F(t,T∶0))λ(t)+iuk3}.

(40)

四、結論

本文在股價市場結構隨機跳風險與隨機強度組合模型下，實現對Fourier反變換的應用，同時將Feynman-Kac公式與偏微分方程等相結合，實現了對歐式股票期權價值的分析研究。而回望期權、重置期權、亞式期權等奇異期權在該模型下的期權定價有待進一步研究。

(柳州職業技術學院通識教育學院，廣西 柳州 545006)