一題多解

摘 "要：做題不在多，而在于精。若能解透一道題，并加以歸納總結，效果更好！

關鍵詞：一題多解 "幾何模型

半角旋轉，一線三等角（k字形），A形X形相似，母子相似來看題吧：

如圖1，正方形ABCD中，AB=4，點E在BC上，BE=1，∠EAF=45°.

直線AF分別交CD和BC的延長線于點G、F，求EF的長。

解法1、思路點撥：

直角含半角模型，首選思路--旋轉，

如圖2：結論有BE+DG=EG。設DG=m，則：CG=4-m，EG=m+1，又EC=3，

根據勾股定理（m+1）²-（4-m）²=3²，解得：m=2.4，

解法2、思路點撥：

結合45°和已知三邊的直角三角形，可聯想輔助線：構造等腰直角三角形，

如圖3：過F做FH⊥AE，交AE延長線于H，易得△AFH為等腰直角三角形，

△ABE∽△FHE，△ABE三邊比為1：4：√17，設EH=m

則：FH=4m，EF=√17m，又由m+√17=4m，解得：m=√17/3，EF=17/3.

解法3、思路點撥：

由45°聯想構造“K字型”全等！

如圖4，過E作EM⊥EA交AF于M，過M作MN⊥EF于N，

易證：△ABE≌△ENM，MN=1，EN=4，又△FBA∽△FNM（A形相似）可求得m的值

解法4、思路點撥：

看到與矩形、正方形相關的，可想到建立直角坐標系（簡稱：建系）

利用求直線解析式和交點坐標可求解，可簡化圖形，如圖5：

問題可轉化成：求直線AF解析式，又∠EAF=45°，直線AF可看成為由直線AE繞點A旋轉45°所得。

如圖6：構造K字型（與法三同理），求出M（5，1）求得直線AF解析式，算出點F坐標

解法5：構造直角三角形相似，與解法6思路類似，不過計算更簡單。如圖7：

解法6，構造X形相似，如圖8：

參考文獻

[1]唐紹友.也談一題多解教學[J].數學通報，2005，44（8）：50-51.

[2]陳迪軍.變式教學誘發一題多解[J].數學通報，2006，45（1）：44-45.