一元一次方程判斷的研究

摘要：文章以一元一次方程的判斷為例，結合整個中學教材體系、方程概念，以及方程產生的歷史背景和現實意義，詳細闡述方程判斷不需要化簡。

關鍵詞：一元一次方程：方程判斷;化簡方程

一、問題背景

在一次教師研討會上，一位教學經驗豐富的教師提出了一個讓大家都疑惑的問題。

問題：試判斷下面三個方程是否為一元一次方程。

（1） 2x+y=x+y+3;

（2） x2+2x+3 =X2+X;

（3） x+1/x=2x+1/x+3。

問題一拋出，立刻引起了廣泛討論，經過激烈的爭辯，大家最終沒有統一標準，主要呈現以下幾種答案。

第一種答案：這三個方程是一元一次方程，理由是經過化簡，上面三個方程都是只含有一個未知數x的一元一次方程。

第二種答案：上面三個方程都不是一元一次方程，理由是不符合一元一次方程的定義。

第三種答案：第（1）個方程和第（3）個方程不是一元一次方程，第（2）個方程是一元一次方程。理由是：第（1）個方程有二元，第（3）個方程有分式，而一元一次方程是只含有一個未知數（元），未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式。第（2）個方程是一元一次方程，因為有種題型，若（a-1）x2+x+3=0是一元一次方程，求a的值？而第（2）個方程正好同此題，所以可以判斷第（2）個方程是一元一次方程。

其實，此問題的最終困境就是判斷一元一次方程到底要不要化成最簡形式？筆者翻閱各種版本的教材，都沒有明確說明判斷一元一次方程要不要化簡。

二、判斷一元一次方程的思考

1.從一元一次方程概念思考

從《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）來看，以前已經有關于簡單方程的內容，學生已經對方程有了初步的認識，會用方程表示簡單情境中的數量關系，會解簡單的方程，實際問題是引入方程概念的有力工具，一元一次方程的定義引出亦然。

定義1：方程中只含有一個未知數（元），未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程。

從定義中無法知曉、判斷一個方程是否需要化成最簡形式，各種版本的教材和《標準》都沒有給出明確的答案，若教材對定義沒有給出其他解釋補充或沒有給出相關例題來闡述，筆者認為從定義上去分析解題是可行的。既然教材沒有說明，筆者認為就不能通過化簡方程來判斷一個方程是否是一元一次方程。

2.從一元一次方程產生的現實意義思考

在研究數學問題時，我們可以發現其中的未知數不是孤立的，它們與一些已知數之間有確定的聯系，此種聯系常常表現為一定的相等關系，把此種關系用數學形式寫出來就是含有未知數的等式。下面，筆者以一個實際問題來說清楚未知數不是孤立的。

例1 一艘大輪船沿江以最大航速順流航行2小時到達終點，一艘小輪船沿江以最大航速順流航行2小時后距離終點4 km，求小船在靜水中最大速度與大船在靜水中最大速度的關系？

設大輪船在靜水中的最大航速為x km/h，小輪船在靜水的最大航速為y km/h，水的流速為z km/h。則大輪船航行2小時的距離為2（x+z） km，小輪船航行2小時的距離為2（y+z） km，根據題意，建立等式2（x+z）=2（y+z）+4。①

式子①是一個三元一次方程，其中每個未知數都有它具體表達的實際意義。x表示大輪船在靜水中的最大航速，y表示小輪船在靜水中的最大航速，z表示水流的速度，每個未知數都不是多余的。但是，化簡后判斷這個方程，就變成2x= 2y+4。②或者最簡形式：x=y+2。③

三個式子中①式和②③式不是同一個式子，雖然它們最終結果都一樣，但是這三個式子表達的意思不同。對方程有關概念的討論，是建立在運用方程解決此種數學建模的大背景之下進行的，切勿隨意化簡方程來討論或定義方程類型，此種做法脫離了方程中“元”表示的實際意義。通過化簡去判斷且認定一元一次方程的方式不妥當，應該保持方程的原汁原味來判斷。

3.從相關概念類比思考

筆者想通過分式與根式的概念進行類比，說明方程判斷問題。教材對分式的定義如下。

定義2：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

分式的此種定義方式是從式子形式出發的，分式定義的含義來源于生活實際背景的問題，它不是脫離實際產生的，而是反映現實生活問題中數量關系的一種模型。

例2 判斷（x2-9）/（x+3）是不是分式？

這里大家都能判斷出上式是分式，筆者之所以將這個問題安排在此處，不難發現題中的分式是可以通過約分化簡的，即（x2-9）/（x+3）=（x+3）（x-3）/（x+3）=x-3如果我們化簡后去判斷原式是否是分式，答案就不一樣了，顯然x-3是一個整式。但是，根據分式的定義，它確實是一個分式，即便（x2-9）/（x+3）可以經過約分化簡成x-3，但是如果獨立看這兩個式子，x的定義域明顯不同，因此不能通過化簡去判斷一個式子是否是分式。

參考文獻：

[1]嚴惠.五種版本數學教材中一元一次方程內容的比較[D].上海：華東師范大學，2007.