當90°角遇上正方形

摘要：文章以一道正方形為背景的幾何證明題為例，嘗試探究如何挖掘正方形的基本條件來解決問題，以達到拓寬學生解題思路的目的。

關鍵詞：90°角;正方形;一題多解;證明思路

正方形是特殊的平行四邊形，它兼顧了矩形和菱形的性質。正是由于它本身有很多特殊的性質，不少幾何題目都將正方形作為題目背景。要想順利解決此類問題，就必須要把握好正方形的已有性質和題目關鍵條件兩個方面。下面，筆者就從一道90°角結合正方形的題目出發，探究此類題目的常規解題思路。

一、試題呈現

如圖1，在正方形ABCD中，AC是對角線，現有較大的直角三角板，一邊始終經過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于點Q。當點Q在DC邊上時，猜想并寫出 PB與PQ所滿足的數量關系，并加以證明。

此題是一道以正方形為背景的動態幾何問題，不難猜想肯定滿足PB= PQ。既然始終是在正方形這個模型下，就需要從正方形人手找出其中一些有用的條件，也就是所謂的動中取靜。動態問題中不變的條件起到關鍵作用，這往往也是問題解決的突破口。

二、解法分析

此題中直角頂點的擺放位置不是隨意的，始終在正方形對角線AC所在的直線上，因此利用好AC的性質就是此題的突破口。

1.既是對角線，又是角平分線

AC既是正方形的對角線，又是∠DAB和∠DCB兩個直角的角平分線。既然是角平分線，學生馬上就會聯想到角平分線的性質，過點P構造兩條垂線段進行證明。

從另外一個視角看這個動態問題中的不變量，雖然∠QPB的位置在不斷變化，但是角度始終為90°。這也是變化中的重要不變量，根據這個重要條件可以得到新的解法。

2.構造旋轉、全等解決問題

3.四點共圓解決問題

三、回顧反思

解答完此題后，我們有必要思考并總結解題經驗。

首先，這是一道動點問題不變結論的證明問題。要想解決此類問題，往往要從動態變化中的不變量人手，不同的角度產生了不同的證明思路。證法1的角度是點P始終在角平分線上，證法2的角度是點P始終在對稱軸上。另外，此題以正方形為背景，也是提供了這樣不變量的基礎，即AC既是角平分線，又是對稱軸，出現了45°和90°這樣的特殊角。

其次，在解決初中幾何問題時，模型思想也非常重要，以上多個變式其實都有一個基本模型——四點共圓模型，往往一個模型的解題方法都是可以借鑒的。

參考文獻：

[1]劉思武.當45°角邂逅正方形：從一道小題到母題的探尋過程[J].中國數學教育（初中版），2017 （12）.