應用均值不等式求最值的常用方法

張文雅

摘要：本文介紹了考試大綱對均值不等式的考查要求和應用均值不等式求最值時的條件，同時還結合例題介紹了應用均值不等式求最值的三種常用方法：推廣結論公式法、換元法、最值取等。

關鍵詞：均值不等式;一“正”二“定”三“等”;推廣公式;換元化歸;最值取等

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）19-077-1

教育部考試中心發布的《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（理科）》，對于均值不等式的要求：掌握兩個和三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這兩個定理，并能運用上述性質、定理和方法解決一些問題。即指以下兩個不等式：x+y2≥xy，x+y+z3≥3xyzx、y、z∈R+①（當且僅當這些正數都相等時，取“=”號）。使用時，常需變形為一邊是純粹的“和式”或“積式”[1]。

一、運用均值不等式求最值時的條件

運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”。即：（1）要考慮字母或字母的組合是否為正的;（2）考慮相應的和（或積）是否為定值;（3）要考慮等號成立的條件。

二、應用均值不等式求最值的常用方法

1.推廣結論公式法

兩個和三個正數的平方平均數不小于它們的算術平均數，兩個和三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，兩個和三個正數的幾何平均數不小于它們的調和平均數。公式如下，其中②式稱為平方平均數，③式稱為調和平均數。

x2+y22≥x+y2≥xy≥21x+1y②

x2+y2+z23≥x+y+z3≥3xyz≥31x+1y+1z③

當且僅當這些正數都相等時，取“=”號。②式和③式，考綱雖不要求，但可作為中間結論，化繁為簡。②式易證從略;③式的第一個不等號與第三個不等號證明如下：

（x-y）2+（y-x）2+（z-x）2≥0

x2+y2+z2≥xy+yz+zx

x2+y2+z23≥x+y+z3

1x+1y+1z≥3·31x·y·z3xyz≥31x+1y+1z

例1：已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均為銳角），那么cosα·cosβ·cosγ的最大值等于。

解析：由sin2α+sin2β+sin2γ=1可推出cos2α+cos2β+cos2γ=2，考慮用公式③解，由

3cosα·cosβ·cosγ≤cos2α+cos2β+cos2γ3=23

得cosα·cosβ·cosγ≤269（當且僅當cosα=cosβ=cosγ=23時，取最大值）

如果題設不變，要求cosα+cosβ+cosγ最大值和1cosα+1cosβ+1cosγ的最小值，雖然難度更大，但應用公式③即可求解。

2.換元法

換元法是指把一個比較復雜的數學式子的一部分看成是一個整體，用另一個字母代替這一部分（即換元）的方法。換元法滲透著化歸和整體的數學思想，可以使式子得到簡化，各項的關系容易看清，便于解決問題。

例2：已知0<a<1，求1a+41-a的最小值。

解析：令1-a=b>0，問題等價于：已知a+b=1，a，b∈R+，求1a+4b的最小值

（1a+4b）·1=（1a+4b）·（a+b）=ba+4ab+5

≥21·4+5=9

當且僅當ba=4ab，即a=2-3時上式取等號。

故1a+41-a的最小值為9。

3.最值取等法

最值取等法指從不等式中發現等號成立的條件入手，使用時保證等號能取得到的方法解題。使用此方法解題時，常有意想不到的效果。

例3：已知a>0，b>0，a+b=1，求證（a+1a）2+（b+1b）2≥252。

解析：此題證法很多，但幾乎所有證法都要多次用到均值不等式，所以此題難度較大。但若抓住等號成立的條件a=b=12并正確應用均值不等式，問題便能迎刃而解。其中一種解法如下：左邊=a2+1a2+2+b2+1b2+2，因為a2+1a2≥2的等號不成立，此時“山重水復疑無路”，但重新組合后可知1a2+1b2≥2ab≥1（a+b2）2=4，a2+b2≥（a+b）22=12，此時便能“柳暗花明又一村”，題中不等式得證。

綜上所述，利用均值不等式求最值時應注意一“正”、二“定”、三“等”，其中等號成立的條件更要引起注意。同時，推廣公式做中間結論，換元法，先猜測再證明，這些也都是數學上常用的解題方法。

[參考文獻]

[1]房瀚婕，田建.妙用均值不等式 提升解題能力[J].高中數學教與學，2017（01）.