利用洛倫茲力分量式巧解2018年全國卷壓軸題

崔琰 馬朝華

摘要：2018年全國高考理綜Ⅰ卷和Ⅱ卷的第25題均以帶電粒子在電場和磁場的復合場中的運動為命題背景，加入了繁雜的數學計算的考查.運用“洛倫茲力分量式”的方法進行巧解，規避了復雜的數學計算，可供廣大教師和同學參考.

關鍵詞：壓軸題；洛倫茲力分量式；帶電粒子運動

作者簡介：崔琰（1982-），男，天津人，博士研究生，海淀區物理教研員，研究方向：中學物理教學；

馬朝華（1969-），女，北京人，中學高級教師，海淀區物理教研員，研究方向：中學物理教學.

2018年全國高考理綜Ⅰ卷和Ⅱ卷的第25題，即物理壓軸題，以帶電粒子在電場和磁場的復合場中的運動為命題背景，加入了繁雜的數學計算考查.這兩道題的難點在于帶電粒子在交替存在的電場和磁場中的運動情景，非常難以理解，且常規解法還需要用到平面幾何等數學知識，非常繁瑣.本文運用“洛倫茲力分量式”的方法對此題進行巧解，規避了復雜的數學計算.

1洛倫茲力分量式方法

電荷量為q某一帶電粒子，在磁感應強度為B的勻強磁場中做勻速圓周運動，其速度大小為v，方向垂直于磁場方向，則該帶點粒子所受的洛倫茲力的大小f = qvB，方向垂直于B 和v.帶電粒子在此運動過程中，在y方向上的分速度vy 產生沿x方向的洛倫茲力fx；在x方向上的分速度vx產生沿y方向的洛倫茲力fy，如圖1所示.

由此可以得到，洛倫茲力x方向上的分量式[1]為fx=qvyB①

根據牛頓第二定律可知fx=max=mdvxdt②

聯立①、②兩式可以得到qBvydt = mdvx ③

對③式兩側同時積分可得qBy=m·Δvx

同理，可得 qBx=m·Δvy

由此可以得出，某一帶電粒子在磁場中運動時，其x方向的位移與y方向的速度變化量Δvy成正比；同理，其y方向的位移與x方向的速度變化量Δvx成正比.

【題目1】（2018全國Ⅰ卷）25.如圖2，在y > 0的區域存在方向沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E；在y < 0的區域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場.一個氕核11H和一個氘核21H先后從y軸上y=h點以相同的動能射出，速度方向沿x軸正方向.已知11H進入磁場時，速度方向與x軸正方向的夾角為60°，并從坐標原點O處第一次射出磁場.11H的質量為m，電荷量為q.不計重力.求

（1）略.

（2）磁場的磁感應強度大小；

（3）21H第一次離開磁場的位置到原點O的距離.

解：（1）過程略.得x=233h④

（2）11H在電場中運動時，由牛頓第二定律有豎直方向速度大小為vy=2ah=2qEhm⑤

利用洛倫茲力分量式有：qBx=m·2vy⑥

聯立④、⑤兩式可得

B=m·2vyqx=mq·2qEhm·23h3=6mEqh

（3）21H電場中的加速度大小為

a1=qE2m=12a⑦

由牛頓第二定律有21H豎直方向速度大小為

vy1=2a1h=22vy⑧

利用洛倫茲力分量式有：qBx1=2m·2vy1⑨

聯立⑦、⑧、⑨式，并與⑥式比較，可得

x1=2m·2vy1qB=2m·2vyqB=2x

所以21H第一次離開磁場時的位置到原點O的距離為Δx=x1-x=（2-1）233h.

【題目2】（2018全國Ⅱ卷）25.一足夠長的條狀區域內存在勻強電場和勻強磁場，其在xOy平面內的截面如圖3所示：中間是磁場區域，其邊界與y軸垂直，寬度為l，磁感應強度的大小為B，方向垂直于xOy平面；磁場的上、下兩側為電場區域，寬度均為l′，電場強度的大小均為E，方向均沿x軸正方向；M、N為條狀區域邊界上的兩點，它們的連線與y軸平行.一帶正電的粒子以某一速度從M點沿y軸正方向射入電場，經過一段時間后恰好以從M點入射的速度從N點沿y軸正方向射出.不計重力.

（1）略

（2）求該粒子從M點入射時速度的大小；

解：（1）略.

（2）根據牛頓第二定律和運動學公式可知，粒子到達電場與磁場交界處時水平方向速度大小為：

vx=qEm·l′v0⑩

利用洛倫茲力分量式有

qBl=m·2vxB11

聯立⑩、B11兩式有：qBl=m·2qEm·l′v0，

求解可得：v0=2El′Bl.

這兩道考題中，帶電粒子首先在電場中做類平拋運動， 之后又在磁場中做圓周運動，這對于平面幾何知識的掌握要求很高，如果采用常規解法的話，數學推導過程相當復雜，學生在考場中很難在短時間內正確推導出結果.若采用上述洛倫茲力分量式的推論， 便可以規避復雜的數學運算過程，簡單方便地給出正確的解答.

該解題思路與2008年江蘇高考物理壓軸題和第17屆中學生物理競賽復賽第5題的解題技巧非常相似.競賽試題慢慢滲透到高考試題中，這與高考試題的深化改革目標是相一致的.同時，在高考中，各學科的相互滲透也在不斷加強，其中，物理學科對數學運算能力的要求在不斷加強.對于可以減輕計算量、增大思考量和思維深度的題目，廣大教師應加大研究力度[2]，不斷推陳出新，在常規解法的基礎上，找出更加簡便快捷的解題方法.經常回顧歷年高考試題以及競賽中的中低檔題目，可以對解題能力起到巨大的促進作用.

參考文獻：

[1] 陳國良.運用洛倫茲力分量式的推論巧解物理難題[J]. 物理教師，2010 （6）：63.

[2] 崔琰，任藝，李筱娜. 2015年北京高考物理壓軸題的評析與思考[J]. 物理教學，2015（10）：72-73.

[3] 崔琰，馬朝華. 2015 年天津高考物理壓軸題第2問的巧解[J].物理教學探討， 2015， 33（12）： 41-42.