巧用零點來解題

劉輝

摘 要：一元二次函數(shù)的零點（即一元二次方程的根）的分布和系數(shù)的關系是一個比較復雜的問題，一般需考查根的判別式、對稱軸、端點函數(shù)值等。教你快速解決零點問題。

關鍵詞：零點；判別式；端點函數(shù)值

函數(shù)y=f（x）在（a，b）上有零點的一個重要條件是f（a）·f（b）<0，下面就以我們比較熟悉的一元二次函數(shù)為例，探討一下如何利用f（a）·f（b）<0把二次函數(shù)的零點（即對應方程的根）限制在某一區(qū)域內(nèi)，為便于討論不妨設a>0，Δ>0其余情況可仿此討論.

一、兩個零點都小于某個數(shù)

例1 已知二次函數(shù)y=2x2+3x-5m有兩個小于1的不同的零點，求m的取值范圍.

分析：二次函數(shù)y=2x2+3x-5m的對稱軸為x=-■，兩個小于1的零點在-∞，-■和-■，1上.

y=ax2+bx+c（a≠0）在[a，b]上如果滿足f（a）·f（b）<0

解：設f（x）=2x2+3x-5m，依題意可得：

f-■=2×-■2+3×-■-5m<0f（1）=2×12+3×1-5m>0，化簡得40m+9>01-m>0解得-■

二、兩個零點都大于某個數(shù)

例2 關于x的方程x2-x+2a-4=0有兩個不同正根，求a的取值范圍.

分析：方程x2-x+2a-4=0有兩個不同正根就是函數(shù)f（x）=x2-x+2a-4有兩個大于0的零點.

解：設f（x）=x2-x+2a-4，則它的對稱軸為x=■>0，若方程x2-x+2a-4=0有不相等的兩個正根，只需f（0）=2a-4>0f■=■2-■+2a-4<0，解得a的取值范圍是2，■.

三、兩個零點在某個數(shù)的兩側(cè)

例3 已知方程x2+2（k-1）x+k+2=0有兩個根，一個根大于1另一個根小于1，求k的取值范圍.

解析：設f（x）=x2+2（k-1）x+k+2，依題意，若使方程x2+2（k-1）x+k+2=0有兩個實根，只需f（1）=12+2（k-1）+k+2=3k+1<0即可，解得k<-■，即k的取值范圍為-∞，-■.

四、兩個零點在某一區(qū)間內(nèi)

例4 已知方程x2+x+m=0的兩個不相等的實根都在區(qū)間（0，2）內(nèi)，求m的取值范圍.

解：函數(shù)y=x2+x+m的對稱軸是x=-■

要使兩個不等的實數(shù)根都在區(qū)間（0，2）內(nèi)，得滿足

f（0）=m>0f-■=■2-■+m<0f（2）=6+m>0，解得0

m的取值范圍為0，■.

五、兩個零點在某一區(qū)間兩側(cè)

例5 已知方程x2+（a-9）x+2a+6=0有兩個實數(shù)根，其中一根小于0，另一根大于2，求a的取值范圍.

解：依題意，可得f（0）=2a+6<0f（2）=4a-8<0，解得a的取值范圍是（-∞，

-3）.

六、兩個零點在兩個不同的區(qū)間內(nèi)

例6 已知關于x的方程3x2-5x+a=0的一根在（-2，0）內(nèi)，另一根在（1，3）內(nèi).則a在什么范圍內(nèi)取值？

解：依題意，可得f（-2）=3×（-2）2-5×（-2）+a>0f（0）=a<0f（1）=3-5+a<0f（3）=3×32-5×3+a>0，解得-12

七、兩個零點只有一個在某一區(qū)間內(nèi)

例7 已知方程x2+（m-3）x+1=0有兩個根，有且只有一個根在區(qū)間內(nèi)（0，2），求m的取值范圍.

解：依題意，可得f（0）·f（2）<0，即1×（2m-1）<0，解得m的取值范圍為-∞，■.

一元二次方程的根的分布和系數(shù)的關系是一個復雜的問題，需考查根的判別式、對稱軸、端點函數(shù)值等，運算量較大。如果從函數(shù)有零點的兩個條件出發(fā)來考查，就使問題變得簡單，降低運算量，使大家能夠高效、準確算出結(jié)果。

編輯 高 瓊