多反饋混合模式振蕩介質中超結構行波的模擬與分析

唐曉棟

(徐州醫科大學化學教研室，江蘇徐州 221000)

斑圖是自然界普遍存在的一種時空現象，是在空間或時間上具有一定規律的非均勻結構［1－2］，大到銀河系，小到細胞內的鈣離子波［3］，無論是植物的葉序排布還是動物表皮的斑紋，甚至在星球表面的地紋排布都是各種斑圖結構。而在化學反應系統內的斑圖可分為兩類［4］:一類是熱力學平衡條件下的斑圖，如化學物的晶體結構等;第二類則是在遠離熱力學平衡態的情況下形成的耗散結構斑圖，其中最典型的就是在化學反應－擴散系統中的化學波。近期研究表明［5－6］，在具有復雜化學振蕩模式的體系中，通過擴散系數的改變，會浮現出具有豐富模式變化的化學波現象。本文選用一個經典三變量模型，采用一維斑圖模擬的形式，得到了具有穩定傳播的一維行波，并發現在混合模式區域會出現具有超結構現象的復雜時空斑圖。

1 研究模型介紹

本文所采用的數值模擬方程是Hasting－Powell反應擴散模型［6－7］(以下簡稱 HP 模型):

其中，u，v和w分別為系統內的三個組分變量，而a1、b2、a2、b2、d1和 d2則是模型的六個動力學參數，Du、Dv和 Dw分別表示系統的三個變量的擴散系數。本文中參數的取值范圍見表1。該模型可以用于模擬具有多個反應物的連續反應，其中u可視為反應底物，而v和w則分別對應著反應的一級產物和二級產物。

表1 HP反應－擴散模型的參數取值范圍

2 模型均相動力學分析

通過針對該模型進均相動力學分析，我們發現HP模型可以表現出多種復雜模式的動力學行為，如簡單振蕩、倍周期振蕩、混合模式振蕩和混沌現象。圖1給出了在a2－b2參數區間內計算得到的Lyapounov指數相圖，為了便于辨別和分析，圖中選取了兩種不同顏色標尺來分別表征Lyapounov指數大于零(暖色)和小于零(灰度)的區域。圖中Lyapounov指數等于零或接近于零的點，即HP模型的分岔點，可以在參數空間內構成分岔曲線，每當系統的動力學參數的變化跨越分岔曲線就表示系統的動力學模式發生了改變。根據分岔形式的不同，HP模型中的分岔曲線可以分為兩種:

圖1 HP均相模型在a2－b2參數空間上的Lyapounov指數相圖與典型混合模式振蕩行為的吸引子

(1)系統的倍周期分岔線，在圖中表現為白色分岔線，系統參數每跨過一次就會發生周期加倍現象或周期倍減現象。

(2)混合模式振蕩之間的Fold－Hopf分岔線，在相圖內表現為黃色線，系統每經過一次黃線，其對應的混合模式振蕩中的小峰就增加一個，即對應著1n－1到1n型混合模式振蕩的演化。

同時，在圖1中也可以看到HP模型在均相條件下走向混沌動力學的兩個路徑，白色箭頭表示系統經由倍周期分岔走向混沌的方向，而黃色箭頭則表示系統經由混合模式振蕩的Fold－Hopf分岔走向混沌的路徑。本文重點研究了HP模型中混合模式振蕩行為的產生機理和演化過程，即黃色箭頭方向，對于HP反應－擴散模型的時空斑圖模擬工作主要在一維時空系統內進行。

3 時空斑圖數值模擬

圖2 HP一維反應－擴散系統內的行波與對應的局域振蕩形式(a2=0.08)

在對HP反應－擴散進行一維行波的模擬中，系統不同組分的擴散系數分別設定為Du=0、Dv=Dw=0.1，以參數a2，b2為控制參數，其他模擬參數見表1。無特別說明的情況下，在一維系統的行波模擬中，反應時空系統的設置為長度L=3000的一維反應－擴散系統，設置空間步長dx=1.0，時間步長dt=0.01，運用四階Runge－Kutta算法進行計算。通過對一維系統的一個邊界進行激發，而另外一個邊界則設置為零流邊界可以得到持續傳播的行波結構。

在模擬過程中，通過調節b2使得HP系統跨過10型和11型振蕩之間的Fold－Hopf分岔(即圖1中最下面一條黃色曲線)，在這個過程中可以發現兩種不同的行波結構，分別是具有統一振幅的穩定行波結構和具有振幅調制現象的超結構行波。當系統處于遠離HP系統的Fold－Hopf分岔線的區域，此時系統內的行波結構與系統本身的均相動力學一一對應，如圖2(a)所示，簡單的10型振蕩對應著具有單一振幅的單峰行波，圖2(b)則表示了此時斑圖系統內的局域動力學也是10型簡單振蕩。而在穩定的11型混合模式振蕩區域，此時反應－擴散系統所支持的行波是具有雙峰結構的穩定行波，其局域動力學行為則表現為穩定的11型混合模式振蕩。

在靠近Fold－Hopf分岔曲線的11型混合模式振蕩參數區域，雖然在HP均相動力學也表現為穩定的11型混合模式振蕩，其對應的反應－擴散行波卻在傳遞過程中發生了調制現象，表現為振幅隨著行波的傳遞發生周期性地變化。如圖3(a)所示，此時 a2=0.09，b2=1.60。同時，在整個系統內，具有不同振幅的行波可以在原有的基礎行波上形成波包，如圖中的紅色連線所示，此時反應－擴散系統中產生了新的時空有序結構，表現為在原有行波的基礎上形成了新的峰狀傳輸的行波，即超結構行波(Super－traveling wave)。在計算的過程中記錄了系統中心位置(x=1500)處的局域振蕩行為的時間序列，見圖3(b)，不難看出此時系統的局域動力學行為已經不再是均相條件下的穩定11型振蕩，而表現為準周期振蕩的包絡形式，且系統隨著時間方向周期性地表現出10和11型振蕩模式。

為了進一步了解這種超結構行波在系統內的傳播方式，可以記錄一維系統內(0，300)區域的時空圖，見圖3(c)。時空圖是研究斑圖動力學系統時常用的一種分析方式，它可以清楚地描述系統中各點隨著時間和空間的動力學過程。圖3(c)中縱坐標表示時間的變化而橫坐標則對應著空間的分布，從中也可以觀測到的兩個時空有序結構，分別以箭頭K1和K2表示。其中K1表示系統中的基礎行波，其表現為時間上和空間上都是連續的。而K2則對應著振幅調制結構在系統空間內構成的超結構的傳播過程，從圖中可以看到，沿著K2箭頭的方向，具有高振幅的行波波峰(表示為紅色區域)雖然并不連續，但是卻可以沿著時間和空間構成有序的結構進行傳遞，從而構成超結構行波。

圖3 一維HP反應－擴散系內的振幅調制行波(a2=0.09，b2=1.60)

綜上所述，通過對HP反應－擴散模型的一維系統的模擬可以發現在一些混合模式振蕩區域所對應的行波結構會發生振幅調制，從而構成超結構行波，這種現象出現于兩種穩定的振蕩模式之間，并表現為多種模式交替出現的振蕩行為。雖然此類超結構現象在選擇的參數區域可以穩定存在，但是由于行波振幅出現了調制現象，其穩定性如何還需要進一步進行分析。

4 時空斑圖的空間遞歸分析

為了更直接的標度空間中的振幅調制現象對螺旋波結構的穩定性影響，可以選擇使用空間遞歸分析(Spatial Recurrence analysis)對時空斑圖的空間穩定性進行分析。

圖4是對HP反應－擴散系統的一維行波結構的遞歸分析結果，其中圖4(b)是對穩定的單臂行波的遞歸分析圖，而圖4(d)則是對具有振幅調制的超結構行波的遞歸分析圖。通過比較不難看出，穩定的單臂行波的遞歸圖中的結構非常有序，說明此時行波結構是非常穩定的。而由于系統中雙峰行波和振幅調制的存在，在遞歸圖圖4(d)中的一些區域的斑紋產生了扭曲，其有序性要明顯低于圖4(a)，這說明此時振幅調制行波的穩定性較差。

圖4 一維HP反應－擴散系統中的行波與對應的遞歸分析圖

5 小結

多反饋系統所具有的混合模式振蕩是一種典型復雜非線性動力學行為，其產生根源是反應系統的不同組分構成的多個反饋環之間的相互耦合，從而在一個振蕩周期內能表現出不同的振蕩模式，如1n型混合模式振蕩。而在多反饋反應的時空耦合系統中，擴散的耦合作用在產生時空斑圖的同時，其引起空間的不穩定性會影響到斑圖的局域動力學行為。擴散誘導的空間不穩定系會改變1n－1到1n(n≥1)混合模式振蕩之間的轉換過程，產生混合模式振蕩的過渡區域(如圖3(b)所示)，在此過渡區域內，均相動力學軌道受到擴散的阻尼作用開始收縮并偏離原有的穩定簡單振蕩軌道，此時局域動力學軌道變現為在10和11的吸引子軌道之間周期性地往返，這種不穩定性會反映在空間結構上，從而形成了具有超結構現象的行波結構。此類超結構現象是在多反饋化學反應－輸運系統內具有一定的普適性，但是對于其形成的機理和演化規律的研究目前還是處于理論預測階段，需要進一步的研究。