簡約而不簡單：由線性函數(shù)及其圖像說開去

摘 要：線性函數(shù)是最基本、最簡單的函數(shù)，其函數(shù)圖像是一條傾斜的直線，具有簡潔美、抽象美。線性函數(shù)及其圖像在物理學上有著廣泛的應用，既可以通過直線的斜率與直線下方的面積求有關(guān)物理量，又可以根據(jù)圖像的直觀性簡潔地分析有關(guān)問題，還可以通過巧設坐標系中的物理量，將非線性函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)圖像，形象地描述物理量之間的變化規(guī)律。挖掘線性函數(shù)及其圖像應用中所蘊藏的物理思想，簡潔而又深邃，簡約而不簡單。

關(guān)鍵詞：線性函數(shù)；線性函數(shù)圖像；正比例函數(shù)；一次函數(shù)；圖像轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）10-0060-4

物理學既是實驗科學，又是一門高度數(shù)學化的自然科學。物理定律的簡潔性，體現(xiàn)在基本定律的數(shù)學形式盡可能簡單，基本定律的數(shù)學方程盡可能少。在物理學發(fā)展史上的很長一段時間內(nèi)，尋找“線性”與追求“平衡”一樣，曾被人們看作是“完美”的、理想的追求目標[1]。線性是一個很寬泛的數(shù)學或物理概念，在不同的情況下有不同的內(nèi)涵。例如，線性函數(shù)、線性方程（組）、線性代數(shù)、線性空間、線性變換等。本文探討線性函數(shù)及其圖像在物理學上的應用。

1 線性函數(shù)概述

形如y=f（x）=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的解析式表示的函數(shù)叫線性函數(shù)，也叫一次函數(shù)。在平面直角坐標系中，線性函數(shù)的圖像是一條直線，其定義域是整個實數(shù)。當k>0時它是遞增函數(shù)（圖1所示）；當k<0時它是遞減函數(shù)（圖2所示）[2]。式中， k、 b分別對應直線的斜率和截距。b=0的函數(shù)為正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)的特例。

若兩個變量之間存在線性函數(shù)關(guān)系，則稱它們之間存在線性關(guān)系。正比例關(guān)系是線性關(guān)系中的特例，反比例關(guān)系則不是線性關(guān)系。

根據(jù)物理學的特點和問題分析的習慣，本文將線性函數(shù)劃分為2個層級，即正比例函數(shù)與一次函數(shù)。

2 正比例函數(shù)及其圖像在物理學上的應用

在中學物理中，有許多物理量之間的關(guān)系遵循著正比例函數(shù)關(guān)系。例如，初速度為零的勻加速直線運動的速度與時間成正比；在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈性力與形變量成正比；電容器所帶的電荷量與兩板間電勢差成正比等[3]。

在正比例函數(shù)圖像中，直線的斜率及其下方的面積往往對應一個物理量。例如，速度-時間圖像中，直線的斜率表示加速度，直線下方的面積表示一段時間內(nèi)質(zhì)點的位移。

例1 設平行板電容器的電容為C，充電后兩板電壓為U，試求該電容器所儲藏的電場能。

點評 在u-q坐標系中，直線的斜率表示電容的倒數(shù)。由于q=Cu，所以若在q-u坐標系中作出函數(shù)圖像，直線下方的面積，其單位仍為能量之單位，且結(jié)果仍相同。通過考查其物理意義，不難發(fā)現(xiàn)其思維方法卻是錯誤的[4]。

例2 質(zhì)點做直線運動，如圖5、圖6分別表示甲、乙兩質(zhì)點運動的速度-時間圖像，試根據(jù)圖像中給出的信息，分別求甲、乙兩質(zhì)點運動的加速度大小。

3 一次函數(shù)及其圖像在物理學上的應用

在中學物理中，有許多物理量之間遵循著一次函數(shù)關(guān)系。例如，初速度不為零的勻變速直線運動中的速度與時間的關(guān)系；閉合電路中路端電壓與電流之間的關(guān)系；光電效應現(xiàn)象中，從陰極發(fā)出的光電子的最大初動能與入射光頻率之間的關(guān)系等。一次函數(shù)圖像是一條不過原點的傾斜直線。

例3 在某次光電效應實驗中，得到的遏止電壓Uc與入射光的頻率ν的關(guān)系如圖7所示，若該直線的斜率和截距分別為k和b，電子電荷量的絕對值為e。寫出普朗克常量及所用材料逸出功的表達式。（用已知量的符號表示）

例4 在用如圖8所示的電路測定電源的電動勢和內(nèi)阻的實驗中，通常把電壓表和電流表視為理想電表，但由于實際中電壓表的內(nèi)阻不是無窮大，電流表的內(nèi)阻也不為零，所以在實際測量中是有誤差的，試定性分析測量結(jié)果與真實值之間的誤差[5]。

解析 在實驗設計中，我們把電流表及電壓表看成理想表。先測出多組電壓、電流值，然后根據(jù)電壓、電流值作出U-I圖像，如圖9中的實線所示。根據(jù)“外推法”求出電源的電動勢和內(nèi)阻。由于兩電表內(nèi)阻是客觀存在的，所以在測量中不可避免地會產(chǎn)生誤差。

4 非線性函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)圖像

線性函數(shù)圖像是一條直線，直線是最簡潔的圖像。莎士比亞說，簡潔是智慧的靈魂。簡潔之美，在物理美中占有極其重要的位置。楊振寧指出：“一粒沙子有一個世界，一朵花里有一個天堂”，富有哲理的兩句名言，來概括物理的簡潔之美，是很準確而又形象生動的[6]。

直線，無頭無尾，承前啟后，給人以無限的遐想；在平面直角坐標系中，一條傾斜直線穿過坐標系，不偏不倚，心無旁騖，彰顯了簡潔美與抽象美。

例5 利用圖10所示的裝置可測量滑塊在斜面上運動的加速度。一斜面上安裝有兩個光電門，其中光電門乙固定在斜面上靠近底端處，光電門甲的位置可移動。當一帶有遮光片的滑塊自斜面上滑下時，與兩個光電門都相連的計時器可以顯示出遮光片從光電門甲至乙所用的時間t。改變光電門甲的位置進行多次測量，每次都使滑塊從同一點由靜止開始下滑，并用米尺測量甲、乙之間的距離x，記下相應的t值；所得數(shù)據(jù)如表1所示。

（1）若滑塊所受摩擦力為一常量。試寫出滑塊加速度的大小a、滑塊經(jīng)過光電門乙時的瞬時速度v、測量值x和t四個物理量之間所滿足的關(guān)系式；

（2）根據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，合理選擇橫軸及縱軸所表示的物理量，建立平面直角坐標系，作出相關(guān)圖像，要求圖像中的圖線呈現(xiàn)為直線；

（3）根據(jù)所畫圖像求出滑塊加速度的大小。（保留2位有效數(shù)字）

著名數(shù)學家G·波利亞建議將古代哲學家們所說的“簡潔是真理的標記”，改成另一種說法“先從最簡單的試起”。他認為：“由于人類已經(jīng)具有了幾個世紀的悠久而豐富的大量科學經(jīng)驗，所以現(xiàn)在表達起來應該更慎重一些；我們知道真理可能是非常復雜的。”[7]基于此，從認識論的視角來考量，面對錯綜復雜的自然界，從建立線性函數(shù)關(guān)系開始或從求解線性運動方程入手的處理方法對于人們認識世界是十分必要的，也是認識客觀世界的一條行之有效的簡化途徑[1]。對于物理量之間存在的非線性函數(shù)關(guān)系，人們總是試圖用線性函數(shù)關(guān)系進行近似、轉(zhuǎn)化或簡化處理。可以說線性函數(shù)及其圖像的簡潔性、直觀性，帶給我們的是一種“美”。透視線性函數(shù)及其圖像應用中所蘊藏的物理思想，可以概括為：簡潔而又深邃，簡約而不簡單。

參考文獻：

[1]朱鋐雄.物理學方法概論[M].北京：清華大學出版社，2008：176.

[2]張順燕.數(shù)學的思想、方法和應用（修訂版）[M].北京：北京大學出版社，1997：139.

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[4]許冬保.剖析應用圖像面積求物理量時的一個隱蔽性錯誤[J].中學物理教學參考，2014，43（11）：26-27.

[5]宓子宏.高中物理系統(tǒng)訓練指南[M].上海：上海辭書出版社，1998：488-489.

[6]祝婭.物理發(fā)現(xiàn)中的哲學和創(chuàng)造性思維[M].北京：知識產(chǎn)權(quán)出版社，2011：213.

[7]劉佑昌.現(xiàn)代物理思想淵源（修訂版）[M].北京：清華大學出版社，2010：297.