利用改進的邁克耳孫干涉儀測量空氣折射率

秦 珠 廖 怡 戴海濤 王立英

(天津大學理學院物理系，天津 300350)

0 引言

1881年，美國物理學家邁克耳孫利用分振幅干涉原理研制成了精密的光學測量儀器——邁克耳孫干涉儀。隨后，邁克耳孫和莫雷利用邁克耳孫干涉儀測量兩垂直光的光速差，證明了光速在不同慣性系和不同方向上都是相同的，由此否定了“以太”的存在，解決了當時關于“以太”的爭論，并確定光速為定值，為愛因斯坦發現相對論提供了實驗依據，并由此撼動了經典物理學基礎，成為近代物理學的一個發端，在物理學的發展史中起了重要作用。直到現在，邁克耳孫干涉儀的基本結構仍然是許多現代干涉儀的基礎[1-5]，其中利用邁克耳孫干涉儀測量空氣折射率就是它的一個重要應用，在科學研究和工程測量中空氣折射率的精確測量具有重大意義,但是由于測量時外界環境無法嚴格固定，而利用傳統的邁克耳孫干涉儀測量空氣折射率的實驗裝置又由于氣室較小導致在充放氣過程中瓶內氣壓變化不夠穩定，測量誤差大，所以在高精度的激光干涉測量中，空氣折射率的測量精度一直起著瓶頸作用，因此本實驗中利用改進的邁克耳孫干涉儀探究空氣壓強對空氣折射率的影響將具有很好的實踐意義。

利用邁克耳孫干涉儀測量空氣折射率的基本原理[6-8]是在邁克耳孫干涉儀一支測量光路中加一個透明的密閉玻璃氣室，當氣室內的空氣壓強發生變化時，邁克耳孫干涉儀可以測量干涉條紋“吞吐”數，從而可以計算不同氣壓下的空氣折射率。但是傳統的氣室尺寸很小(一般長度約100mm左右)，而較小體積的氣室造成測量過程中存在很大缺陷，如放氣過程中氣室中壓強變化較快，導致干涉條紋變化太快且不穩定，氣壓表顯示氣壓值與氣室內真實壓強存在較大偏差，導致實驗測量到的壓強差與觀測到的條紋變化數不匹配，進而造成測量數據不準確，最終影響空氣折射率的測量精度。為了改善這些缺陷，本實驗中要將玻璃氣室改造放大，但又考慮到直接在一支光路中加入改造放大的矩形玻璃氣室存在光路過長等很多弊端，所以我們將光路中的玻璃氣室通過一根細軟管與一個大體積氣瓶相連通(見圖1插圖所示)，這樣既不影響實際光路長度，又可以在連接的大氣瓶端控制和檢測玻璃氣室內的氣壓，這樣改進后的實驗裝置，既在很大程度上增大了總氣室體積，又控制了光程不至于過長，通過在大氣瓶端改變氣室壓強，記錄干涉條紋“吞吐”變化數，并利用Matlab和ORIGIN軟件對數據進行綜合分析和處理，極大地提高了利用邁克耳孫干涉法測量空氣折射率的實驗精度。

1 實驗原理

實驗裝置及光路如圖1所示，He-Ne激光器輸出功率1.5mW，輸出激光真空波長632.8nm，激光束經平面鏡反射，再經擴束鏡后形成點光源，進入分束器。分束器是一個表面鍍有半透膜的平行平面玻璃板，它與相互垂直的動鏡M1和定鏡M2兩個反射鏡各成45°角，使到達分束器鍍膜面的光束一半反射一半透射(被反射的光束經平面鏡后作為物光，另一透過光經平面鏡反射作為參考光)，反射光和透射光束分別投向M1和M2，又分別被M1和M2反射返回分束器會合，即物光和參考光疊加發生干涉，干涉圖樣成像到CCD攝像頭接收面，再經過計算機軟件運算處理后顯示在顯示器上。為了測量空氣折射率，我們在一支光路中加入我們改造后的玻璃大氣室，另外，在與光路中的玻璃氣室連通的大氣瓶端安置了擴散硅壓力傳感器和電流型集成溫度傳感器來即時測量氣室內空氣的壓強和監測測量過程中氣室內溫度以確保測量過程中的溫度基本保持恒定(如圖1插圖所示)，提高了實驗的精準度。

如果氣室內空氣的壓強改變了Δp，相應折射率改變Δn，則上述干涉光路將增加光程差δ，從而引起N個干涉環的變化。設氣室內空氣柱的長度為l，則有

δ=2Δnl=Nλ

(1)

如果先把氣室內抽成真空(氣室內壓強接近于零，折射率n=1)，再向氣室內緩慢充氣，同時數出干涉環變化數N，由公式(1)可計算出不同壓強下折射率的變化值Δn，則相應壓強下的空氣折射率為n=1+Δn。

本實驗中不抽真空，而是采取打氣的方法增加氣室內的粒子(分子和原子)數量，根據氣體折射率的改變量與單位體積內粒子個數的改變量成正比的規律求出相當于標準狀態下的空氣折射率n。對有確定成分的干燥空氣來說，單位體積內的粒子數與密度ρ成正比，于是有

(2)

圖1 實驗裝置圖(插圖為改進的大氣室，包括傳統的玻璃氣室及與之相連通的大氣瓶裝置)

式中，ρ0是空氣在熱力學標準狀態(T0=273.15K，p0=101325Pa)下的密度；n0是在相應狀態下的折射率；n和ρ是對應于任意溫度T和壓強p下的折射率和密度。

由理想氣體的狀態方程，有

(3)

如果實驗時溫度T不變，對上式求壓強p的變化所引起的折射率n的變化，則

(4)

考慮到T=T0(1+αt)(其中α是相對壓力系數，等于1/273.15=3.661×10-3℃-1；t是攝氏室溫，即室溫)，代入式(4)有

(5)

將式(1)代入式(5)得

(6)

其中，p0為標準大氣壓；α為相對壓力系數；t為室溫；λ為激光波長；l為氣室長度；N為條紋移動數目；Δp為氣室的壓強改變量。

由式(6)可知，利用我們改進的試驗裝置，通過向氣室內打氣再緩慢放氣的方法，放氣過程中記錄壓強變化值Δp與對應的干涉環變化數N，即可求得標準狀態下的空氣折射率n0。

2 實驗過程

按照實驗裝置圖1在光學平臺上組裝搭建邁克耳孫干涉光路，在加入擴束鏡和玻璃氣室前，先調節物光和參考光的光程大致相同，調節激光束使其與其他光學元件的幾何中心等高，再使物光和參考光兩光束通過分束器后匯合為一路，然后在圖示位置加入擴束鏡，將連接大氣瓶、壓力傳感器和溫度傳感器的玻璃氣室裝置放入光路中，調節氣室位置，盡量使光束從氣室端面的中心部位通過，避免發生明顯的折射。調節CCD鏡頭位置使相干光束直接進入CCD鏡頭，最終干涉條紋成像于計算機顯示器，進一步微調光路并實時觀看干涉條紋情況，使其成像清晰(圖2為顯示器采集到的干涉環圖樣)。

圖2 利用改進的邁克耳孫干涉儀采集到的干涉圖樣

關閉放氣閥門，手捏打氣球開始緩慢向氣室內充氣，避免打氣過快造成氣室內溫度發生明顯變化，待氣室內壓強達到所需值并穩定后，此時觀察到的環形干涉圖樣也保持穩定狀態，稍微松動放氣閥，開始慢慢放氣，同時記錄氣室內壓強的變化量(Δp)和干涉條紋的吞吐數量(N)，根據式(6)即可算出標準大氣壓下空氣折射率n0。

3 實驗數據及結果分析

標準大氣壓p0=1.01325×105Pa，玻璃氣室長度l=223.22mm，激光波長λ=632.8nm。

我們將不同壓強差下測得的實驗數據記錄在Excel表格中，然后利用Matlab軟件對數據進行處理，得到了不同壓強差下對應的空氣折射率n0，如表1所示。

我們知道，標準狀態下空氣折射率的理論值是n標準=1.000277957，從我們測量的數據結果來看，當條紋吞吐數N大于6條時，對應的空氣折射率n0的測量結果非常接近理論值，比較理想；而對于條紋變化數為6及以下時，測量得到的空氣折射率n0較標準值有較大偏差，考慮這是由于此時測量的壓強差較小，條紋變化也不明顯，最終導致測量誤差較大，而利用傳統的小氣室測量得到的實驗結果往往都是如此。我們改進后的實驗裝置就克服了這一缺陷，我們利用擴散硅型壓力傳感器測量氣室內壓強，測量數據更加靈敏精確，另外，擴大后的氣室在放氣過程中氣壓變化過程更加穩定，由表1數據可知，測得的壓強數據變化始終非常均勻，并且壓強的變化范圍更大，這也意味所引起的條紋變化數也更多，這是傳統小氣室裝置所達不到的，從表1中測得的空氣折射率的結果及其與理論值的百分差來看，改進后的實驗裝置確實極大地提高了空氣折射率的測量精度。

表1 邁克耳孫干涉儀法測量空氣的折射率實驗數據

進一步，我們選取干涉條紋變化數N大于6個條紋的實驗數據，用ORIGIN軟件繪制了氣室壓強差Δp與條紋變化數N的關系曲線(如圖3所示)，并對數據進行擬合，得到了氣室內壓強差隨條紋變化數的線性擬合直線，由圖3可知，我們測量的實驗結果與擬合數據非常吻合，氣室壓強差Δp與條紋變化數N滿足良好的線性關系，擬合直線斜率Δp/N=k=-557.939，斜率標準差4.31518,代入(6)式有

(7)

折射率n0的不確定度為

(8)

測量過程中氣室溫度始終保持在20.2±0.2℃，根據式(7)和式(8)計算得空氣折射率為1.0002765±0.0000021，該測量結果與標準理論值1.000277957之間的百分差僅為0.00015%。

圖3 氣室壓強差Δp與條紋吞吐數N的關系曲線

4 結語

我們對傳統的利用邁克耳孫干涉儀測量空氣折射率實驗裝置進行了改進，在保證光程不會太大的基礎上顯著增大了氣室體積，測量時在與光路中的玻璃氣室相連通的大氣瓶端使用放氣閥緩慢放氣，使得氣壓和干涉條紋的變化緩慢且穩定，并使用壓力傳感器和溫度傳感器測量氣室內壓強的變化情況，較傳統裝置中利用壓力表測量壓強更精確，并且能夠實時檢測測量周圍環境溫度的影響，改進后的實驗裝置既使得在壓強差測量更加靈敏和精確，壓強能夠在較大的范圍內緩慢穩定地變化，也能產生較大的條紋變化數，較之傳統的短小氣室(氣壓變化過快，測量不準確等)大大提高了實驗的測量精度。