圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的三維特性分析

于建強(qiáng) 謝 亮 鐵小勻 安艷偉 張進(jìn)治

(北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100144)

光的衍射是基本物理現(xiàn)象之一，深入研究衍射圖樣的光強(qiáng)分布對(duì)光學(xué)成像和光學(xué)設(shè)計(jì)等有著重要的意義。光學(xué)儀器的光瞳大都是圓孔形狀的，光學(xué)成像系統(tǒng)大都是平行光入射的，因此研究圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射對(duì)光學(xué)儀器的分析有重要的作用[1]。衍射圖樣一般使用菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式推導(dǎo)獲得，大學(xué)物理教材中一般僅使用貝塞爾函數(shù)描述幾何焦平面上的二維衍射圖樣，而對(duì)于離焦點(diǎn)的光強(qiáng)分布由于需要更復(fù)雜的特殊函數(shù)，一般不予介紹，限制了對(duì)衍射圖樣的深入理解[2]。

本文基于菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式，推導(dǎo)了圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的一般表達(dá)式，并使用Matlab軟件的integral2二重積分函數(shù)進(jìn)行了數(shù)值積分，獲得了衍射圖樣的三維光強(qiáng)分布，給出并分析了衍射焦斑的橫向和軸向光強(qiáng)分布圖，加深了對(duì)圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射的理解。

1 理論推導(dǎo)

一束單色平面光經(jīng)圓孔衍射，通過(guò)理想透鏡后形成一個(gè)會(huì)聚的球面波，根據(jù)幾何光學(xué)理論此球面波應(yīng)匯聚在幾何焦點(diǎn)O，但因光的衍射，焦點(diǎn)附近的P點(diǎn)亦有光波到達(dá)。以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，光軸方向?yàn)閦軸，x軸、y軸在與z軸垂直的平面內(nèi)，建立如圖1所示的右手直角坐標(biāo)系。

圖1 圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射示意圖

真空中波長(zhǎng)為λ的入射光，在波陣面上的復(fù)振幅為E0(Q)，P點(diǎn)與波陣面上某點(diǎn)Q的距離為r，根據(jù)菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式和基爾霍夫邊界條件，P點(diǎn)的總振動(dòng)可由Q點(diǎn)dΣ面元的振動(dòng)遍歷整個(gè)開(kāi)孔區(qū)域Σ0積分獲得[3,4]：

(1)

其中,k=2π/λ為波數(shù);θ0和θ為波振面的法線與入射光方向和場(chǎng)點(diǎn)P方向的夾角，在遠(yuǎn)場(chǎng)傍軸條件下θ0≈0,θ≈0，透鏡半徑a?λ，透鏡焦距f?a，r≈f，且E0(Q)與位置基本無(wú)關(guān)，即E0(Q)=E0，將上述近似代入式(1)可得：

(2)

(3)

積分面元為dΣ=ρ′dρ′dφ′，將式(3)代入式(2)，并將與積分變量無(wú)關(guān)項(xiàng)移至積分號(hào)前，則焦點(diǎn)附近的三維振幅分布為

(4)

數(shù)值計(jì)算式(4)即可得到焦點(diǎn)附近的振幅分布，根據(jù)光強(qiáng)定義式可得光強(qiáng)的三維空間分布為

(5)

其中,c為真空中光速;n為折射率;ε0為真空中介電常數(shù)

2 衍射圖樣的三維光強(qiáng)分布

使用Matlab軟件的二重積分函數(shù)integral2數(shù)值計(jì)算了式(4)、式(5)，數(shù)值計(jì)算參數(shù)如下，衍射圓孔半徑a=2.8mm，透鏡焦距f=8.4mm，光速c=299792458m/s，真空介電常數(shù)ε0=8.85×10-12F/m，入射光真空波長(zhǎng)λ=500nm，入射光功率P0=1mW。

2.1 幾何焦平面上的光強(qiáng)分布

幾何焦平面上，z=0，式(4)化簡(jiǎn)為

(6)

與教材中給出的結(jié)果一致[1]，圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣在焦平面上的分布具有圓對(duì)稱性，如圖2所示，其中圖2(a)為橫向分布偽彩圖；圖2(b)徑向強(qiáng)度分布圖，可以看出衍射圖樣在幾何焦點(diǎn)處為一亮斑，稱為艾里斑，周?chē)且詭缀谓裹c(diǎn)為對(duì)稱中心，明暗相間的同心圓環(huán)，亮環(huán)的強(qiáng)度隨著半徑的增大而急劇下降。為了更加直觀地觀察衍射圖樣的分布特征，對(duì)圖2(a)和圖2(b)中的光強(qiáng)取以10為底的對(duì)數(shù)作圖，分別如圖2(c)和圖2(d)所示，可以看出隨著徑向距離的增大，相鄰暗環(huán)的間隔趨于相等。

圖2 幾何焦平面上的光強(qiáng)分布圖

2.2 軸向光強(qiáng)分布

軸向光強(qiáng)分布如圖3所示，其中圖3(a)、(b)為光強(qiáng)軸向偽彩圖和軸向強(qiáng)度分布圖，可以看出艾里斑呈現(xiàn)管狀結(jié)構(gòu)，且軸向尺寸大于橫向尺寸。為了更加直觀地觀察衍射圖樣的周期性，對(duì)圖3(a)、(b)中的光強(qiáng)取以10為底的對(duì)數(shù)，如圖3(c)、(d)所示，其中圖3(c)中的虛線為幾何光束邊界。從圖中可以看出衍射圖樣在焦平面前后是對(duì)稱的。

表2給出了光軸上光強(qiáng)分布的前7個(gè)極值，可以看出光軸上的光強(qiáng)分布也具有周期性，并且暗點(diǎn)的間隔相等。

表1 焦平面上徑向光強(qiáng)分布的前7個(gè)極值

圖3 軸向光強(qiáng)分布圖

表2 光軸上光強(qiáng)分布的前7個(gè)極值

2.3 離焦圖樣

圖4展示了衍射圖樣的離焦性質(zhì)，其中圖4(a)～(h)依次為z=0, 18λ, 25.75λ, 36λ, 44.26λ, 54λ, 62.48λ, 72λ處的光強(qiáng)橫向分布圖，圖中的光強(qiáng)皆做了以10為底的對(duì)數(shù)處理。可以看出隨著z的增加，光的能量徑向向外彌散。

圖4 離焦的橫向光強(qiáng)分布

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式，推導(dǎo)了圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射的積分表達(dá)式，使用Matlab軟件數(shù)值計(jì)算了艾里斑的三維光強(qiáng)分布，分析了圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射圖像的三維光強(qiáng)衍射圖樣，加深了對(duì)圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射的理解。