從四則運算看各種“數”的由來

張海燕

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮初級中學）

回顧從自然數開始，再加上分數、負數、無理數，直到成為實數的發展過程，可以說它很像是許多涓涓細流匯成一條大河（如圖1）.

自然數添上分數，再添上負數就成了有理數；有理數再加進無理數就成為實數.

那么，為什么在數的世界里，要從自然數擴大到實數呢？細細一想，這里有個一貫的原則.比如說，有一個人只知道10以內的數：

1，2，3，…，10.

對這個人來說，即使取其中任意兩個數相加，他也有可能答不上來.如果是2+3，他知道是5；要是6+7的話，他就只好說“不知道”了.即使他知道10000以內的數也一樣無法解答，因為6000+7000的答案不在10000以內.

因此，為了無限制地進行“+”運算，就必須有無限多的自然數.這樣就產生了所謂無限多的自然數的整體想法，這就是1，2，3，……

想象有這樣一個自然數的整體，就可以自由地進行“+”運算了.這時，自然數的整體對于“+”來說叫做閉合.由于乘法也是自然數的相乘，是加法的重復，因此也能自由地進行，也就是說自然數的整體對于“×”是封閉的.所以在只考慮“+”或“×”的時候，只要自然數夠用，就沒有必要再考慮新的數.

圖1

可是要考慮“×”的逆運算“÷”的時候，自然數就不再封閉了.因為任意取兩個自然數作除法，結果卻不一定是自然數.例如2÷3的結果就不是自然數.這時自然數的范圍就太狹窄了，要想自由地進行除法運算，就必須增加新的數，這就是分數.在自然數與分數合起來的更寬廣的數的范圍內，“+”“×”“÷”就可以自由地進行運算.

然而，想到“+”的逆運算“-”的時候，這個范圍又窄了，因為不能用小數減去大數.例如2-5，即使寫出這個式子，也得不出答案.

為了讓這個式子也能有答案，就必須想出-3這樣一個新數.也就是說要自由地做“-”運算，需要有一種新的數——負數.

把數的范圍擴大到正的自然數、負的自然數及分數，即有理數時，“+”“-”“×”“÷”四則運算就可以自由地無限制地進行，換句話說，有理數對于四則運算是閉合的.

當數的世界擴展到有理數時，“+”“-”“×”“÷”的計算雖然能自由地進行，但是還不具有連續性，所以仍然不能表示直線上所有的點.填滿這些空缺就需要無理數.有理數與無理數合起來就是實數.有了實數就可以表示數軸上所有的點（也就是同學們熟悉的實數與數軸上的點是一一對應的關系）.