數(shù)的開(kāi)方與數(shù)系擴(kuò)充

劉東升

（作者單位：江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

剪拼實(shí)驗(yàn)：如圖1，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分別沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，得到四個(gè)等腰直角三角形，即可拼成一個(gè)大正方形.容易知道，這個(gè)大正方形的面積是2，那么大正方形的邊長(zhǎng)是多少呢？

圖1

建立模型：待求的大正方形的面積為2，設(shè)它的邊長(zhǎng)為a，則有a2=2.也就是要把平方運(yùn)算逆過(guò)來(lái)思考，即在冪的運(yùn)算式子“an”中已知指數(shù)和冪，逆過(guò)來(lái)求底數(shù)的值.問(wèn)題簡(jiǎn)化如下：

若a2=2，求a=_______.

引入新運(yùn)算、定義新概念：

介紹第六種運(yùn)算：開(kāi)方運(yùn)算.在冪的表達(dá)式中，已知指數(shù)和冪，求底數(shù)的運(yùn)算，稱(chēng)為開(kāi)方運(yùn)算.開(kāi)方運(yùn)算的結(jié)果稱(chēng)為方根.

從最簡(jiǎn)單的開(kāi)二次方說(shuō)起，即開(kāi)平方.從定義上看，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a（a≥0），這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根.換句話(huà)說(shuō)，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，22=4，（-2）2=4，所以2和-2都是4的平方根.

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.例如，正數(shù)4的正的平方根是2，所以2叫做4的算術(shù)平方根.

符號(hào)表達(dá)：正數(shù)a的平方根寫(xiě)成 ± a.例如4的平方根寫(xiě)成± 4=±2.正數(shù)a的算術(shù)平方根寫(xiě)成 a.例如4的算術(shù)平方根寫(xiě)成 4=2.可見(jiàn)，在上面的“問(wèn)題”中，a= 2.（負(fù)值舍去）

性質(zhì)辨析：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.算術(shù)平方根具有兩個(gè)非負(fù)特性：①被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，②算術(shù)平方根的值也是非負(fù)數(shù).

成果擴(kuò)大：繼續(xù)學(xué)習(xí)開(kāi)立方運(yùn)算——立方根.

定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根.數(shù)a的立方根，記作 a3，讀作“三次根號(hào)a”.

顯然，任何數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)或零）的立方根如果存在的話(huà)，必定只有一個(gè).求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方.

數(shù)系擴(kuò)充：有了開(kāi)方運(yùn)算，出現(xiàn)了一些開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，我們就有必要將數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)了.實(shí)數(shù)系其實(shí)就是對(duì)以前學(xué)習(xí)的所有數(shù)的總結(jié)，是數(shù)系的一次重要擴(kuò)充，又是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).我們已經(jīng)知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，并規(guī)定無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，這樣我們把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù)這個(gè)大家庭里有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩大成員.

實(shí)數(shù)的分類(lèi)可從兩個(gè)角度去思考，即（1）按定義來(lái)分類(lèi)；（2）按正、負(fù)數(shù)來(lái)分類(lèi).

最后，我們列一個(gè)“知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”，幫助同學(xué)們直觀理解“從數(shù)的開(kāi)方到數(shù)系擴(kuò)充”.