“接納”無理數(shù)后，如何理解實數(shù)？

李可欣

老師在介紹[2]的歷史時，曾提到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個門徒因為發(fā)現(xiàn)了[2]，卻不幸為之付出了生命的代價.老師還說，無理數(shù)的出現(xiàn)帶來了第一次數(shù)學(xué)危機.雖然我還不太懂什么是數(shù)學(xué)危機，但是像圓周率π、[2]這類無理數(shù)確實就在我們身邊，也廣泛出現(xiàn)在習(xí)題之中，我們不得不接納這類無理數(shù)，于是數(shù)系再一次擴充到實數(shù)系.經(jīng)過“實數(shù)”這一章的學(xué)習(xí)，我對實數(shù)的相關(guān)知識或簡單的運算也有了一定的了解，借數(shù)學(xué)周記的機會，進(jìn)行一次梳理.

1.與實數(shù)有關(guān)的概念.

有理數(shù)中的相反數(shù)和絕對值的概念同樣適用于實數(shù).比如[-273]（可化簡為-3）的相反數(shù)為3，[-53]的相反數(shù)為[53].因為[2]<[3]，故[2]-[3]<0，所以[2]-[3]的相反數(shù)為[3]-[2]，[2]-[3]的絕對值為[3]-[2].

2.與實數(shù)有關(guān)的運算.

在學(xué)習(xí)這一章時，老師并沒有帶領(lǐng)我們學(xué)習(xí)實數(shù)的運算，這令我很費解.后來我才發(fā)現(xiàn)帶有“根號”的綜合運算情況很復(fù)雜，需要專門學(xué)習(xí)，在后面（八年級下學(xué)期）會有專門的章節(jié)學(xué)習(xí)二次根式的運算.但是我在一些練習(xí)冊上，也見到一些帶根號的算式，比如：

計算：（1）4[2]-2[2]；（2）[22+322]；（3）[16]+[83]-[39]+[5].

解：（1）[42]-[22]=（4-2）[2]

=[22]；（類似合并同類項的計算）

（2）[22+322]=[（2+3）22]

=[522]；

（3）[16]+[83]-[39]+[5]=4+2-3×3+[5]=-3+[5].

3.點的坐標(biāo)也可以是無理數(shù).

七年級上學(xué)期我們知道了數(shù)軸上的點可表示像π、[2]這類無理數(shù)，那么在平面直角坐標(biāo)系中也是可以引入無理數(shù)的，這就是說點的坐標(biāo)也可以用無理數(shù)表示.

比如，平面直角坐標(biāo)系xOy中，有點A（2，[2]），B（5，[2]），

（1）將點A、B的坐標(biāo)分別向左平移1個單位后得到的點A′、B′的坐標(biāo)是多少？

（2）求△A′OB′的面積.

解：（1）點A（2，[2]）、B（5，[2]）向左平移1個單位后的坐標(biāo)分別為A′（1，[2]）、B′（4，[2]）；

（2）△A′OB′的面積為[12]×（4-1）×[2]=[322].

劉老師點評：引入無理數(shù)后，數(shù)系擴充到實數(shù)，需要研究很多內(nèi)容.實數(shù)這一章的重點是開方運算及其概念、實數(shù)的概念、近似數(shù)等初步知識.確實如小作者所說的，實數(shù)的運算是一個大話題，教材上的“回避不談”是有一定道理的，因為實數(shù)的運算涉及二次根式的化簡與運算，這會在下學(xué)期系統(tǒng)學(xué)習(xí)，但是從小作者所舉題例來看，確實有理數(shù)運算中的一些經(jīng)驗（如運算律）、有理數(shù)的一些概念（相反數(shù)、絕對值）、整式運算的一些經(jīng)驗（如合并同類項）等都在一些簡單的實數(shù)運算中得到體現(xiàn)和延續(xù).隨著學(xué)習(xí)的深入和認(rèn)識的豐富，同學(xué)們終將會發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)在生長，但不是簡單地推倒之前的知識或性質(zhì)，只是在更大范圍內(nèi)接納、包容.數(shù)學(xué)在擴張的過程中追求和諧、一致.

（指導(dǎo)教師：劉東升）