淺談高中數(shù)學集合問題

顧芷萌 湖北省武昌實驗中學

1 高中數(shù)學集合問題簡介

集合是高中數(shù)學中比較基礎一個概念，因此其相關問題在各種高中數(shù)學考試中就有著比較廣發(fā)的出現(xiàn)，其中也多是比較簡單的問題，難度為中偏高程度的題目只偶爾有出現(xiàn)。當前我國高中數(shù)學的集合問題，主要有三個方面的內容。其一，高中生對數(shù)學集合的概念理解程度和對集合思想的運用。其二，元素、集合及其各自內部之間的關系。其三，集合的基本運算。另外，在高中數(shù)學諸多的考試之中，集合也多與其它如方程、三角函數(shù)和幾何概型等知識點結合在一起，組成題目。

如上所述，集合問題相對來說，比較簡單，并無比較刁鉆古怪的考法。從這方面來講，高中生在解答集合問題的時候，就不應該存在太大的問題，然而現(xiàn)實情況卻正好與設想不一樣，高中生很容易丟失掉原本能夠得到的集合問題的分數(shù)。集合在高中數(shù)學的整個知識體系中屬于比較基礎的一部分，對其相關問題的解答，就很依賴于高中生集合相關知識的掌握程度。部分高中生之所以會丟失掉集合問題的分數(shù)，很大程度上就是因為其基礎知識掌握地不夠牢固。

2 如何解決高中數(shù)學中的集合問題

通過過往所積累的解答集合問題的經(jīng)驗可知，高中生因為基礎知識掌握程度不夠而導致集合問題解答成果不理想主要有沒有考慮集合所具有的“互異性”、沒有考慮0，{0}，φ，{φ}之間的關聯(lián)、沒有考慮空集的特殊性質和沒有考慮數(shù)集與點集之間的差異四個具體的表現(xiàn)。以下就將從這幾個方面分別詳細分析應當如何解決高中數(shù)學中的集合問題。

2.1 對集合的“互異性”缺乏考慮

所謂互異性，即是指在集合中的任意兩個元素都不相同。

例：假設有一集合為{a+2,（a+1）2，a2+3a+3}，已知其中有一元素為一，則實數(shù)a的數(shù)值應當是＿。

此題中，高中生要想解答問題、求解出實數(shù)a的值，就要運用討論這種數(shù)學思想，將關于a的一元一次方程和一元二次方程分別構建出來。值得注意的是，由于這個討論、解答的過程比較復雜，高中生在解答的時候，就很容易忽視了集合的“互異性”。

解：當a+2=1時，a=-1，則有a2+3a+3=1，明顯違背了集合的互異性，∴a+2=1不成立。

當（a+1）2=1時，有a=0和a=-2兩種情況，當a=0時，a+2=2，a2+3a+3=3,符合相關要求。

當a=-2時，a+2=0，a2+3a+3=1，不滿足集合的互異性要求。

當a2+3a+3=1的時候，有a=-1和a=-2兩種情況，當a=-1時，a+2=1，不符合相關要求，當a=-2時，a+2=0，a+1）2=1，亦不符合相關要求。

綜合上述條件，可知，a=0。

2.2 對 0，{0}，φ，{φ}之間的關系缺乏考慮

0只是一個自然數(shù)，并不是集合，{0}才是集合，其只有0一個元素。而φ是一種集合，但是其沒有任何元素，{φ}也是一個集合，其只有唯一的元素φ。由此可知，φ∈{φ}，同時因為空集的特殊性可知，通過這一番表述可以看出，φ和{φ}之間可以使用∈、等符號中的任意一個來連接，但是二者之間的連接卻不可以通過“=”來實現(xiàn)。對這種知識點的考察通常出現(xiàn)在概念理論類的集合問題中，高中生要想能夠解答好這類問題，重點就在于要明確各種符號的使用范圍和各種特殊集合之間的關系。

2.3 對φ的特殊性質缺乏考慮

空集是一個十分特殊的集合，其具有十分獨特的性質，在各種對集合問題的考察中常有出現(xiàn)。然而部分高中生在解答題目的時候，常常會因為疏忽等，而忽視了其的特殊性。

例：假設有一集合為A={x|x2-8x+15=0}，另有一集合為B={x|ax-1=0}，如果那么實數(shù)a的值應當是？

在這道題目中，首先由題目中所給條件可得，A有兩個元素，分別為3,5。很多高中生在解答的時候，都沒有考慮到B為空集的可能，從而求得實數(shù)a的數(shù)值為，最終也就不能得到所有的分數(shù)。

2.4 對數(shù)集、點集之間的差異缺乏考慮

高中生在解答集合問題的時候，常常會在點集的書寫上出現(xiàn)很大錯誤，如將點集 （{1,2）}寫成{1,2}或者{x=1，y=2}。另有部分高中生在點集的認識上也出現(xiàn)了一些問題，如將集 合{y|y=x2+1,x∈R}等 同 于 （{x，y）|y=x2+1,x∈R}或{x|y=x2+1,x∈R}。而且還有部分高中生，在進行補集操作的時候，沒有對前提條件進行充分的考慮。

高中生在解答這一題目的時候，常常會犯兩種錯誤，一是認為全集是所有實數(shù)的集合，一是缺乏對全集U的考慮，其最終所得的C∪A={x|x≤10}。但是將全集U考慮進來后，因為U={x|x≥7}，最終所得到結果就應該為C∪A={x|7＜x＜10}。

3 結束語

集合問題雖然比較基礎，其一般難度也不高，但是其中卻有著許許多多的陷阱。而高中生在解答集合問題時，要想有一個比較好的解答效率和結果，就要避開這些陷阱。具體來說，高中生一要牢牢掌握基礎的知識，二在解答的時候，要特別注意解答思路的周全。

[1]蔡勇全.問診集合問題中的若干典型錯解[J].理科考試研究:高中版, 2017, 24(5):24-26.