基于數字鎖相放大器測量電阻熱噪聲

賈蓮蓮，賀子蕓，曾迪昂，王自鑫，蔡志崗

(中山大學 a.物理學國家級實驗教學示范中心;b.電子與信息工程學院;c.物理學院，廣東 廣州 510275)

現在科學研究對測量儀器精度的要求越來越高,但儀器噪聲的存在會嚴重影響儀器檢測結果.儀器噪聲主要是指電子器件帶來的噪聲，其中電阻熱噪聲的影響很大[1].因此提高測量精度，需要深入研究電阻熱噪聲.現有的測量電阻熱噪聲的理論研究已經比較成熟，比如耶魯大學的Leonardo Motta，Benjamin Wilson[2]和明尼蘇達大學的Keith Ruddick[3]等都成功測量出電阻熱噪聲的精確值，但這些測量系統相對比較復雜.鎖相放大器[4]是專用于檢測微弱信號的電學儀器，可在強噪聲背景下提取微弱信號，且具有抗干擾能力強、大幅提高信號的信噪比、動態范圍大、時間穩定性強等特點.同時鎖相放大器具有高集成度、高精確度和操作簡單的優勢，可代替電阻熱噪聲測量系統[2-3]中的放大器和濾波器，簡化實驗步驟.本文設計了基于OE1022[5-8]數字鎖相放大器的電阻熱噪聲測量實驗，使用LabVIEW程序采集鎖相放大器測量的數據，并進行統計分析，以驗證實際測量結果與理論值是否相符.

1 實驗原理

1.1 鎖相放大器的基本原理

鎖相放大技術是基于相干檢測方法的微弱信號檢測手段，其核心是相敏檢測技術(Phase sensitive detection, PSD).實驗所用OE1022型鎖相放大器的PSD結構框圖如圖1所示，由信號通道SI(t)、參考通道SR(t)、PSD模塊和LPF模塊構成.

圖1 鎖相放大器OE1022結構框圖

輸入待測信號SI(t)可定義為

SI(t)=AIsin (ωt+φ)+B(t),

(1)

其中AI為幅值，ω為角頻率，φ為相位，B(t)為總噪聲.

2路參考信號可定義為

SR0(t)=ARsin (ωt+δ),

(2)

SR1(t)=ARcos (ωt+δ).

(3)

輸入待測信號與參考信號同時進入PSD模塊進行乘法運算:

(4)

(5)

經過LPF濾除工頻與二倍頻信號，最后得到直流分量為

(6)

(7)

通過X與Y的平方根計算可以消除未知量，得到待測信號幅值與相位信息為

(8)

θ=φ-δ=arctan (Y/X).

(9)

以上為數字式鎖相放大器實現微弱信號檢測的理論模型.簡單來說數字式鎖相放大器利用相干解調的方法對有用信號進行搬移，再結合高Q值的窄帶低通濾波器對搬移后的信號進行低通濾波，最后得到有用信號的幅值與相位信息.

1.2 器件噪聲的理論知識

一般認為理論預期以外得到的檢測結果，或者是對得到準確檢測結果有影響的輸入，均可被稱為噪聲.噪聲具有瞬時值不可預知的隨機性，但這種隨機性也并不是完全的雜亂無章，而是具有一定的統計規律.

電子測量技術領域中，常見的噪聲來源有3種[9]：外界環境噪聲、電子串擾造成的噪聲和儀器本身的噪聲.而儀器本身的噪聲又分為3類[10]：電子器件的熱噪聲、半導體結的散彈噪聲和所有器件均存在的1/f噪聲.本文目的是測量電阻熱噪聲，為排除散彈噪聲和1/f噪聲對電阻熱噪聲測量的影響，分別對3種噪聲進行分析，厘清各噪聲之間的關系.

1.2.1 熱噪聲

載流子微觀熱運動的隨機漲落在宏觀上的體現可以認為是電阻熱噪聲的根源[11]，它存在于一切電子系統中，且不因有無電流流過器件而改變.即使沒有連接到任何信號源或電源，器件仍對外表現出噪聲電壓的起伏.貝爾實驗室J.B.Johnson最早于1928年發現熱噪聲，后Nyquist證明了熱噪聲的功率譜密度函數，因此熱噪聲又被稱為約翰遜噪聲、奈奎斯特噪聲.

電阻熱噪聲的大小可以用以下理論來計算.例如，在溫度為T時，由電阻R產生的實際開路噪聲電壓為

(10)

其中,k為玻爾茲曼常量，T是電阻的絕對溫度，R是電阻的阻值(Ω)，B是帶寬(Hz).

Nyquist利用熱力學推理以數學方式描述了熱噪聲的統計特性，其統計物理模型來自漲落耗散定理，并證明了熱噪聲功率譜函數為

St(f)=4kTR,

(11)

由式(11)可知，熱噪聲功率譜密度函數與頻率無關，當阻值和溫度一定，噪聲功率譜密度在整個頻域內是常量，這充分體現了熱噪聲的白噪聲性質[12].

1.2.2 散彈噪聲

散彈噪聲一般用電流來衡量.理論上，每秒流過PN結的平均載流子數與電流大小成正比.在任一時間間隔，實際載流子數將會在平均值周圍變化，這個變化量就是散彈噪聲.其微觀機理在于PN結中載流子電子與空穴的隨機發射與湮滅導致流過勢壘的電流隨機漲落.

1918年W.Schottky在研究熱陰極電子管中電流流動時提出散彈噪聲，并從理論上證明了散彈噪聲電流是白噪聲，其功率譜密度函數為

Ssl(f)=2qId,

(12)

其中,q為電子元電荷量，q=1.6×10-19C；Id為PN結的平均電流，單位A.由式(12)可知，與電阻熱噪聲相似，器件的散彈噪聲功率與頻率無關，當PN結平均電流一定，散彈噪聲功率譜密度是恒定值[13].

1.2.3 1/f噪聲

1925年Johnson在電子管電流的研究中首次發現1/f噪聲，其主要特點是噪聲的功率譜密度正比于1/f，即頻率越低，1/f噪聲越嚴重.其微觀機理在于當2種導體接觸不理想時，其接觸電阻將發生隨機漲落，從而引起噪聲.因而1/f噪聲也被稱為接觸噪聲.

理想電阻沒有1/f噪聲，實際電阻的1/f噪聲一般是元件加工時的缺陷導致的.可以通過提高元件的質量來減少1/f噪聲.

對1/f噪聲的研究已有數十年，提出的描述模型眾多，但是這些模型基本遵循以下描述，即電流幅度滿足高斯分布，功率譜密度正比于頻率的倒數[14]，可表示為

(13)

其中，Id為器件平均電流(A),f是器件的工作頻率(Hz)，K與接觸面的接觸情況及材料類型、幾何形狀有關.由式(13)可知，與熱噪聲和散彈噪聲不同，1/f噪聲的功率譜密度與頻率成反比.

1.3 電阻熱噪聲測量原理

實驗設計測量電阻熱噪聲的方法是在鎖相放大器的輸入接口短接一電阻.若電阻元件是理想的，沒有噪聲，則鎖相放大器測得的應該是其本底噪聲.實際情況下鎖相放大器的測量值是電阻總噪聲和鎖相放大器本底噪聲的疊加值.

消除鎖相放大器本底噪聲影響的方法是在儀器的輸入接口短接50 Ω電阻.因為儀器接口處采用的BNC連接頭的等效阻抗是50 Ω，在保證阻抗匹配的情況下可測量鎖相放大器的本底噪聲.實際分析電阻熱噪聲結果時可以通過噪聲疊加原理去除本底噪聲的成分.

另外需要考慮電阻的總噪聲中其他噪聲對電阻熱噪聲測量的影響.空置的電阻，其主要噪聲包括熱噪聲、散彈噪聲和1/f噪聲.本實驗主要關注電阻熱噪聲，需要排除其他噪聲對電阻熱噪聲的影響.經器件噪聲的理論知識分析可知，在特定的實驗條件下，散彈噪聲和1/f噪聲可以遠小于熱噪聲，兩者對電阻熱噪聲測量的影響可以忽略.這是因為：

1)散彈噪聲源于PN結載流子的發射與湮滅，一般是指每個載流子隨機通過PN結導致其真實的結電流隨平均值上下波動.電阻的物理結構和PN結有很大的差別，電阻中導電介質引入的散彈噪聲相比熱噪聲來說可以忽略.

2)1/f噪聲由電阻加工時的缺陷導致，選用高精度的電阻可以減弱1/f噪聲的影響.另外，文獻[15]指出當電阻工作頻率在1 kHz及以上時，1/f噪聲遠遠小于熱噪聲，所以在1 kHz頻率下測量電阻熱噪聲時基本可以忽略1/f噪聲的影響.

為減少其他噪聲對電阻熱噪聲測量的影響，實驗中一方面選擇1/1 000的高精度電阻，另一方面測量頻率選擇1 kHz.同時囿于鎖相放大器存在本底噪聲，待測電阻的阻值一般需要在1 kΩ及以上，避免電阻熱噪聲值太小而不能與本底噪聲區分出來.

1.4 對測量結果的處理

自主編寫LabVIEW程序采集噪聲信號，采樣104個點大概需要10 min.

對實驗數據進行處理，對應的算法如下:

1)開始測量噪聲，每隔特定時間取值;

2)取每個Xn值，計算Xn的平均值

(14)

3)計算方差,

(15)

4)計算Dn的平均值

(16)

5)計算一定帶寬[15]內的總噪聲

(17)

帶寬指的是PSD后的LPF的帶寬，根據時間常量和濾波器陡降的設置而發生變化.等效噪聲帶寬Ben與陡降S和時間常量τ的對應關系如表1所示.

表1 等效噪聲帶寬Ben與陡降S和時間常量τ的對應關系表

注：t為等待時間，是測量數據達到最終穩定數據的99%所需的時間.

6)實驗的測量條件為：時間常量為1 s，濾波器陡降為24 dB/oct，因此Ben=5/64 Hz，所以最后的噪聲為

(18)

2 實驗設計、操作與結果分析

2.1 實驗平臺搭建

如圖2所示，教學實驗平臺由電腦、測試用電阻器以及鎖相放大器OE1022構成.其中電腦需要準備LabVIEW2017以及VISA驅動，并確保與OE1022連接正常.

圖2 教學實驗平臺實物圖

使用教學特制電阻器連接頭，通過小型PCB板連接高阻電阻器與BNC接頭.實驗使用5種相同材質、不同阻值(0.05，1，10，100，1 000 kΩ)的電阻器進行對比實驗，通過統計規律測量電阻熱噪聲，并驗證電阻熱噪聲原理的正確性.

使用LabVIEW程序自動控制OE1022的測量條件至適合擋位，并且以100 s-1的采樣速率采集104個點用于后續的實驗數據處理.LabVIEW程序說明見圖3.

圖3 LabVIEW程序說明

2.2 實驗流程

電阻熱噪聲實驗流程如圖4所示.

1)對OE1022進行系統復位；

2)在OE1022前面板Signal In的“A/I”接口短接50 Ω教學用電阻器；

3)用USB線連接OE1022和電腦，打開電阻熱噪聲實驗的測量程序，點擊“連接”按鈕并確認OE1022與電腦連接成功；

4)點擊“開始測量”，OE1022將在LabVIEW的控制下自動測量熱噪聲；

5)測量結束后，改變電阻器，重復2)～4)操作，直到測完所有電阻器；

6)根據MAD算法處理數據,并且進行實驗分析.

鎖相放大器測量電阻熱噪聲實驗的關鍵設置：時間常量為1 s，濾波器陡降24 dB/oct，動態儲備Low，測量頻率1 kHz.

圖4 電阻熱噪聲實驗流程圖

2.3 實驗結果及分析

T=300 K測量電阻熱噪聲的結果如表2所示.熱噪聲理論值根據式(10)計算，熱噪聲測量值根據1.4部分的MAD算法進行統計處理.由表2可以發現鎖相放大器的熱噪聲測試結果在10%的誤差內與熱噪聲理論值相符，滿足電阻熱噪聲的規律.

表2 電阻熱噪聲實驗的測量結果

3 結束語

在精密儀器測量領域，電阻熱噪聲影響儀器的本底噪聲及測量誤差的大小.實驗分析了鎖相放大器的測量結果的噪聲成分，并自建實驗平臺驗證了1 kΩ～1 MΩ的陶瓷電阻的熱噪聲符合電阻熱噪聲的理論規律.該實驗可以有效地幫助學生進一步了解系統噪聲的組成，學習噪聲的測量方法.