以極限思想為例談數(shù)學(xué)思想的有效滲透

王玲

曾有教育家說過，當(dāng)學(xué)生忘掉了所有的知識，剩下的就是思想精華。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)教育，當(dāng)學(xué)生忘光了所有的公式定理，剩下的就是一些活動經(jīng)驗和思維習(xí)慣。數(shù)學(xué)思想應(yīng)具備兩個基本條件：一是數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生時的思想理論根基，二是學(xué)習(xí)者自己的一套心得體會。如轉(zhuǎn)化思想、符號化思想、分類討論思想、集合思想等，都屬于催生一切數(shù)學(xué)知識的基本理論綱領(lǐng)。基本思想是隱伏的，難以捕捉和提煉。為此，筆者參閱了大量資料，經(jīng)過反復(fù)斟酌，發(fā)現(xiàn)研讀教材、挖掘內(nèi)涵、隨機(jī)滲透是傳授基本數(shù)學(xué)思想的必經(jīng)之道。本文以“極限思想”為例展開討論。

一、羅列極限思想的現(xiàn)實材料

通過分析對比各冊教材對極限思想這一章的處理安排，就會發(fā)現(xiàn)，編者的思路是由易至難、循序漸進(jìn)的。之所以這樣安排，是為了遵循小學(xué)生的發(fā)展規(guī)律。對于學(xué)生而言，只要嚴(yán)格站在原有的知識起點上，在貼切的現(xiàn)實情境中進(jìn)行學(xué)習(xí)，是可以形成健全的極限思想的。

正是由于有了那么多極限案例打底，學(xué)生才可能從紛雜的思維模式中提煉出極限思想。于是，教學(xué)過程中，我們應(yīng)利用好這些生動的極限案例，幫助學(xué)生實現(xiàn)從抽象的“無限”演化到具體的“極限”。比如，小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊的“圓的面積”，就是滲透極限思想的好課例。它是促使學(xué)生思想從“無限”演變?yōu)椤皹O限”的重要一環(huán)，也是體現(xiàn)極限思想真實存在且切實可用的生動案例。通過動畫演示，深刻理解了“把圓分得份數(shù)越多，每份就越小，拼出的圖形就會無限接近一個長方形”。進(jìn)而推導(dǎo)出圓形的面積公式。從中提煉極限思想，積累極限思維的經(jīng)驗。

二、體會極限思想的轉(zhuǎn)折點

如果說，學(xué)生在推導(dǎo)圓形面積公式時感受了極限思想，那么，“數(shù)與形”中例 2 的學(xué)習(xí)，則是深入埋設(shè)極限思想的又一襲重磅炸彈。教材以“計算++++++…”為例，讓學(xué)生通過觀察、分析、推理出“和為 1”。

分析教材我們發(fā)現(xiàn)，編者照舊是運用循序漸進(jìn)的編寫模式，延長體驗過程：化難為易，在有限的簡易數(shù)字中摸索基本規(guī)律——借助數(shù)形結(jié)合，感受“隨著加數(shù)不斷增多，計算結(jié)果代表的圖形面積無限趨近于1，直至為1”——推論出“和為1”。

實踐表明，學(xué)生從接受相信“無限趨近于1”到接受“就是完完全全等于1”是有難度的，是需要突破一些障礙的，甚至有些學(xué)生覺得這難以置信，不可思議。但換個角度來看，思維的跨越和轉(zhuǎn)化提升，其實就是“無限”到“極限”的豐富過程和完善過程。為幫助學(xué)生順利實現(xiàn)思維的飛躍，教材巧妙利用了數(shù)形結(jié)合思想，除了“圓形圖”還有“線段圖”。這樣雙管齊下，雙向用力，正是為了形成數(shù)與形的合力，突破“思想增長”的難點。教學(xué)時，我們應(yīng)充分領(lǐng)會編排意圖，在學(xué)生思維困頓時加以提點，為學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的跨越式發(fā)展提供了跳板。

三、沖出極限思想的突破口

學(xué)生學(xué)習(xí)極限思想，之所以困難重重，是由其高度的抽象性決定的。因此，作為教師，不僅要在課前對課本多下工夫，充分挖掘數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中還應(yīng)敏銳捕捉滲透數(shù)學(xué)思想的契機(jī)，讓學(xué)生在有限的數(shù)學(xué)課堂體量中學(xué)習(xí)到更多的極限思想。

例如，前文提到的“數(shù)與形”教學(xué)中，借助圖形揭示出“計算結(jié)果等于1”后，筆者靈機(jī)一動，臨時布置了一個活動：讓學(xué)生截取一根麻繩的（即單位“1”）的，，…切身感受“不斷取下去，剩下的會越來越少，直到無法再操作，就可以等同于截取了全部”。在滲透數(shù)學(xué)思想的過程中，讓學(xué)生放慢節(jié)奏，停止混亂的思維，動手試一試，反復(fù)對比思考，無疑比“針對一題說事”更有趣。

另外，教師及時歸納小結(jié)，也能幫助學(xué)生“消化吸收”極限思想。學(xué)完全課后，老師可以總結(jié)：“今天的學(xué)習(xí)無非就是和無窮多打交道，其實就是不斷地分下去。分成無數(shù)個、無數(shù)份，直到逼近一個可靠的具有說服力的恒定結(jié)果，這就是極限思想。”

數(shù)學(xué)思想是智慧的結(jié)晶，不能灌輸，只能領(lǐng)悟。作為教師，應(yīng)挖掘出蘊(yùn)藏在教材背后的數(shù)學(xué)思想，并合理組織課堂，為學(xué)生感知、體會、認(rèn)同數(shù)學(xué)思想護(hù)航。

作者單位 山東省臨沂勝利小學(xué)