淺析一題多解的重要性

林小琴

【摘 要】在解題教學中，一題多解的教學，在為該類題目提供通法的同時，激發了學生的求知欲，使學生養成從多角度、多層次思考問題的習慣，培養了其思維的靈活性，從而由掌握知識向形成能力方向上轉移。

【關鍵詞】多角度；一題多解

數學教育家波利亞指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練。”這說明了數學解題教學的重要性，而在具體的解題教學中，就題論題的教學，學生掌握這類題求解方法的牢固程度顯然是有限的，這個時候一題多解的教學就顯得尤為重要了，它為這類題型的求解提供通法的同時，引導學生從多角度、多方向思考問題，培養了學生的創新思維。下面本人結合一道課后練習，論述一題多解教學的重要性。

原題呈現：如圖，E是△ABC的中線AD上的一點，CE交AB于點F，已知AE：ED=1：2，求的值。

思路點撥：本題已知兩線段之比，求兩線段之比值，容易聯想到由平行推比例。又因為本題中并沒有平行線，這個時候怎樣添加輔助線就成為解題的關鍵所在，常規的方法自然是過已知點作已知線段的平行線，構造基本圖形，“A”型或“X”型，再利用三角形一邊平行線的性質定理和推理進行求解。

解法梳理：

解法一：如圖一，過點D作DG//CF，交AB于點G，則==；

又∵AD為BC邊上的中線∴BD=DC；

由DG//CF得==1即BG=GF

∴==。

如果這道題的解題教學僅僅到這里，還是遠遠不夠的。顯然學生的心里還會有諸多疑問“為什么一定要過D點作DG//CF？是否可作DG//AC？過D點還能作哪些線段的平行線？過其它點可以嗎？哪些點可以呢？”等等。如果不徹底解決學生心中的疑問，下次碰到類似的問題，他們還是會出錯，我們課堂教學就沒辦法達到預期效果。因此，接下來的教學很有必要。

引導學生反思：過D作DG//CF作平行線時，構造了幾組基本圖形？此處是否可作DG//AC？學生試探后發現，這種輔助線僅構造了一個基本圖形“A”型，而條件AE：ED=1：2無法用上，從而問題得不到求解。那么過D點還能作哪些線段的平行線？

解法二：如圖二，過點D作DH//AB，交CF于點H，則==，即DH=2AF；

又∵AD為BC邊上的中線 ∴BC=2DC；

由DH//AB得==；

即BF=2DH=4AF；

∴==。

引導學生反思：

解法一構造的基本圖形和解法二構造的基本圖形一致嗎？對比解法一和解法二發現，這類題型，解題方法是什么？過D點還能作其它已知線段的平行線嗎？還能怎么作平行線？

經過對上面的兩種解法的總結，學生初步掌握了該類題型的解題方法。“還能怎么作平行線？”這個問題實際上是為激發學生求知欲所鋪設的，讓學生形成舉一反三的思維習慣。

下面的四種解法，分別由學生嘗試過點A、過點B、過點C作平行線所得。

解法三：過點A作平行線

如圖三，過點A作AP//CB，交CF的延長線于點P，則==，即CD=2AP；

又∵AD為BC邊上的中線；

∴BC=2CD=4AP；

由AP//CB得===；

即=。

解法四：過點A作平行線

如圖四，過點A作AQ//CE，交BC的延長線于點Q，則==即CD=2CQ；

又∵AD為BC邊上的中線，∴BC=2CD=4CQ；

由AQ//CE得===即=。

解法五：過點B作平行線，可讓學生說明為什么不作BM//AC？

如圖五，過點B作BM//CF，交AD的延長線于點M；

∵AD為BC邊上的中線∴BD=CD；

由BM//CF得=，==1，

即DE=DM

∴===即=。

解法六：過點C作平行線

如圖六，過點C作CN//AB，交AD的延長線于點N；

∵AD為BC邊上的中線 ∴BD=CD；

由CN//AB得===1，即AB=CN，AD=DN；

而AE：ED=1：2，即ED=2AE，AD=3AE∴DN=3AE，EN=5AE∵CN//AB；

∴==即CN=5AF∴AB=5AF，BF=4AF；

即=。

經過上面六種解法的多角度分析，進而不斷思考、論證，學生已不但牢牢掌握了這類題型的解題方法和解題規律，也從掌握知識向形成能力方向發展，達成了我們解題教學的目標。考慮到點D是BC邊的中點，解法五和解法六的輔助線也可以換一種陳述方式，如：解法六的可以換成延長AD到N，使得DN=AD，連接CN，雖然圖形實質上是一樣的，但是這樣一來就與另一類題型，遇到中點，就單倍延長的方法做到了融會貫通，學生在感受知識之間內在聯系的同時，一定會有“豁然開朗”的頓悟，這也是我們求之不得的。

總之，如果我們的解題教學能從多角度、多層次地分析、理清問題的實質所在，重視一題多解教學，就能大大激發學生的探索精神、求知欲望，養成學生由此及彼，舉一反三的學習習慣，學生分析問題和解決問題的能力就能得到大大的提升。