單元教學設計之等差數列前n項和公式

張麗

【摘 要】 在單元教學過程中，本節內容以“等差數列前項和公式”為主線，將生活問題、數學文化融入課堂，適當設計小組討論和學生獨立思考，為學生創造課堂展示的機會、提供發揮自我能動性的平臺。

【關鍵詞】單元教學；等差數列；前n項和

本節課的教學內容是普通高中課程標準實驗教科書數學必修5（人教A版）中第二章第三節的第一課時。求數列前n項和其本質是研究如何將很多項的求和表達式盡可能簡化為有限項的運算形式，通過對求和公式的推導可以讓學生進一步掌握從特殊到一般的研究問題方法。

一、創設情境

問題：如圖所示，梯形圍擋中堆放了一些木柴，堆放形式如圖所示，請問：

①前6層共有多少根木頭？

②前15層共有多少根木頭？

③前50層共有多少根木頭？

每個問題提出后給學生適當的時間進行計算，然后鼓勵學生自主發言，在他們回答結果的同時說出計算方式。

設計意圖：通過情景的設置讓學生感受到：對于等差數列，當n比較小時，我們能把幾項和直接計算出來，但當n比較大時，我們無法立即計算出來。此時，我們就需要將n比較大時的很多項求和形式想辦法轉換成有限項的表達式。

二、探究新知

1.前n項和的定義

一般地，我們稱a+a+a…+a為數列{a}的前n項和，用S表示，即S=a+a+a…+a。

教師引導學生分析本節課所學知識的本質——怎樣簡化表達S，即怎樣將前n項和中很多項的形式轉化成有限項的表達式。聯系已有知識和方法，從什么途徑解決這個問題？此時，老師帶領學生回顧前面學習等差數列通項公式推導時所用到的方法，利用前面所學方法的思路簡化運算過程。

2.等差數列前n項和公式

（1）從代數角度推導等差數列前n項和公式（倒序相加法）

高斯是德國著名的數學家，相傳在高斯10歲那年，他的數學老師給全班同學出了一道題“1+2+3+…+100=？”高斯僅用幾分鐘就把結果算出來了，使他的數學老師大為折服。

1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=50×（1+100）=5050

由學生討論其算法的巧妙之處，教師適時點評。

那么，對于一般的等差數列求前n項和，高斯算法對我們有什么啟示呢？

設等差數列{a}的首項為a，公差為d，S=a+a+…+a由學生討論，總結出高斯算法對一般等差數列求和的指導意義。

老師給個提示，請同學們回憶一下梯形面積公式是如何推導的？小組之間進行討論，選小組代表發表討論結果。課件演示：如何求以a為上底，b為下底，高為h的梯形面積s的大小？并配有圖形。

因此，在求一般等差數列前n項和時，可采用這種“倒置”的思路，讓學生自己動手實踐。

（2） 從幾何角度推導等差數列前n項和公式（數形結合——割補法）

S=a+a+a+…+a。

我們將等差數列{a}的每一項看作寬度相等高度成等差的小矩形，由等差數列的性質得（a+a）=（a+a）=（a+a）=…=（a+a），即如圖3所示：

由圖形可知S=2S=長×寬=n·（a+a）

則S=。

同理，S=2S=長×寬=n[2a+（n-1）d]

=2na+n（n-1）d

即S=na+d。

因此，等差數列前n項和公式為：S==na+d。

三、例題講解

例1：學習了等差數列前項和公式，我們就能解決本節課開始時所提出的問題3：前50層共有多少根木頭？

由等差數列前n項和公式：S=na+d可知當a=4，d=1時，S=4n+=，n=50時，S==1425。

因此，堆導出第50層時共有1425根木頭。

四、課堂訓練

給學生時間獨立完成課本上的練習題，再由小組交流，同伴補充，教師點評。

五、課堂小結

小組討論，代表發言，師生補充。

（1）知識技能方面：等差數列前n項和公式S==na+d的推導及運用；

（2）數學思想方法方面：運用倒序相加法和數形結合法推導等差數列前n項和公式。

六、教學反思

教學的重點是探索與發現公式推導的思路，我們的目標主要是讓學生知道這個公式的來龍去脈，以及這個公式背后隱藏的數學思想方法與思維過程，而并不僅是讓學生機械地記住這個公式。因此，教師需要適時為學生搭建“腳手架”，引導學生回顧梯形面積公式的推導方法，實現由“高斯算法”到“倒序相加法”的平穩過渡。

等差數列前n項和公式是本節課的教學主線，生活問題和數學文化豐富了課堂內容，運用倒序相加法和割補法來進行公式的推導是本節課的靈魂所在。因此，將數學知識的形成過程清晰完整地展現在學生面前顯得尤為重要，我們數學教師要努力做一個講道理的好老師。

【參考文獻】

[1]工敬文.數列的教學設計研究[D].東北師范大學，2006

[2]覃倩.等差數列前n項和公式教學設計及其分析[J].吉林省教育學院學報，2012.28（310）：29-30