數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

吳新平（湖北省監(jiān)利縣蘆陵中學(xué)，湖北 監(jiān)利）

在歐洲，早在17世紀(jì)，法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾就已經(jīng)針對數(shù)形結(jié)合進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)與分析。尤其是笛卡爾通過坐標(biāo)系的建立從而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，更是為數(shù)學(xué)的研究提供了更加廣闊的思路。中學(xué)作為學(xué)生九年義務(wù)教育以及進(jìn)入大學(xué)教育的一個過渡階段，采用系統(tǒng)的教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的解題思路，能夠?qū)W(xué)生之后的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行有效的培養(yǎng)。

一、借助于方程的曲線解決最值問題

方程曲線是在進(jìn)行方程解答過程中極為常見的一種方式方法，在具體的運算過程中，應(yīng)該注重對這一方式的推廣和運用。以下題為例：

圖1

通過對題目進(jìn)行分析不難了解到，針對二元函數(shù)y-3x=b在限定條件下求值問題，如果采用構(gòu)造直線的方式來進(jìn)行，將能夠?qū)忸}方法進(jìn)行簡化。具體解析：首先應(yīng)該令y-3x=b，從而得出 y=3x+b，即可將原來的問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓形上求一點，使得過該點直線的斜率為3，同時可以顯示在y軸上的截距最大或者最小。通過畫圖可以了解到（圖1），當(dāng)直線與橢圓形相切時，則有最大截距與最小截距。

由Δ=0得b=±13，故y-3x的最大值為13，最小值為-13。

圖2

二、借助于函數(shù)圖象解決取值范圍問題

采用函數(shù)圖象的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)取值范圍問題的解決也是較為常見的方法之一，在具體進(jìn)行問題解決的過程中，可以以下題為例：

三、借助于函數(shù)圖象解決不等式的值域問題

采用函數(shù)圖象來表示不等式之間的關(guān)系同樣也是在數(shù)學(xué)教學(xué)以及階梯過程中常見的一種方法，以下題為例：

這一題不采用數(shù)形結(jié)合的方法，采用常規(guī)的解法如下：

通過這一解法需要對x的各個幾何進(jìn)行劃分，極易出錯：解得0≤x＜2或-2≤x＜0，故原不等式的解集為或

圖3

同時可以了解到，在解決具體問題的過程中，采用數(shù)形結(jié)合的方式將代數(shù)問題進(jìn)行了圖像具化，只需要設(shè)置兩個函數(shù)，同時結(jié)合圖像就能夠?qū)⒋鸢高M(jìn)行總結(jié)，方便快捷，同時也能使思路變得更加清晰。

總之，數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)是將數(shù)學(xué)常規(guī)語言以及較為常見和直觀的圖像圖形進(jìn)行聯(lián)系，廣大數(shù)學(xué)教師隊伍應(yīng)該對數(shù)形結(jié)合思維更加重視，使學(xué)生的課程學(xué)習(xí)過程更有效率。