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——對“正切函數(shù)圖象和性質(zhì)”教學的設(shè)計與反思

侯正衛(wèi)

（湖北襄陽東風中學，湖北 襄陽）

曾子曰：“吾日三省吾身。”為了進一步提高自己的教學質(zhì)量，減少失誤和紕漏，多年以來，反思是我教學工作的重要組成部分，在不斷反思和與同事探討的過程中，我提高了自身的教學水平，形成了自己的教學風格。下面結(jié)合“正切函數(shù)圖象和性質(zhì)”教學，談一談對本節(jié)課教學的設(shè)計與反思。

本節(jié)課常規(guī)教學是首先復(fù)習三角函數(shù)的有關(guān)知識，利用單位圓畫出正切函數(shù)的圖象，其次，根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，做一些習題加以鞏固。在反思以往教學的基礎(chǔ)上我做了如下設(shè)計：

一、設(shè)置情境

①前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

回憶如何用幾何法和5點法畫圖象，從哪些方面去研究它們。

②常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù)，對正切函數(shù)，我們已經(jīng)知道了什么？（定義、誘導(dǎo)公式、和差角公式、簡單應(yīng)用。）

③測旗桿、古塔高度。

④世界上最早使用正切函數(shù)的是：中國唐代天文學家一行（683年—727年）《大衍歷》的九服晷影算法及其正切函數(shù)表。

二、探索研究

僅僅有這些知識是遠遠不夠的，這節(jié)課我們就利用研究正、余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的方法引出正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

下面我們也將利用單位圓中的正切線來繪制y=tanx的圖象。

（1）用正切線作正切函數(shù)圖象

分析一下正切函數(shù)y=tanx是否為周期函數(shù)？

∴y=tanx是周期函數(shù)，π是它的一個周期。

我們還可以證明，π是它的最小正周期。類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數(shù)在一個周期上的圖象，下面我們利用正切線畫出函數(shù)的圖象。

作法：①作直角坐標系，并在直角坐標系y軸左側(cè)作單位圓。

②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線。

③描點。（橫坐標是一個周期的8等分點，縱坐標是相應(yīng)的正切線）

④連線。（Flash動畫展示畫圖全過程）

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數(shù)的圖象，并把它叫做正切曲線。

（2）在現(xiàn)實生活中像正切曲線形狀的例子有“瀑布”、舞蹈動作。

（3）畫正切曲線簡圖的方法：3點2線法。

（4）正切函數(shù)的性質(zhì)。

請同學們結(jié)合正切函數(shù)圖象研究正切函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性。

②值域：R

③周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π。

④奇偶性：tan（-x）=-tanx，∴正切函數(shù)是奇函數(shù)，正切曲線關(guān)于原點O對稱。

強調(diào)：a.不能說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)。

b.正切函數(shù)在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。

三、例題分析

略。

四、學生練習

課本 79 頁：2、3、5 題。

五、課堂小結(jié)

（1）這節(jié)課我們采用類比的思想方法來學習正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

（2）正切函數(shù)的作圖是利用平移正切線得到的，當我們獲得一個周期上圖象后，再利用周期性把該段圖象向左右延伸、平移。

（3）畫正切函數(shù)的簡圖：3點2線法。

（4）正切函數(shù)的性質(zhì)（正切函數(shù)的圖象把整個坐標平面分成無數(shù)部分）。

在本節(jié)課的教學中，至少體現(xiàn)了七大創(chuàng)新，這些都是平時學習和反思的結(jié)果：

1.復(fù)習時測旗桿、古塔高度，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，懂得了數(shù)學的一個重要功能：很有用。

2.通過對數(shù)學史的挖掘：世界上最早使用正切函數(shù)的是中國唐代天文學家一行（683年—727年)，他著書《大衍歷》，創(chuàng)造了九服晷影算法，不知不覺中對學生進行了愛國主義教育，做到了潤物細無聲。

3.在學生動手作圖的基礎(chǔ)上，多媒體展示單位圓作正切函數(shù)的全過程，既節(jié)約時間，又很好地利用現(xiàn)代化技術(shù)展示了精確的圖形。

4.得出正切函數(shù)的圖象后，要求學生用肢體語言展示，以加深印象。

5.發(fā)現(xiàn)自然界中的正切函數(shù)圖象：瀑布，并用古詩《望廬山瀑布》“日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川。飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。”引出。由于學生對此情景十分熟悉，當用多媒體展示出來后，學生學習數(shù)學的興趣就更濃了。

7.正切函數(shù)的性質(zhì)還有一個書本上沒寫，那就是：正切函數(shù)的圖象把整個坐標平面分成無數(shù)部分，這樣和直線分平面的問題就聯(lián)系起來了。

對本節(jié)課教學的七大創(chuàng)新是自我經(jīng)歷積累的結(jié)果；是從學生身上學習的結(jié)果；是和同事交流的結(jié)果；也是不斷學習新理論并應(yīng)用的教學實踐的結(jié)果。所有這些都是在不斷反思中取得的。