基于模糊PID控制器的變質量-柔性梁結構振動主動控制

2018-12-21 10:31:22馬馳騁羅亞軍張希農程相孟邵明玉

振動與沖擊 2018年23期

馬馳騁，羅亞軍，張希農，程相孟，邵明玉

(1.山東理工大學交通與車輛工程學院，山東淄博 255000；2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

隨著科技的發展，越來越多的人力勞動被機械所替代，在各個工業領域，機械自動化程度越來越高，人們設計出多種多樣的機械臂以滿足不同的工業需求。由于柔性臂結構具有細長和質量輕等特點，振動頻率低，若不采取有效的措施對其振動進行抑制，將嚴重影響柔性臂結構的操作精度和安全性[1-3]。杜欣等[4]針對末端附帶集中質量的雙連桿柔性機械臂，采用LQR方法設計作動器控制律，有效地抑制了柔性臂的彈性振動，提高了柔性臂的運動精度。劉旭亮等[5]以三旋轉關節剛柔耦合機械臂為研究對象，分析了仿人手柔性臂末端負載引起的殘余振動，為機械臂的精確化振動控制提供了參考。為抑制空間機械臂系統在轉動過程中激起的柔性臂的彈性振動，婁軍強等[6]提出了基于Lyapunov穩定性的模糊自適應速度反饋控制策略，利用壓電致動器有效的抑制了柔性臂的彎曲振動和扭轉振動，提高了柔性機械臂系統的末端定位精度。

另一方面機械臂結構通常用來傳遞或者搬運物品，而物品的位置移動或者質量改變都會引起系統質量參數的改變，使得這類結構屬于典型的變質量結構。系統質量參數的變化給結構的動力學特性帶來顯著影響，增加了控制的困難性和復雜性。為解決移動質量作用下的彈性梁結構的振動問題，Nikkhoo等[7]設計了含時變增益矩陣的線性優化控制算法有效的控制了結構的多階模態。吳忻生等[8]則通過邊界控制策略，成功地抑制了末端具有未知擾動的柔性機械臂的振動，該控制策略可達到外界干擾下的指數穩定。李發宗等[9]將船用挖掘機機械臂結構近似處理成含末端集中質量的柔性懸臂梁，建立了含時變參數的船用挖掘機機械臂系統虛擬樣機模型，分析機械臂的動態性能，研究結果可以為進一步研究機械臂工作穩定性及運動精度控制提供依據。郭宇飛等[10]建立了坦克彈藥傳輸機械臂剛柔耦合動力學模型，研究了負載變化情況下彈藥傳輸機械臂的位置控制與柔性振動抑制，對于柔性振動和剛性運動分別采用速度反饋控制和連續時變增益PD控制實現彈藥傳輸機械臂點到點位置控制及柔性振動抑制。Ma等[11]針對帶有集中變質量的懸臂梁結構采用LQG控制器實現了系統的振動主動控制，但是需要求解時變的Raccati方程，模型復雜，計算量大。

模糊控制對那些數學模型難以獲取，動態特性不易掌握或變化非常顯著的對象非常適用。模糊控制系統的魯棒性強，干擾和參數變化對控制效果的影響被大大減弱，尤其適合于非線性、時變及純滯后系統的控制[12-14]。而PID控制器原理簡單，使用方便，適應性強，魯棒性強。結合模糊控制和PID控制優點的模糊PID控制算法，可以在線調整PID參數，使控制系統的響應速度快，過渡過程時間大大縮短，超調量減少，振蕩次數少，具有更強的魯棒性和穩定性。Kuo等[15]在機器人柔性臂的振動控制問題中，采用一種雙時間尺度的模糊控制算法，使機械臂的振動迅速衰減，有效的抑制了結構的振動。魏井君等[16-17]基于查表法設計振動模糊控制器，提出采用修正Fuzzy-PI雙?？刂品椒?，有效的抑制了懸臂梁的振動。曹青松等[18]提出基于模糊自整定PID算法的柔性臂振動主動控制方法，試驗結果也驗證了該算法的有效性。但是對于含變質量參數的柔性臂結構來說，由于結構自身的質量時變、剛度時變或阻尼時變等因素，使其動力學控制規律更加復雜。Aghababa[19]應用一種分數階滑?？刂撇呗?，控制含不確定參數的結構的振動，算例表明該算法具有很強的魯棒性。Sharma等[20]提出了一種新型的分數階模糊PID控制器，比較了分數階模糊PID控制器，分數階PID控制器，模糊PID控制器和經典PID控制器的控制效果，數值算例表明分數階模糊PID控制器有更好的魯棒性和控制效率。梁捷等[21]開展了參數不確定情況下柔性關節-柔性臂系統的動力學模擬和主動抑制分析，提出了一種基于虛擬力概念的自適應模糊全局滑模控制方案，并利用相關實驗證實了該方法的可靠性和有效性。針對系統的變質量特性，本文擬采用模糊PID控制器來時變變質量時變系統的振動控制研究。主要工作如下：首先推導了含變質量構件的壓電梁結構的運動方程，研究了系統的振動特性，然后采用PID控制器和模糊PID控制器對質量增大系統和質量減少系統兩類變質量時變系統進行了振動控制研究。

1 動力學模型

圖1 所示為一個粘貼有壓電片的柔性梁結構，其中梁的長度為L，梁末端安裝一個集中質量，該質量是時間的函數m(t)，單位時間內流入或者流出的質量為dm，v(t)代表dm流入或者流出m(t)時的絕對速度，壓電片長度為a，壓電的位置用x1表征，載荷f(t)作用在x2處，研究中忽略梁的剪切變形，采用歐拉梁理論，計算中只考慮梁結構的彎曲振動。

如圖1所示的含變質量參數的壓電梁結構的運動方程為

EbIbKfεpeH(x)+f(t)δ(x2)

(1)

圖1 粘貼有壓電片的變質量-梁結構

(2)

根據壓電材料的本構方程，εpe可以表示為

εpe=d31Va/ha

(3)

式中:d31和ha分別為壓電應變常數和壓電片厚度。因此壓電片的作動力可以寫成

fV=EbIbKfεpeH(x)=KVV

(4)

當圖1所示的梁結構為懸臂梁時，邊界條件為

w(0)=wx(0)=wxx(L)=0

(5)

EbIbwxxx(L)=0

(6)

根據模態疊加法(Mode Superposition Method，MSM)，式(1)的解可為前n階模態φi(x,t)和組合廣義坐標qi(t)的形式

(7)

與時不變系統不同，φi(x,t)為瞬時模態，是時間的函數，因此在計算中涉及對時間微分的部分，必須考慮模態函數的導數。φi(x,t)的形式如下

(8)

當末端質量為常數時，Cj為常數，對于變質量系統，末端質量是隨時間變化的函數，因此Cj為末端質量的函數，滿足如下正交關系

(9)

式中:δij為Kronecker delta函數。βj為末端質量m(t)的函數

cosβjLsinhβjL)

(10)

將式(10)代入式(1),通過Galerkin方法可以得到變質量梁系統的振動控制方程

(11)

M=I

(12)

(13)

(14)

F=F[f(t),fV(t),φ]

(15)

本文主要研究質量線性時變系統，時變質量變化形式為m(t)=m0+γt，其中m0為初始質量，γ為一個表征系統質量變化率的參數。對于質量減小的系統，γ<0，對于質量增大的系統γ>0。數值計算中，對于質量增大的系統，梁末端的集中質量從0線性地增大到2 kg，對于質量減小的系統，梁末端的集中質量從2 kg線性地減小到0。

假設梁結構的材料為線彈性的，壓電材料使用其x-z方向的壓電特性，梁結構和壓電片的材料參數,如表1所示。首先分別使用模態疊加法(MATLAB)和有限元法(ANSYS)計算了不同末端質量時系統的固有頻率，如表2所示。從表2可知，使用兩種方法得到的結果是一致的。但是模態疊加法求解動力學響應時，自由度少，計算效率更高，而且便于施加控制。

表1 材料參數

表2 不同末端質量時系統的固有頻率

時變質量系統自由振動的位移響應曲線,如圖2所示，使用模態疊加法和有限元法得到的結果對應一致，從圖2可知,當末端質量減小時，位移幅值逐漸增大，而當質量增大時，位移幅值逐漸減小。這是由于質量變化引起了一個非結構阻尼項，該非結構阻尼項正比于系統的質量變化率，當dm/dt<0即γ<0時，質量減少相當于引起了一個非結構負阻尼，該負阻尼使得系統的振幅增大，反之，dm/dt>0時，質量增大相當于引起非結構正阻尼，使得系統振幅加速衰減。

(b) dm/dt>0

2 模糊PID振動控制器

PID是工業控制中應用最廣泛、技術最成熟的一種控制方法，經典PID控制器設計,如圖3所示。它根據給定值r(t)與實際輸出值y(t)構成控制偏差e(t)=r(t)-y(t)，將偏差進行比例、積分、微分運算并通過一定規律的線性組合構成控制u(t)對被控量進行控制，滿足：

(16)

圖3 經典PID控制器

式中:比例系數kp，積分系數ki和微分系數kd往往是固定的。而對于變質量時變系統，系統的質量參數隨時變化，使用經典PID控制器無法在整個時變過程中實現優化控制。而對于時變模型，通過模糊控制實時的調節反饋參數，可以有效的提高控制效果，更加適合時變系統的控制。

2.1 模糊PID控制器

在模糊PID控制器中，如圖4所示。模糊控制器通過建立PID的反饋系數kp，ki，kd和輸入誤差e=r(t)-y(t)及誤差導數ec=de/dt的模糊邏輯關系，實時得到反饋系數的修正值Δkp，Δki，Δkd，通過改進PID控制器的參數，提高控制效果，參數修正后，使用PID控制器作用于壓電作動器，抑制系統的振動。

圖4 模糊PID控制器示意圖

2.2 模糊化

仿真中使用的模糊PID控制器為一個3輸入(kp，ki，kd)2輸出(e,ec)控制器，但是在模糊控制器設計中，無法直接識別這5個參數，因此在模糊控制器設計中，首先將這5個參數轉化為7個模糊變量[NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB]，子集中元素分別代表負大，負中，負小，零，正小，正中，正大，這一步稱為模糊化?？刂破髟O計中通過系統的振動特性定義輸入值和輸出值的取值范圍，計算中e，ec，kp，ki和kd五個參數的定義域分別為[-6, 6]，[-3, 3]，[-0.3, 0.3]，[-0.3, 0.3]和[-0.3, 0.3]。

2.3 模糊控制規則

Δkp，Δki和Δkd模糊控制規則,如表3～表5所示，在模糊模塊中，重力模型和Mamdani算法被用來實現模糊變量的去模糊化。

表3 Δkp模糊控制規則表

表4 Δki模糊控制規則表

根據模糊控制率得到參數修正量Δkp，Δki和Δkd，因此經過模糊模塊修正后的PID控制器的三個參數分別為

kp=kp0+Δkp

(17)

ki=ki0+Δki

(18)

表5 Δkd模糊控制規則表

kd=kd0+Δkd

(19)

式中:kp0，ki0和kd0為PID中比例參數、積分參數和微分參數的初始取值。通過模糊策略，在控制過程中，在線、實時的調節控制參數kp，ki，kd，使得PID控制器更適用于該變質量時變系統。

3 時頻響應分析

在時變參數系統的振動信號處理中，使用Fourier 變換雖然可以得到信號的部分頻域特征，但是無法得到系統共振頻率和振動能量的時間特性。而時頻分析技術以其強大的功能被擴展到諸多信號處理問題中，多種分布函數如Wigner-Ville分布，Choi-Williams分布等，被廣泛應用機械設計、振動監測和故障診斷等領域[23-25]，鑒于Choi-Williams分布函數信號密集性好、交叉項抑制能力強等優點，本文采用Choi-Williams分布函數來處理得到的非平穩位移響應信號。

圓錐型Choi-Williams分布函數的形式為

(20)

從式(20)可知，Choi-Williams分布通過建立時間t和頻率ω的聯合函數，描述信號同時在時間和頻率的能量密度或強度，比FFT分析所得到的信息更加完整。其中Ax(η,τ)為Sussman模糊函數，用來修正原始信號，保證信號在時頻分析中的穩定性。

(21)

φ(η,τ)為指數型核函數

φ(η,τ)=e-α(ητ)2

(22)

通過調整α值的大小可以控制時頻分析的精度。借助MATLAB 時頻分析工具箱，可以迅速得到時域信號的時頻分解。

4 振動控制計算仿真

系統的振動能量主要集中在前幾階模態振動中，因此低階振動的控制一直是主動控制的重點。給定圖1所示的質量-彈性梁結構一個初始位移然后釋放，在結構自由振動過程中，施加模糊PID反饋控制器，調節壓電片控制梁結構的振動。通過數值模擬，首先計算了質量減少系統的振動主動控制，控制前后的位移響應曲線,如圖5所示。對應的頻響曲線,如圖6所示。

從圖5可知，施加PID和模糊PID控制后，系統的振動都得到了有效的抑制，對比這兩種控制后的響應曲線，施加模糊PID控制后，系統的位移響應衰減的更快，說明使用模糊控制部分調節的PID控制器的參數，可以有效改善控制效果。由于系統質量減少，因此系統的頻率增大。對比圖5(a)和圖5(b)中系統的響應曲線可知，kp0越大，反饋增益越大，控制效果越好，但必須保證壓電片的驅動電壓在使用范圍之內，防止電壓過大造成壓電片的損壞。從幅值譜曲線上也可知，使用PID控制器，幅值下降了60%，而使用模糊PID控制器后，幅值下降了約為85%。

(a) kp0=0.5,ki0=0.05,kd0=0.05

(b) kp0=0.8,ki0=0.05,kd0=0.05

Fig.5 Displacement responses for decreasing mass system with and without control

(a) kp0=0.5,ki0= 0.15,kd0=0.05

(b) kp0=0.8,ki0= 0.15,kd0=0.05

Fig.6 Frequency responses for decreasing mass system with and without control

對圖5(a)中的位移響應曲線做CWD(Choi Williams distribution)，得到了圖7中顯示的控制前后系統位移曲線的時頻響應譜。系統末端的集中質量從2 kg線性的減小到0，系統的振動頻率從1.6 Hz增大到2.4 Hz，從圖7(a)可知，系統的振動能量增大，這是非結構負阻尼的作用使得系統的動能增大，施加控制后，因此從能量密度譜上可以看出，系統的振動能量迅速減少，也就是說系統的振動得到了有效的控制。比較圖7(b)和圖7(c)可知,模糊PID的控制效果由于經典PID控制器。當β<0,kp0=0.8時，系統的時頻響應譜圖,如圖8所示?，F象與圖7中所示的現象類似，但是由于施加的反饋系數更大，因此控制效果更好。

(a) No control

(b) PID

(a) No control

(b) PID

對于質量增大的系統，控制前后系統的位移響應曲線和幅值譜曲線,如圖9和圖10所示。類似的，從圖中可知，施加PID和模糊PID控制后，系統的振動幅值迅速衰減，對比PID和模糊PID控制后的位移響應曲線表明，施加模糊PID控制后，系統的位移響應衰減的更快，說明模糊PID控制器自適應性更強，控制效果更好。從幅值譜曲線上也可以看出，使用PID控制器，幅值下降了54%，而使用模糊PID控制器后，幅值下降了約為83%。