非線性量子信息熵及其在行星變速箱特征提取中應(yīng)用

丁 闖, 張兵志,2, 馮輔周, 吳守軍

(1. 陸軍裝甲兵學(xué)院 車輛工程系, 北京 100072; 2. 北方特種車輛研究所, 北京 100072)

由于行星傳動(dòng)具有重量輕、體積小、傳動(dòng)比大、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，因此已被廣泛應(yīng)用于軍用裝備和民用裝備中。行星齒輪箱的復(fù)雜結(jié)構(gòu)決定了其振動(dòng)響應(yīng)比定軸齒輪箱更加復(fù)雜，并存在明顯的非線性、非平穩(wěn)性，且故障響應(yīng)微弱[1]。對(duì)其振動(dòng)信號(hào)特征提取一直是研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

由于信息熵能夠有效的檢測(cè)振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)特性，其在特征提取及故障診斷中的應(yīng)用越來(lái)越引起了人們的重視，取得了一定的研究成果。在使用信息熵進(jìn)行特征提取中，如何定義各個(gè)事件，并計(jì)算各個(gè)事件出現(xiàn)的概率，是不同信息熵方法的區(qū)別之處，也是信息熵能否有效用于特征提取的關(guān)鍵[2-3]。

近年來(lái)，量子理論取得了快速的發(fā)展，已經(jīng)成為了極具革命性、神秘性的理論。量子理論與傳統(tǒng)的信息表達(dá)方式存在較大差異，具有優(yōu)異的性能，其量子態(tài)的疊加性、相干性、糾纏性，能準(zhǔn)確表達(dá)很多客觀存在的規(guī)律[4]。

依據(jù)量子理論全新表達(dá)方式的優(yōu)勢(shì)，將其引入信息熵，提出一種結(jié)合信息熵和量子理論的特征提取新方法—非線性量子信息熵(Nonlinear Quantum Entropy, NLQE)。

1 量子理論

量子理論在近年來(lái)取得了廣泛的研究，成為了一種行之有效的信息處理工具，同時(shí)推動(dòng)著相關(guān)領(lǐng)域的快速發(fā)展。借助量子理論描述微觀世界的全新思想及其特殊的狀態(tài)表達(dá)形式，量子理論在振動(dòng)信號(hào)的處理方面亦取得了有效的應(yīng)用[5-6]。

1.1 量子理論基礎(chǔ)

量子比特是量子理論體系中描述量子世界的基本單位，它所表達(dá)的狀態(tài)為一種疊加態(tài)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

|φ〉=a|0〉+b|1〉

(1)

(2)

由式(1)和(2)可知，量子比特可以描述不同概率的兩個(gè)基態(tài)組合而成的各種狀態(tài)。

1.2 非線性量子比特

振動(dòng)信號(hào)的量子表達(dá)是進(jìn)行進(jìn)一步數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵。本節(jié)給出振動(dòng)信號(hào)的非線性量子表達(dá)式，用于描述振動(dòng)信號(hào)的狀態(tài)。

假設(shè)一維振動(dòng)信號(hào)為X={x(i),i=1,2,…,N}，共有N個(gè)采樣點(diǎn)元素組成，使用下式對(duì)信號(hào)X的每個(gè)采樣點(diǎn)元素x(i)進(jìn)行歸一化處理，得到y(tǒng)(i)∈[0,1]

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，提出振動(dòng)信號(hào)非線性量子表達(dá)的數(shù)學(xué)式，將振動(dòng)信號(hào)從時(shí)域空間映射到量子空間，從而用于分析振動(dòng)信號(hào)的狀態(tài)。歸一化后的振動(dòng)信號(hào)非線性量子表達(dá)為

|y(i)〉=cos(y(i)×π/2)|0〉+sin(y(i)×

(4)

式中:cos(y(i)×π/2)和sin(y(i)×π/2)為兩個(gè)基態(tài)|0〉和|1〉的概率幅值。而cos2(y(i)×π/2)和sin2(y(i)×π/2)為兩個(gè)基態(tài)|0〉和|1〉的概率，由于cos2(y(i)×π/2)+sin2(y(i)×π/2)=1，即滿足歸一化條件，符合量子比特的定義，可用于振動(dòng)信號(hào)量子化。由于概率cos2(y(i)×π/2)和sin2(y(i)×π/2)為非線性變化，因此稱式(4)為振動(dòng)信號(hào)的非線性量子化。

1.3 振動(dòng)信號(hào)多量子位系統(tǒng)

在行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)處理中，往往需要同時(shí)對(duì)多個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行處理，對(duì)單個(gè)采樣點(diǎn)量子化不能滿足要求，因此本節(jié)主要研究對(duì)振動(dòng)信號(hào)多個(gè)采樣點(diǎn)的非線性量子化。

若振動(dòng)信號(hào)的每個(gè)采樣點(diǎn)都使用量子比特非線性量子化，則一個(gè)由相鄰k個(gè)采樣點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)可由k個(gè)量子位描述，其中第i個(gè)量子位的狀態(tài)為|φi〉=ai|0〉+bi|1〉，該振動(dòng)信號(hào)可用k個(gè)量子比特的直積表示

|Yk〉=|y(1)〉?|y(2)〉?…?|y(k)〉=

a1a2…ak|00…0〉+

a1a2…ak-1bk|00…01〉+…+

(5)

(6)

此處取振動(dòng)序列X中相鄰3個(gè)采樣點(diǎn)為例說明多采樣點(diǎn)的非線性量子化過程。

假設(shè)振動(dòng)序列X中相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)為X3={x(m-1),x(m),x(m+1)}，m∈[1,N-1]，對(duì)序列X進(jìn)行歸一化，X3對(duì)應(yīng)Y3={y(m-1),y(m),y(m+1)}，可將其生成含3個(gè)量子位的量子系統(tǒng)，其態(tài)矢|ib〉∈{|000〉,|001〉,…,|111〉}。

結(jié)合歸一化公式，對(duì)于3量子比特系統(tǒng)，若采用非線性量子比特表示，則振動(dòng)信號(hào)的3個(gè)相鄰采樣點(diǎn)可表示為

(7)

為了更直觀的反映量子化的實(shí)質(zhì)，X3進(jìn)行量子化過程可表示為如圖1所示。

圖1 振動(dòng)信號(hào)量子化過程

2 非線性量子信息熵

在信息通訊中，使用二進(jìn)制符號(hào)及其出現(xiàn)的概率表示消息數(shù)量，Shannon使用“熵”的概念用于描述信息論中信息的不確定性，提出了信息熵，同時(shí)給出了信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將信息熵作為表示輸出信息的信息量指標(biāo)[8]。Shannon定義一個(gè)不確定的概率分布信息熵為

(8)

式中：pi為事件i出現(xiàn)的概率，信息熵僅與各事件出現(xiàn)的概率和事件的數(shù)量有關(guān)。信息熵的大小可定量描述概率系統(tǒng)的分布情況。

2.1 量子理論引入信息熵的可行性分析

量子理論作為一門新興科學(xué)在各行各業(yè)中取得了較快的發(fā)展，而信息熵作為一種定量衡量時(shí)間序列信號(hào)狀態(tài)的算法具有十分重要的作用。如何將量子理論引入到信息熵，并使其具有更廣闊的發(fā)展空間是本文研究的重點(diǎn)。

信息熵最初用于描述二進(jìn)制信息的不確定程度，在量子理論中，亦使用二進(jìn)制表示基態(tài)或態(tài)矢，各基態(tài)或態(tài)矢出現(xiàn)的概率亦可準(zhǔn)確的反映系統(tǒng)狀態(tài)。信息熵與量子理論中使用各量子基態(tài)或態(tài)矢及其出現(xiàn)的概率表達(dá)信息狀態(tài)極其相似，受此啟發(fā)，可將量子理論與信息熵結(jié)合描述振動(dòng)信號(hào)的運(yùn)行狀態(tài)，用于提取系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)特征。

在行星齒輪箱運(yùn)行過程中，其振動(dòng)信號(hào)與其運(yùn)行狀態(tài)有關(guān)，而不同的振動(dòng)時(shí)間序列對(duì)應(yīng)的量子表達(dá)中各基態(tài)或態(tài)矢的概率幅值或概率亦不同，可通過信息熵方法計(jì)算各基態(tài)或態(tài)矢的熵值，并以此作為行星齒輪箱運(yùn)行的特征。由此提出基于非線性量子信息熵的特征提取方法。

2.2 非線性量子信息熵基本原理

結(jié)合量子理論和信息熵的概念，根據(jù)可行性分析思路，并結(jié)合排列熵、樣本熵等其他信息熵原理，非線性量子信息熵的基本原理如下：

(1) 振動(dòng)信號(hào)歸一化。設(shè)振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列X={x(i),i=1,2,…,N}。根據(jù)式(3)對(duì)振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列進(jìn)行歸一化，得歸一化后時(shí)間序列為Y={y(i),i=1,2,…,N}。

(2) 相空間重構(gòu)。對(duì)時(shí)間序列Y進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到矩陣Y0

(9)

式中，j=1,2,3,…,K,m為嵌入維數(shù)，τ為延遲時(shí)間，K=N-(m-1)τ。重構(gòu)矩陣中的每一行Y0(j)為一個(gè)重構(gòu)分量，重構(gòu)矩陣中共有K個(gè)重構(gòu)分量。

(3) 重構(gòu)分量非線性量子化。將重構(gòu)矩陣中的每個(gè)重構(gòu)分量使用多量子位系統(tǒng)非線性量子化，組成由m個(gè)量子位組成的量子位系統(tǒng)，態(tài)矢數(shù)量n=2m，得

(10)

(11)

(4) 計(jì)算各態(tài)矢概率。計(jì)算所有重構(gòu)分量中同一態(tài)矢的概率和，得出各態(tài)矢出現(xiàn)的概率

(12)

式中，k=1,2,3,…,n。

(5) 計(jì)算非線性量子信息熵。將各態(tài)矢出現(xiàn)的概率作為事件出現(xiàn)的概率，計(jì)算信息熵

(13)

(14)

根據(jù)Shannon信息熵概念，非線性量子信息熵Hq(X)表示時(shí)間序列X量子化后各態(tài)矢的概率分布。Hq(X)越大，說明各態(tài)矢的概率分布越均勻，即各態(tài)矢出現(xiàn)的概率越接近；反之，Hq(X)越小，說明各態(tài)矢出現(xiàn)的概率相差越大。對(duì)于行星齒輪傳動(dòng)，Hq(X)越大，說明其運(yùn)行狀態(tài)越穩(wěn)定，即越接近正常狀態(tài)；Hq(X)越小，說明行星齒輪箱運(yùn)行狀態(tài)越不穩(wěn)定，即偏離正常狀態(tài)，出現(xiàn)異常。Hq(X)的變化能夠反映并放大時(shí)間序列的微小變化，非線性量子信息熵算法流程如圖2所示。

圖2 非線性量子信息熵算法流程圖

由于非線性量子信息熵在重構(gòu)分量非線性量子化過程中，充分考慮了其時(shí)間序列的實(shí)際值，且對(duì)各態(tài)矢的概率計(jì)算尤為精確，因此非線性量子信息熵能夠準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，具有很大的優(yōu)勢(shì)。

2.3 非線性量子信息熵響應(yīng)分析

行星齒輪箱齒在出現(xiàn)故障后，將導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的振動(dòng)信號(hào)的頻率成分、幅值發(fā)生變化，且振動(dòng)信號(hào)中存在噪聲的干擾，因此分析單行星排齒輪箱齒輪正常、太陽(yáng)輪局部故障、行星輪局部故障等3種振動(dòng)仿真信號(hào)的非線性量子信息熵，用于說明其作為行星齒輪箱的特征的可行性。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，對(duì)于單行星排齒輪箱齒輪正常時(shí)振動(dòng)仿真信號(hào)為

(15)

式中：fc為行星架旋轉(zhuǎn)頻率，fm為行星齒輪箱的嚙合頻率，θ為嚙合振動(dòng)初相位。

太陽(yáng)輪局部故障時(shí)振動(dòng)仿真信號(hào)為

(16)

行星輪局部故障時(shí)振動(dòng)仿真信號(hào)為

(17)

式中：fp為行星輪局部故障特征頻率，A2、B2和φ2、φ2為行星輪故障調(diào)幅、調(diào)頻的幅值和初相位。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，設(shè)置仿真信號(hào)中各個(gè)參數(shù)如1所示。

表1 振動(dòng)仿真信號(hào)中各頻率值

設(shè)置各初相位均為零，即θ=φ1=φ2=φ1=φ2=0，各調(diào)制系數(shù)A1=A2=B1=B2=0.5，在3種狀態(tài)的時(shí)域信號(hào)中添加信噪比為10 dB的高斯白噪聲，采樣頻率設(shè)置為5 120 Hz，仿真時(shí)間為10 s，此時(shí)3種狀態(tài)的振動(dòng)時(shí)域仿真信號(hào)如圖3所示。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]中參數(shù)優(yōu)化方法，在相空間重構(gòu)時(shí)，針對(duì)3種狀態(tài)的振動(dòng)仿真信號(hào)，使用互信息法確定延遲時(shí)間為τ=1，使用偽近鄰法確定嵌入維度為m=3，每1 s(N=5 120)計(jì)算一次非線性量子信息熵，共計(jì)算20個(gè)仿真信號(hào)樣本，結(jié)果如圖4所示。由圖4可知，行星齒輪箱3種狀態(tài)振動(dòng)信號(hào)的非線性量子信息熵有明顯的差別，初步驗(yàn)證了非線性量子信息熵作為單行星排齒輪箱運(yùn)行狀態(tài)特征的有效性。且各狀態(tài)下振動(dòng)信號(hào)的非線性量子信息熵值波動(dòng)較小，說明其具有一定的抗噪能力。

(a) 齒輪正常

(b) 太陽(yáng)輪局部故障

(c) 行星輪局部故障

圖4 行星齒輪箱3種狀態(tài)下振動(dòng)仿真信號(hào)的非線性量子信息熵

3 在行星齒輪箱特征提取中的應(yīng)用

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)非線性量子信息熵在復(fù)雜行星變速箱特征提取中的應(yīng)用效果，使用試驗(yàn)臺(tái)采集振動(dòng)信號(hào)驗(yàn)證其實(shí)用性。

3.1 行星變速箱故障模擬試驗(yàn)臺(tái)

使用行星變速箱齒輪正常、輪齒裂紋故障等多種狀態(tài)驗(yàn)證非線性量子信息熵的有效性，故障模擬試驗(yàn)臺(tái)如圖6所示。試驗(yàn)臺(tái)主要由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、傳動(dòng)箱、行星變速箱、加載電機(jī)、轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩儀等關(guān)鍵部件組成，其中行星變速箱主要由三個(gè)行星排以及多個(gè)定軸傳動(dòng)組成。在實(shí)際運(yùn)行中，通過液壓油路控制其內(nèi)部離合器和制動(dòng)器的分離和結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)行星變速箱不同的傳動(dòng)比。行星變速箱三檔時(shí)，故障模擬試驗(yàn)臺(tái)動(dòng)力傳遞原理如圖6所示。其內(nèi)部的復(fù)雜結(jié)果導(dǎo)致了采集到的振動(dòng)信號(hào)異常復(fù)雜。

試驗(yàn)中，振動(dòng)傳感器粘貼在行星變速箱的箱體上，采樣頻率設(shè)定為20 kHz，試驗(yàn)共進(jìn)行了5種狀態(tài)下的數(shù)據(jù)采集，分別為齒輪正常、K1小行星輪裂紋、K1大行星輪裂紋、K2行星輪裂紋、K3太陽(yáng)輪裂紋。驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸入轉(zhuǎn)速為1 500 r/min；兩側(cè)負(fù)載電機(jī)加載為900 N·m。每個(gè)樣本采集1s，每種狀態(tài)采集50個(gè)樣本，共采集250個(gè)樣本。

圖5 行星變速箱試驗(yàn)臺(tái)

圖6 行星變速箱試驗(yàn)臺(tái)原理圖

3.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

在三檔時(shí)，5種狀態(tài)采集到振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻如圖7所示。由此5種狀態(tài)的頻域波形可知，其各狀態(tài)下的頻率成分尤其復(fù)雜，且相差甚微，故障信息被淹沒，僅根據(jù)此時(shí)頻域分析很難判斷行星齒輪箱的運(yùn)行狀態(tài)。

使用本文提出的非線性量子信息熵對(duì)5種狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)提取特征。根據(jù)文獻(xiàn)[2]中參數(shù)優(yōu)化方法，針對(duì)此5種狀態(tài)，在相空間重構(gòu)時(shí)，使用互信息法確定延遲時(shí)間為τ=1，使用偽近鄰法確定嵌入維度為m=3，計(jì)算每個(gè)樣本(L=20 000)的非線性量子信息熵，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。由圖可知，非線性量子信息熵能夠很好的分辨5種狀態(tài)的信號(hào)，且穩(wěn)定性好，具有很好的效果。

3.3 與時(shí)頻熵、樣本熵結(jié)果對(duì)比

Fig.7 Time and frequency domain waveforms of five types of planetary transmission gearbox vibration signals

圖8 行星變速箱5種狀態(tài)下振動(dòng)信號(hào)的非線性量子信息熵

為了進(jìn)一步說明非線性量子信息熵在復(fù)雜行星變速箱特征提取中的優(yōu)越性，對(duì)5種狀態(tài)求其時(shí)頻熵和樣本熵，計(jì)算結(jié)果如圖9、圖10所示。由圖可知，時(shí)頻熵、樣本熵對(duì)復(fù)雜行星變速箱運(yùn)行狀態(tài)提取的特征值波動(dòng)較大，且存在交叉，并不能作為判斷行星變速箱運(yùn)行狀態(tài)的有效特征。

3.4 結(jié)果分析

通過前文分析，針對(duì)行星變速箱不同運(yùn)行狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)，非線性量子信息熵具有更好的分析能力，根據(jù)圖8所示，齒輪正常時(shí)振動(dòng)信號(hào)具有最大的非線性量子信息熵值，說明其振動(dòng)信號(hào)對(duì)應(yīng)的各態(tài)矢分布相對(duì)更均勻，而在出現(xiàn)裂紋故障后，由于裂紋故障產(chǎn)生的頻率變化及沖擊對(duì)其振動(dòng)信號(hào)有較大的影響，造成某些態(tài)矢出現(xiàn)的概率增加，某些態(tài)矢出現(xiàn)的概率減少，態(tài)矢分布變化，導(dǎo)致其非線性信息熵值減小。行星變速箱在運(yùn)行中振動(dòng)信號(hào)保持一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，各狀態(tài)下的態(tài)矢概率趨于穩(wěn)定，因此各狀態(tài)下的非線性量子信息熵保持穩(wěn)定，且不同狀態(tài)的非線性量子信息熵不同。因此，非線性量子排列熵可作為判斷行星變速箱運(yùn)行狀態(tài)的特征。

圖9 5種狀態(tài)下行星變速箱振動(dòng)信號(hào)的時(shí)頻熵

圖10 5種狀態(tài)下行星變速箱振動(dòng)信號(hào)的樣本熵

4 結(jié) 論

本文結(jié)合量子理論和信息熵，提出了一種特征計(jì)算的新方法-非線性量子信息熵，并將其用于行星變速箱的特征提取，判斷行星齒輪箱的運(yùn)行狀態(tài)。得出如下結(jié)論：

(1) 非線性量子信息熵作為一種新的特征提取方法，其原理簡(jiǎn)單、計(jì)算快捷。由于該算法在計(jì)算各態(tài)矢系數(shù)時(shí)考慮了實(shí)際值，在原理上比排列熵更有優(yōu)勢(shì)，通過仿真和試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明，非線性量子信息熵能夠有效提取行星變速箱運(yùn)行狀態(tài)特征。

(2) 通過與時(shí)頻熵和樣本熵的對(duì)比可知，針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)行星變速箱振動(dòng)信號(hào)的特征提取，非線性量子信息熵更為有效。

(3) 非線性量子信息熵作為全新的特征提取方法，目前尚處于研究階段，對(duì)于算法中的原始信號(hào)歸一化方法、延遲時(shí)間、嵌入維度等參數(shù)對(duì)其計(jì)算結(jié)果的影響還有待進(jìn)一步研究。

(4) 量子理論作為極具變革的理論，將其引入到振動(dòng)信號(hào)分析中將發(fā)揮其巨大的潛力，也必將為振動(dòng)信號(hào)分析方法提供更多新思路。