基于梯度化因子功能梯度點陣夾層結構優化設計

朱凌雪， 王同銀， 朱曉磊

(1. 金陵科技學院 數學系, 南京 211169； 2. 南京工業大學 機械與動力工程學院， 南京 211816)

金屬點陣材料是一種先進的輕質多功能材料，點陣結構具有高孔隙率和較高的可設計性，使其在保證結構剛度和強度的同時，能滿足多種性能要求，如抗沖擊、吸能等特性[1-2]。國內外學者對點陣結構的力學性能做了廣泛的研究。韓賓等[3]首次比較了波紋夾芯板、方孔蜂窩夾芯板、三角蜂窩夾芯板、金字塔夾芯板四種典型點陣金屬夾芯板在受剛性物塊低速沖擊時的動態行為，以考察點陣金屬夾芯結構的動態響應及抗沖擊性能。郭銳等[4]對填充陶瓷棒的金屬點陣夾層結構抗彈丸侵徹能力進行了試驗研究。Dharmasena等[5-6]結合實驗和數值模擬研究了金字塔夾芯板、波紋夾芯板以及等質量實體板在空爆載荷下的動態響應。Zhang等[7-10]對六邊形蜂窩、不連續十字型點陣夾層結構、折紋管的抗爆吸能特性進行了研究。

現有的研究表明，梯度結構比非梯度結構具有更優的吸能效果。王曉凱[11]通過數值模擬研究了梯度蜂窩的動態力學行為，發現在初始沖擊速度不是很高的情況下，梯度蜂窩相比于質量相等的均勻蜂窩具有優異的吸能特性。亓昌等[12]研究發現梯度鋁泡沫夾芯板的總吸能量和同質量的均勻鋁泡沫夾芯板相比，前者有較大幅度的提高。

本課題組針對功能梯度點陣夾層結構平壓力學性能和空爆載荷作用下的吸能特性進行了系統的研究，建立了功能梯度點陣夾層結構空爆載荷作用下的有限元計算方法。在此基礎上，本文提出采用梯度化因子表征功能梯度點陣夾層結構的梯度化程度，結合ANSYS/LS-DYNA有限元軟件討論了梯度化因子對結構抗爆吸能的影響，并基于梯度化因子采用遺傳算法對梯度結構進行優化。

1 有限元模型

功能梯度點陣夾層結構，如圖1所示。點陣芯子采用金字塔型胞元，芯桿截面示意圖，如圖2所示。其中H1，H2，H3依次為迎爆面板、芯層、背板的厚度，W1，W2分別為芯桿上下水平截面邊長，θ為芯桿與背板之間的夾角。計算模型示意圖，如圖3所示。采用球形裝藥，14×14胞元的功能梯度點陣夾層結構。由于結構在爆炸載荷作用下的響應屬于高度非線性問題，求解時間長。且考慮到研究對象的對稱性，所以夾層板取完整模型的1/4。

圖3 爆炸模型示意圖

材料模型選用與應變率相關的隨動塑性模型，用關鍵字*MAT_PLASTIC_KINEMATIC定義，點陣芯子及面板均采用AISI 304不銹鋼，具體參數見表1。

表1 材料參數[13]

為反映點陣夾層結構各部分之間的相互作用，面板與芯子的界面接觸通過關鍵字*CONTACT_TIED_SURFACE_TO_SURFACE來定義。面板與芯子的非界面區域通過*CONTACT_AUTOMATIC_SURFACE_TO_SURFACE定義接觸。點陣芯子在沖擊變形過程中可能存在自身單元的相互接觸碰撞，故添加點陣芯子的自接觸關鍵字*CONTACT_AUTOMATIC_SINGLE_SURFACE。

爆炸載荷采用CONWEP算法模擬，由LOAD_BLAST模型施加在迎爆面板上，TNT當量為300 g，炸點距離為200 mm，設置求解結束時間為4 000 μs。

為了驗證本文所采用的有限元建模方法，根據文獻[5]，建立了材料為AL6XN不銹鋼的四棱錐點陣夾層結構的有限元模型，模型尺寸以及材料參數均參照于文獻中的數據。在數值計算中，爆炸載荷施加在迎爆面板上，TNT當量為201 g，炸點高度150 mm，仿真時間4 000 μs。計算結果，如表2所示。從表2可知，模擬值與文獻模擬值吻合較好，最大誤差為3%。

表2 面板最大變形對比結果

為了檢驗數值模擬的準確性，排除模型網格對計算結果的影響，對點陣夾層板進行網格獨立性檢驗，如表3所示。

表3 不同網格大小下的結果對比

對比上述四種情況，分析結果可知，由網格引起的結果差異很小，ASEA誤差最大不超過3.3%，Max D誤差最大<1.3%。考慮到計算耗費的時間，在本文的計算中，均是按第一種情況的總體網格尺寸劃分網格，即采用總體控制方法控制網格密度，面板最大網格邊長為1 mm，芯子最大網格邊長為0.5 mm。

點陣芯子及面板各部分均用六面體網格劃分，以提高計算精度，單元類型為SOLID164。數值模型中，模型對稱面施加對稱約束。夾層結構采用四周固支的方式，故對端面施加全約束。

2 梯度化因子對結構抗爆性能的影響

2.1 梯度化因子定義

文獻[11]中指出密度梯度參數可描述為

(1)

式中：γ為無量綱參數，ρ0為樣本的平均密度，L為樣本在x方向上的長度。沿x軸正方向密度逐漸增加的稱為正梯度(γ>0)材料，密度逐漸減小的稱為負梯度(γ<0)材料。

在本文中定義如下

(2)

式中：γ1為面板的梯度化因子；γ2為芯子的梯度化因子。當γ<1時，結構為正向梯度化；當γ>1時，結構為逆向梯度化。

本文是在夾層結構相對密度相同的前提下，做梯度化因子的相關探討，故結構參數定義如下約束條件：H1+H3=4 mm，W1+W2=4 mm，H2=24 mm，θ=50°。

為探討面板梯度化因子、芯層梯度化因子分別對功能梯度點陣夾層結構抗爆吸能的影響，引用結構的面比吸能(Areal Specific Energy Absorption, ASEA)作為評價指標[12]，共建立11組模型，并利用ANSYS/LS-DYNA完成仿真計算。

面比吸能表達式為

(3)

式中：MA表示結構單位面積內的質量，En表征結構的總吸能。

2.2 面板梯度化因子γ1的影響

對于本文的研究對象而言，t=800 μs時，夾層結構背板變形量達到最大，所以取該時刻進行狀態分析，對比更明顯。圖4為t=800 μs時不同面板梯度化因子γ1對應的夾層板變形響應圖，圖5為該時刻γ1=1/3的夾層結構對應的迎爆面板局部凸起示意圖。由圖4可知，γ1不同時芯層表現出的變形模式有差異；當γ1=1/3、3/5時，迎爆面板不僅會發生整體彎曲，還會在點陣芯子與面板連接的位置出現局部的凸起；且γ1=1/3的凸起高度要大于γ1=3/5，說明面板壁厚減薄導致面板抵抗塑性變形能力降低，面板的塑性變形成為主要的吸能方式。面板梯度化因子對功能梯度點陣夾層結構抗爆吸能的影響，如圖6所示。不同γ1時各部件吸能情況如圖7所示。從圖6可知，隨著γ1的增加，結構的面比吸能減小。這是由于γ1增大時，迎爆面板的厚度相應增加，抗彎剛度增大，結構抵抗變形的能力增大，結構不易發生塑性變形；同時，面板厚度增加承載面積增加，在相同載荷條件下，迎爆面板局部剪切應力和拉伸應力減小，不易達到塑性屈服應力，使得吸能減小。由圖7可知，當γ1<1時，上面板和點陣芯子的吸能特性被明顯加強，這是因為，面板減薄后，面板的局部塑性變形加劇導致面板吸能增加，而面板局部塑性變形增加的同時，使得芯子除了承受軸向載荷以外，還要受到由面板局部變形引起的橫向載荷，使得芯子塑性鉸增多導致芯子吸能增加。當γ1>1時，面板吸能趨于穩定，點陣芯子的吸能逐漸減小，說明隨著迎爆面板厚度的增加，迎爆面抵抗塑性變形的能力增加，沖擊動能大部分轉化為彈性勢能被結構儲存，結構吸能主要依賴于面板的剛度，因此，上面板吸能區域穩定；隨著上面板厚度的增加，點陣芯子僅受到軸向載荷的作用，且軸向載荷逐漸減小，使得點陣芯子發生塑性變形的能力減小，導致芯子吸能降低。

γ1=1/3γ1=5/3

γ1=3/5γ1=7/3

γ1=1γ1=3

圖4t=800 μs時夾層板的變形響應圖(γ2=1)

Fig.4 Deformation response of sandwich panel at the time of 800 μs (γ2=1)

圖5 t=800 μs時迎爆面板局部凸起示意圖(γ1=1/3)

圖6 ASEA隨γ1變化關系(γ2=1)

圖7 不同γ1時各部件吸能

2.3 芯層梯度化因子γ2的影響

圖8為t=800 μs時不同面板梯度化因子γ2對應的夾層板變形響應圖。由圖8可知，γ2不同時芯層表現出的變形模式差異很大。當γ2=1/3時，塑性鉸出現在靠近迎爆面板側且為桿長1/3的位置，且芯桿小端發生了明顯的扭曲；當γ2=3/5時，塑性鉸出現在桿長1/3和2/3的位置；當γ2=1時，塑性鉸出現在桿長1/2的位置；當γ2>1時，除去桿件兩端不考慮，沿桿件方向均只有一個塑性鉸，且隨著γ2的增大，塑性鉸的位置也逐漸靠近背板。

芯層梯度化因子對功能梯度點陣夾層結構抗爆吸能的影響，如圖9所示。從圖9可知，隨著γ2的增加，結構的面比吸能整體有緩慢減小的趨勢。這是因為隨著γ2增大，在承受爆炸載荷時，芯桿上端越不容易發生塑性彎曲，會使得結構吸能有所降低，但由于芯子變形受到面板約束較大，在面板厚度一定的時，芯子發生塑性變形的能力有限，故改變γ2時吸能變化幅度很小。對比圖6、圖9可知，正向梯度化可以提高結構吸能，且γ2對面比吸能的影響程度遠不及γ1。

γ2=1/3γ2=5/3

γ2=3/5γ2=7/3

γ2=1γ2=3

圖8t=800 μs時夾層板的變形響應圖(γ1=1)

Fig.8 Deformation response of sandwich panel at the time of 800 μs (γ1=1)

圖9 ASEA隨γ2變化關系(γ1=1)

3 功能梯度點陣夾層結構優化設計

3.1 響應面模型的構建

本文旨在基于梯度化因子對功能梯度點陣夾層板進行結構優化設計，故以面板梯度化因子γ1、芯子梯度化因子γ2作為設計變量；為考察梯度結構的吸能特性，以結構的面比吸能ASEA為優化目標；考慮結構達到最大吸能時，面板或芯子不能發生破壞，故以面板的有效應變作為狀態變量。在滿足設計變量、約束條件的基礎上，求ASEA最大值。

優化目標：max(ASEA)

對γ1和γ2兩個因素，均取六個水平γ1,2=1/3、3/5、1、5/3、7/3、3。考慮到因素數量少，且為獲得真實可靠的結論，所以采用全因子試驗設計，建立如下36組模型，見表4。

表4 試驗設計及仿真結果

構建響應面模型主要有兩種思路：① 利用神經網絡建立映射關系；② 采用回歸分析方法得到回歸方程。由于通過神經網絡得到的響應面模型不能用數學表達式直觀表征出來，且神經網絡的計算精度與構件模型的隱含層數和神經元的數目有關，使得神經網絡的構建的模型好壞具有一定的隨機性，所以在本文中采用回歸分析的方法建立響應面模型。利用四階多項式對仿真數據點進行曲面擬合，得到如下擬合公式：

(4)

響應面模型的精度直接關系著后續結構優化的準確性，而響應面模型的精度主要與模型中方程擬合的參數有直接的關系。本文所擬合的響應面模型，其平方和誤差為SSE=24.88，均方根誤差為RMSE=1.088 5，R2為0.997 4，說明擬合模型與實際計算結果吻合較好，誤差<5%。

擬合曲面，如圖10所示。并依據擬合方程進行殘差分析，定義殘差e=ASEA仿真-ASEA擬合。

圖10 ASEA曲面擬合圖

判斷回歸模型合適程度最有效方法之一是對因變量與殘差作圖，觀察其分布情況，如圖11所示。由圖11可知，殘差所在位置互不關聯，是隨機的，殘差值的分布基本符合正態分布，因而回歸模型是可靠的。

(a)

(b)

3.2 優化求解

遺傳算法是一種建立在自然選擇原理和自然遺傳機制上的迭代式自適應概率性尋優算法，模擬生物進化過程達到尋優的目的[14]。它的程序簡單，計算過程僅涉及目標函數和約束條件的分析比較，能夠很好地獲得全局最優解。且在結構中主要應用于桁架的結構、形狀和拓撲優化、復合材料鋪層優化、布局優化、多目標優化等方面[15]。基本遺傳算法的流程，如圖12所示。

圖12 基本遺傳算法流程框圖

本文中以擬合方程式(4)作為目標函數，運用遺傳算法進行優化求解。設置迭代次數1 000，種群規模50，交叉概率0.4，變異概率0.2。圖13表示面比吸能的優化迭代過程。得到當γ1=γ2=1/3時，擬合方程式(4)有最大值73.6。

圖13 優化過程監控：適應度-面比吸能

由優化結果可知，如表5所示。面板和芯層均采用正向梯度化能提高結構吸能，且面板梯度化因子γ1、芯層梯度化因子γ2均為1/3時，夾層結構的面比吸能最大。因為此時迎爆面板不僅有整體變形還有大范圍的局部凹凸變形；芯桿整體失穩且芯桿小端扭曲嚴重，發生明顯的塑性變形。

表5 優化結果

將優化結果與常規點陣(即非梯度點陣)對比，發現在相同結構條件下，優化結果的ASEA為73.6 J·m2/kg，而有限元計算結果為74.8 J·m2/kg，這是因為響應面是通過曲面擬合的方式得到的，與實際值有一定偏差，本文預測的最優結果與計算值的誤差<2%，說明本文所擬合的響應面模型及優化結果是正確的。從表5可知，優化結構與常規點陣相比，吸能值提高了一倍，可見梯度結構有極大地吸能優勢。

4 結 論

本文提出了梯度化因子的概念，采用有限元仿真的方法探討了梯度化因子對功能梯度點陣夾層結構抗爆吸能的影響，并運用遺傳算法對梯度結構進行結構優化，可得到以下結論：

(1) 梯度化因子的改變會影響點陣夾層結構的變形模式。隨著梯度化因子的增加，結構的面比吸能減小，但面板梯度化因子γ1與芯層梯度化因子γ2相比，前者對結構吸能特性的影響更為顯著。

(2) 當γ1<1且γ2<1時，結構的吸能優于其他情況，說明同時考慮面板和芯子的正向梯度化能更好地提高結構吸能。

(3) 當γ1=1/3且γ2=1/3時，梯度結構與常規點陣相比，吸能值提高了一倍，說明梯度點陣具有極大的吸能優勢。