含環向表面裂紋充液圓柱殼的耦合振動特性分析

金超超， 朱 翔， 李天勻， 方 敏

(1. 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074； 2. 湖北省船舶與海洋工程水動力學重點實驗室，武漢 430074； 3. 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

充液圓柱殼結構被廣泛地應用于石油化工，船舶與海洋工程和土木建筑等工程領域，有大量文獻對充液圓柱殼的振動特性進行了研究。Zhang等[1-2]通過波傳播法研究了真空中和充液圓柱殼的自由振動特性，并與有限元和邊界元方法的結果進行了對比，驗證了其準確性。劉敬喜等[3]針對埋地管道研究了充液圓柱殼在彈性介質中的軸對稱自由振動特性，其研究表明圓柱殼外圍彈性介質會使得圓柱殼固有頻率提高。Iqbal等[4]采用波傳播法研究了多種邊界條件下功能梯度圓柱殼的耦合振動特性。Amabili[5]通過添加虛擬質量的方法處理流體和結構的耦合作用，并采用傳遞函數法研究了圓柱殼的自由振動。郭文杰等[6]基于能量泛函變分方法和鏡像原理，提出了有限浸沒深度下圓柱殼振動特性的解析方法。受惡劣工作環境的影響，圓柱殼結構中往往會產生裂紋等損傷，造成安全隱患。裂紋的存在改變了結構的動力學特性，可以根據動力學參數的改變進行裂紋診斷。國內外學者就裂紋結構的振動開展了廣泛的研究。由Rice等[7]首先提出的線彈模型已廣泛應用于具有表面或內部裂紋的板和殼體的振動分析。Nikpour[8]用線彈簧模型研究了環向裂紋對圓柱殼對稱振動的影響。彭凡等[9]基于鐵木辛柯梁理論，結合線彈簧模型研究了含裂紋簡支梁橫向振動特性，并給出了裂紋位置識別方法。Zhu等[10-11]結合線彈簧模型，研究了含裂紋有限大平板和無限長圓柱殼的振動功率流特性，并提出了基于功率流的裂紋損傷檢測方法。Yin等[12-13]針對含環向表面裂紋圓柱殼的振動特性提出了一種求解方法，其分析表明，短殼相比長殼對環向裂紋的存在更為敏感。羅志鋼等[14]通過局部加權殘量法將裂紋以虛擬邊界引入，融入到系統振動特征方程中，通過測試固有頻率識別懸臂梁裂紋深度。對于工程中應用十分廣泛的充液圓柱殼結構，從已經發表的文獻來看，目前尚無其含裂紋損傷情況下振動特性的解析研究。

本文針對含環向表面裂紋有限長充液圓柱殼的耦合振動特性提出了一種解析求解方法。根據Flügge[15]薄殼理論建立了充液圓柱殼的控制方程。利用線彈簧模型模擬環向表面裂紋。與文獻和有限元結果進行了對比，驗證了本文方法的準確性。討論了裂紋參數對耦合振動特性的影響。

1 數學模型

1.1 研究模型

圖1給出了含環向表面裂紋有限長充液圓柱殼的幾何模型及參數。殼體材料密度為ρ；楊氏模量E；泊松比為μ；殼體厚度為h；半徑為R；長度為L。所充液體的聲速為Cf；密度為ρf。殼體在柱坐標系下x，θ，r方向上的位移分別為u，v，w。裂紋與殼體端部距離為cL；裂紋深度為a。

圖1 含環向表面裂紋充液圓柱殼模型

1.2 控制方程

根據Flügge的理論，圓柱殼殼體微元的運動平衡方程可以表示為

(1)

式中：Pf為作用殼體表面上的流體聲載荷。矩陣[L]3×3的各個元素如下

理想流體在柱坐標系下的Helmholtz波動方程為

(2)

基于波傳播法，將殼體中面位移展開成為雙級數簡諧波形式為[16]

(3)

式中：ω為圓頻率；n為周向模態階數；kns為軸向波數；s為頻散方程中軸向波數解的序號;Uns，Vns，Wns分別為軸向、周向和徑向的位移幅值。

對于聲壓場，滿足Helmholtz波動方程的流體聲壓有如下形式的解

(4)

在流體與殼體的接觸面上，流體徑向速度必須等于殼體的徑向速度，即

(5)

將式(3)和式(4)代入式(5)中可以得到對每一組(n,s)流體的聲壓幅值：

(6)

將式(6)代入式(4)，并將式(4)和式(3)代入式(1)中，便得到充液圓柱殼耦合系統的運動方程，用矩陣形式表示為

(7)

矩陣[T]3×3的各個元素如下

T33=-(1+k)-k(λ2-n2)2+2kn2+Ω2+FL

要保證式(7)中Uns，Vns，Wns有非零解，矩陣[T]3×3的行列式為零

|T|=0

(8)

1.3 邊界條件和裂紋位置連續性條件

幾種典型的邊界條件：

自由端Nx=0,Mx=0,Sx=0,Txθ=0

簡支端v=0,w=0,Nx=0,Mx=0

固支端u=0,v=0,w=0, ?w/?x=0

其中：Nx軸向力；Mx為彎矩；Sx為有效徑向剪力；Txθ為有效周向剪力。

在x=cL處的部分穿透表面裂紋通過線彈簧模型來進行模擬。裂紋兩邊應滿足內力連續條件，并且考慮由裂紋引起的附加廣義位移

(9)

式中：下標l和r分別為裂紋位置的左右兩側。矩陣H4×4是由裂紋引起的局部柔度矩陣。H4×4中的每個元素如下

H21=H12;H31=H13;H32=H23;

H14=H24=H34=H41=H42=H43=0

式中：

F1=F4[0.752+1.287α+0.37(1-sinα)3]/cosα

F2=F4[0.923+0.199(1-sinα)4]/cosα

在平面應力狀態下E′=E，平面應變狀態下E′=E/(1-μ2)，k=1+μ

對于含環向表面裂紋有限長圓柱殼，需要同時考慮圓柱殼兩端各4個邊界條件，裂紋位置4個內力連續條件，以及裂紋引起的4個附加廣義位移，寫成關于徑向幅值系數W的表達式，可以描述為以下16×16的矩陣

(10)

式中：W1，W2，…，W8為裂紋左端圓柱殼振動的8個徑向位移幅值系數，W9，W10，…，W16為裂紋右端圓柱殼振動的8個徑向位移幅值系數。為了保證這16個徑向位移幅值系數有非零解，矩陣[G]16×16的行列式值應為零

|G|=0

(11)

2 計算方法

對于充液圓柱殼，由于式(7)中的流體載荷項中含有貝塞爾函數，系統的特征方程是復平面上的復數高階超越方程，不能直接通過常規的實數方程求解方法求解式(8)來得到對應某個頻率f的在復平面上的8個軸向波數。因此，這里采用一維優化迭代的方法。對于一個特定的頻率，先計算出真空中圓柱殼的8個軸向波數作為初值，然后逐步將流體載荷項FL加入到控制方程中。以控制方程的特征行列式值作為為目標變量，采用割線法可以快速迭代收斂得到充液情況下足夠精確的8個軸向波數。由于邊界條件和裂紋位置連續性條件方程應滿足式(11)的條件，為了高效地求解圓柱殼的固有頻率，同樣采用優化迭代的方法進行處理。計算方法的基本過程如下：

(1) 通過梁函數法計算對應邊界條件下的固有頻率初值；

(2) 設置流體載荷項為零，FL=0，由式(8)計算真空中的軸向波數k作為初值；

(3) 添加流體載荷，FL≠0，以行列式值|T|作為目標變量，通過迭代計算充液情況下的軸向波數k；

(5) 將軸向波數k和位移幅值比Φns，Ψns代入式(11)計算行列式值|G|；

(6) 以|G|作為目標變量，采用優化迭代算法計算滿足該邊界條件和裂紋位置連續性條件的耦合系統固有頻率。

需要注意的是，對于某一模態周向波數n，有多個固有頻率，分別對應不同階次模態軸向半波數m，而且流體載荷的加入會使得圓柱殼固有頻率有較大的變化，因此在整個迭代計算中，流體載荷項需要逐步添加上去以確保最后求得的固有頻率值收斂于所求模態階次(m，n)真實對應的結果。

3 方法驗證

本節對本文的理論模型和算法進行驗證。由于查閱文獻尚未見到有關含環向裂紋的充液圓柱殼振動分析，為此本文對模型進行退化來驗證方法的正確性。

首先，將裂紋深度a和流體密度ρf設置為0，模型退化為真空中完善圓柱殼，取圓柱殼幾何和材料參數，如表1所示。

表1 圓柱殼參數

兩端固支情況下本文方法和參考文獻以及有限元前十階固有頻率對比結果，如表2所示。由表2可知，本文方法與文獻和FEM方法的結果誤差非常小，<0.1%。

表2 真空中完善圓柱殼的固有頻率

然后用本文方法來驗證真空中含環向表面裂紋有限長圓柱殼的固有頻率結果，裂紋參數為a/h=0.6，c=0.3，圓柱殼其他的物理參數與以上模型相同，與文獻[13]的對比結果，如表3所示。

由表3結果可知，對于真空中裂紋圓柱殼模型，本文方法得到的固有頻率和文獻的十分接近，誤差在1%以內。需要注意的是，對于以上研究的殼長比較大，殼厚比較小的圓柱殼，由于前幾階模態對應于圓柱殼的整體振動，局部位置存在裂紋引起的整體剛度減小并不明顯，裂紋引起的固有頻率改變相對較小。

最后將裂紋深度設置為0，所充流體的密度和聲速分別為ρf=1 000 kg/m3，Cf=1 500 m/s，其他參數與前述相同，模型退化為充液完善圓柱殼，計算前8階固有頻率，并與文獻[2]進行對比結果，如表4所示。

表3 真空中裂紋圓柱殼的固有頻率

表4 充液完善圓柱殼的固有頻率

由表4可知，對于充液完善圓柱殼，本文方法得到的固有頻率與文獻[2]吻合較好，誤差大多<1%。比較表4和表2可知，流體載荷的引入會導致圓柱殼固有頻率明顯地減小。

由以上三個退化模型的對比驗證可以得出，本文方法處理裂紋圓柱殼和充液圓柱殼的振動均和文獻吻合較好，均有較高的精度，是一種精確有效的方法。

4 參數研究

由前述的研究可以看出，對于以上討論的圓柱殼模型，裂紋引起的圓柱殼固有頻率改變量相對較小，因此，以下討論一個殼長比相對較小，殼厚比相對較大的圓柱殼模型(仍滿足薄殼理論應用條件)。殼體的幾何和材料參數，如表5所示。

算例中流體密度ρf=1 000 kg/m3，流體聲速Cf=1 500 m/s，裂紋相對位置和相對深度分別為c=0.3，a/h=0.6。兩端固支和兩端簡支邊界條件下充液圓柱殼固有頻率結果，分別如表6和表7所示。對應(1,4)階模態沿軸向三個方向上的模態振型，分別如圖2和圖3所示。

表5 圓柱殼參數

表6 裂紋充液圓柱殼的固有頻率(兩端固支)

表7 裂紋充液圓柱殼的固有頻率(兩端簡支)

由以上結果可知，對于低階模態，兩端固支邊界條件下裂紋引起的固有頻率減小大約為4 Hz，整體上兩種邊界條件下都表現出固有頻率改變量隨模態階次提高而增大的趨勢。這是由于階次較高的模態表現出更加明顯的局部振動，局部位置存在的裂紋能引起更加明顯的振動特性改變。兩端固支邊界條件下裂紋引起模態振型的改變主要表現為裂紋位置殼體軸向位移上的突變，而兩端簡支邊界情況則主要表現為靠近裂紋端殼體軸向位移幅值的改變。

圖2 (1,4)階模態振型(兩端固支)

圖3 (1,4)階模態振型(兩端簡支)

進一步研究裂紋深度和裂紋位置改變對充液圓柱殼固有頻率的影響。對于(1,4)階模態，不同裂紋深度下兩端固支和兩端簡支固有頻率結果，分別如圖4和圖5所示，裂紋相對位置改變的影響，如圖6和圖7所示。

圖4 裂紋深度改變對(1,4)階固有頻率的影響(兩端固支)

Fig.4 Natural frequencies of the (1,4) mode for different depths of the crack (C-C)

由以上結果可知，隨著裂紋深度的增加，充液圓柱殼的固有頻率逐漸減小。這是由于裂紋深度增大導致了圓柱殼整體柔度的增加。由圖6和圖7結果可知，當裂紋的位置更加接近圓柱殼的支撐端時，固有頻率減小更加明顯。這是由于對于該階模態，在上述位置殼體中的內力整體較大，裂紋引起的附加廣義位移更加明顯，即裂紋靠近支撐邊界時，裂紋對充液圓柱殼的低階固有頻率影響更顯著。

圖5 裂紋深度改變對(1,4)階固有頻率的影響(兩端簡支)

Fig.5 Natural frequencies of the (1,4) mode for different depths of the crack (SS-SS)

圖6 裂紋位置改變對(1,4)階固有頻率的影響(兩端固支)

Fig.6 Natural frequencies of the (1,4) mode for different locations of the crack (C-C)

圖7 裂紋位置改變對(1,4)階固有頻率的影響(兩端簡支)

Fig.7 Natural frequencies of the (1,4) mode for different locations of the crack (SS-SS)

5 結 論

本文提出了含環向表面裂紋有限長充液圓柱殼固有頻率的理論計算方法。建立了耦合系統的控制方程，通過線彈簧模型來模擬環向裂紋損傷。將本文方法結果與參考文獻以及有限元的結果進行對比，驗證了本文方法的準確性。通過改變裂紋參數，討論發現裂紋深度的增加會導致圓柱殼固有頻率進一步降低，并且對于兩端固支和兩端簡支邊界條件，當裂紋靠近支撐端時，含有裂紋充液圓柱殼固有頻率的改變會更敏感。