考慮耦合效應的高溫高壓氣井井筒溫壓分布預測分析

石小磊 高德利 王宴濱

中國石油大學石油工程教育部重點實驗室

隨著油氣勘探進程的不斷發展，勘探工作重點逐漸轉向西部及其他新探區，并對一些深層油氣藏進行了鉆探，而這類探井一般都屬于深井或超深井。超深井具有高溫高壓以及鉆遇地層復雜等特點，井身結構設計也較為復雜，給完井和測試作業帶來很大挑戰。因此清晰地了解井筒內溫度、壓力的分布，不僅可以為篩選合適性能的油管柱以及封隔器提供參考資料，而且對油氣井日常生產管理和動態設計分析極其重要。在地層測試過程中，取得井筒壓力、溫度分布的方法有：（1）在井筒中布置一定數量的壓力計和溫度計；（2）僅實測井底或井口壓力、溫度，采用理論分析方法預測整個井筒的壓力、溫度分布［1］。就目前技術水平而言，由于高溫高壓井對測試設備及配套部件要求比較嚴格，因此使用溫度計和壓力計幾乎很難對井筒溫度、壓力準確測量，故理論分析方法是預測井筒溫度和壓力的首選方法。

20世紀50年代，Cullender和 Smith［2］利用平均溫度和偏差系數得到了穩定流動狀態下管柱井底壓力分布模型；Kirkpatrick［3］提出了自噴井井筒溫度分布模型，并繪制了便于查詢的溫度梯度圖版，利用該圖版可快速查詢注入口處的溫度。Ramey［4］將單相不可壓縮液體或單相理想氣體的溫度看作井深的函數，充分考慮了傳熱和導熱，得到了井筒溫度分布模型。Hasan和Kabir［5］提供了準確性較高的井筒溫度分布的半解析解模型，極大地推動了井筒傳熱理論的發展。直到1994年，國內學者王彌康［6］利用稠油油藏熱采工藝將傳熱分為井筒內穩態傳熱和地層內非穩態傳熱，并求解出了相應的數學模型。楊蔚、黃煒［7］將氣體平均溫度假定為常數，用視對比壓力替換真實壓力，推導出了一種新的關系式并給出解析解，可在計算機上編程實現，但該方法計算精度不高。毛偉和梁政［8］提出了直井井筒溫度壓力的耦合模型，但未考慮摩擦力對井筒溫度的影響。郭春秋［9］針對高溫高壓氣井提出了預測溫度、壓力、流速和密度的數值模型，可較為精確地對井筒溫度、壓力進行預測。

根據調研可知，前人對井筒溫度壓力分布研究基本上只考慮了單相流體的穩定流動，將溫度或壓力模型獨立求解。筆者在綜合前人研究成果的基礎上，從動量守恒和能量守恒方程出發，考慮多相流體流動的影響，導出了描述流體穩定流動時的溫度、壓力耦合模型，通過四階龍格-庫塔方法進行數值求解，并利用四川某氣田X井進行實例驗證，結果表明該模型具有較高的精度，能滿足工程要求。

1 模型的建立

溫壓耦合模型假設條件如下：

（1）流體在井筒中作穩定流動，同一截面上流體物性參數相同；

（2）井筒內到水泥環外界面為穩定傳熱，水泥環外界面到外部地層為非穩定傳熱；

（3）井筒和地層的傳熱只發生在徑向上，可以將沿井深方向的熱損失忽略；

（4）井筒周圍地層溫度均勻對稱分布，并且服從線性變化規律。

取井底作為坐標原點，以油管軸線向上為正方向。在油管上取長為dx的微元體，θ為油管與水平方向的夾角，建立圖1所示的坐標系。

圖1 井筒微元體能量守恒示意圖Fig. 1 Schematic conservation of energy of borehole microelement

動量守恒方程

能量守恒方程

式中，ρ為流體密度，kg/m3；v為流體流速，m/s；x為井深，m；p為壓力，Pa；g為重力加速度，m/s2；θ為井斜角，°；f為摩阻系數，無量綱；d為油管內徑，m；W為流體質量流量，kg/s；H為比焓，J/kg；Q為單位長度控制體單位時間內的熱損失，J/（m·s）。

根據前人對比焓梯度［10］和熱損失［11］的研究，這里引用方程式

式中，Cp為流體比定壓熱容，J/（kg·℃）；CJ為流體焦耳-湯姆遜系數，℃/Pa；rto為油管外徑，m；Uto為總傳熱系數，J/（s·m2·℃）；Tf為井筒流體溫度，℃；Te為地層溫度，℃；f（t）為無因次時間函數；ke為地層導熱系數，J/（s·m·℃）。

假設離井筒中心無窮遠處的地層溫度是井深的線性函數，設地溫梯度為gT，井底處的地層溫度是Tebh，則任意深度處的地層溫度為

由式（1）、式（2）、式（3）和式（4）可得到壓力、溫度梯度的耦合數學模型

2 模型參數的確定

在進行溫度和壓力場求解時，需要針對其主要熱物性參數進行深入分析，由于熱物性參數在計算時十分復雜，本文結合前人的研究列出了其中4個最重要的熱物性參數的計算公式。

2.1 無因次時間函數

由于無因次時間函數的求解過程非常復雜，并且浪費時間，一般采用Ramey所推導的近似公式［4］

式中，tn為無因次時間，無量綱；t為生產時間，s；αt為地層熱擴散系數，m2/s；rh為井眼半徑，m。

2.2 比定壓熱容Cp和焦耳-湯姆遜系數CJ

在開采過程中測試管柱內可能會存在氣液兩相同時流動的狀況。區別于單相流的處理方法，考慮其自身的流動復雜性，井筒內流體的混合比熱容可以表示為［12］

井筒內流體的混合焦耳-湯姆遜系數可以表示為

式中，Cpg為氣相比定壓熱容，J/（kg·℃）；Cpl為液相比定壓熱容，J/（kg·℃）；Wg為氣相質量流量，kg/s；W1為液相質量流量，kg/s；CJg為氣相焦耳-湯姆遜系數，℃/Pa；CJ1為液相焦耳-湯姆遜系數，℃/Pa。

計算氣相焦耳-湯姆遜系數CJg和液相焦耳-湯姆遜系數CJ1的方法見參考文獻［13］。

2.3 總傳熱系數

總傳熱系數Uto是式（4）計算的關鍵，由于井筒內流體和管壁之間的傳熱系數非常大，可以忽略不計。油管和套管的導熱系數遠大于水泥環和地層的導熱系數，油管和套管造成的溫度損失也是可以忽略的，所以可以采用工程上常用的簡化方程式［5］

式中，rco為套管外徑，m；hc為環空流體對流傳熱系數，J/（s·m2·℃）；hr為環空流體輻射傳熱系數，J/（s·m2·℃）；kcem為水泥環導熱系數，J/（s·m·℃）。

3 模型求解

式（6）為壓力和溫度的梯度方程組，已知井底x0截面處的流體溫度T0和壓力p0構成此方程組的初始條件，若欲求其兩個未知量溫度T和壓力p，相應的梯度方程的右函數記為Fi（i=1，2），則方程組（6）可表示為

將起點位置的初始值（x0，T0，p0）和新定義的函數Fi重新聯立方程組，對于這類常微分方程組的初值問題可利用計算精度較高的四階龍格-庫塔法進行數值求解，取步長為h，節點x1=x0+h的函數值T1和p1可表示為

其中

若x1未達到預計深度，再將新的節點和上一個節點的計算值（x1，p1，T1）作為下步計算的初始值重復上述步驟，如此連續遞推運算直到預計深度。井筒溫度場壓力場耦合計算流程如圖2所示。

圖2 井筒溫度場壓力場計算流程圖Fig. 2 Calculation flowchart of borehole temperature and pressure fields

4 算例分析

四川某氣田X井，完鉆井深4 500 m，地溫梯度0.019 ℃/m，井底地層溫度123.4 ℃，井底壓力為57.3 MPa，環空對流傳熱系數1.96 J/（s·m2·℃），環空輻射傳熱系數34.28 J/（s·m2·℃），水泥環導熱系數0.62 J/（s·m·℃），地層導熱系數2.122 J/（s·m·℃），地層熱擴散系數1.21×10-6m2/s，產氣量50×104m3/d，產水量為 5 m3/d，油密度 800 kg/m3，水密度 1 039 kg/m3，天然氣相對密度0.68，氣體比熱容為3 000 J/（kg·℃），水比熱容為4 221 J/（kg·℃）。油管外徑為88.9 mm，油管內徑為76 mm，套管外徑為177.8 mm，井眼直徑為215.9 mm。

根據X井基礎數據，應用耦合模型對井筒溫度壓力在不同產量、不同氣體相對密度、不同生產時間條件下的分布進行了敏感性分析，并對比分析了預測結果與線性模型的差異。

由圖3和圖4可見，其他參數恒定時，產量增大使流體受到更大的摩擦阻力，克服阻力需要做更多的功，從而使井筒中的壓力減少；而溫度沿井深呈非線性變化，同時產量增大，沿井筒分布的溫度剖面也呈增大趨勢［14］，這是由于產量增加，流速變大，流體與周圍環境進行的熱交換損失變小導致。

圖3 產量與井筒壓力分布剖面圖Fig. 3 Production rate and borehole pressure distribution section

圖4 產量與井筒溫度分布剖面圖Fig. 4 Production rate and borehole temperature distribution section

由圖5和圖6可見，井筒壓力分布與氣體相對密度成反比關系，即隨著氣體相對密度的增大壓力大幅度減小，這是由于氣體相對密度增大，壓降梯度變化越明顯，壓力損失增加導致；而當氣體產量和生產時間等參數恒定時，氣體密度越高，井筒溫度越高，這主要是由于氣體密度增大，井筒內流體的熱流當量隨即也增大，熱損失減少，因此溫度剖面向水平軸正方向偏移。

圖5 氣體相對密度與井筒壓力分布剖面圖Fig. 5 Relative gas density and borehole pressure distribution section

圖6 氣體相對密度與井筒溫度分布剖面圖Fig. 6 Relative gas density and borehole temperature distribution section

由圖7和圖8可見，隨著時間的延長，在井底壓力不變化的情況下，考慮耦合效應的模型預測的壓力變化不大；而溫度相對升高，這是由于時間變化關系到無因次時間函數的大小，最終影響到井筒溫度的分布。

圖7 生產時間與井筒壓力分布剖面圖Fig. 7 Production time and borehole pressure distribution section

由圖9和圖10可見，在所有計算參數相同的情況下，耦合模型下井筒內的壓力和線性模型的壓力幾乎相同；而溫度呈現出不同的變化趨勢，耦合模型的溫度梯度先小后大，這進一步證實了井筒溫度并非沿井深一階線性變化，如果純粹的視井筒溫度按線性變化的話，在油氣井動態預測時，若井筒內流體熱物性參數與溫度關系密切，則有可能造成一定的誤差，并且隨著產量的增加，流速變大，井筒內流體熱交換損失減小，誤差也會相應的增大。

圖8 生產時間與井筒溫度分布剖面圖Fig. 8 Production time and borehole temperature distribution section

圖9 耦合模型與線性模型壓力分布對比圖Fig. 9 Pressure distribution comparison between coupling model and linear model

圖10 耦合模型與線性模型溫度分布對比圖Fig. 10 Temperature distribution comparison between coupling model and linear model

5 結論與建議

（1）依據動量、能量守恒定律和流體力學基本原理，建立了考慮耦合效應的高溫高壓氣井測試溫壓分布定量分析模型，利用四階龍格-庫塔方法得到的運算結果可較為準確地預測井筒中的溫度和壓力分布。

（2）敏感性分析結果表明：隨著產量的增加，井筒內流體的摩阻增大，流速增大，井筒內壓力下降，溫度升高；隨著氣體相對密度的增大，壓力梯度增大，熱損失減少，井筒內壓力下降，溫度升高；隨著生產時間的增加，由于無因次函數與時間變化有關，井筒內壓力保持不變，溫度升高。該模型的分析結果可為測試管柱的下入及井下開采提供理論依據。

（3）通過對比分析可知，井筒流體流動的溫度沿井深呈非線性分布，如果在求解過程中將其考慮按線性規律分布，將會使計算結果與實際情況有較大出入，因此在實際生產過程中，需考慮影響井筒溫度分布的因素以及溫度和壓力之間的相互影響。