三維灰色絕對關聯度的改進模型

劉小妹，柯 林，于俊杰

（九江學院 理學院，江西九江 332005）

0 引言

灰色系統理論自1982年鄧聚龍創立以來，已廣泛應用于社會的各個領域,灰色關聯分析是灰色系統理論研究的出發點，是灰色預測、聚類與決策的基礎，其基本思想是根據序列曲線幾何形狀來判斷不同序列之間的聯系是否緊密，從而通過比較分析來度量系統多因素之間的關聯程度，并對其進行關聯排序[1]。

灰色關聯分析是灰色系統理論中十分活躍的一個分支，自鄧聚龍提出灰色關聯分析理論以來，很多學者研究并構造了大量的灰色關聯度模型[2-4]。然而現實中系統的行為較為復雜，多種特征相互依存，難以分割，形成多元序列形態。隨著數據采集、存儲和分析工具的不斷完善和發展，以矩陣為表現形式的多維系統特征數據不斷涌現[5-8]。目前基于行為矩陣的幾何描述方法將灰色關聯分析推廣到三維空間的模型并不多見[9,10]，具體有三維鄧氏關聯模型、三維絕對關聯模型和體積關聯模型。本文針對劉思峰（1991）的三維絕對關聯度模型在某些方面的不足，提出一些改進。

1 預備知識

為便于進行關聯度性能比較與分析，下面引用部分已有的三維灰色關聯度模型。

定義1[1]：設系統行為矩陣為：

X對應的行為曲面為：

Z={Ax+By+C|x∈[i，i+1]，y∈[j，j+1]，i=1，2，…，m-1;j=1，2，…，n-1}，其中：

定義2[1]：設系統行為矩陣為X=(aij)m×n，D為矩陣算子 XD=(aijd)m×n，其中aijd=aij-ai1，則 D稱為行為矩陣的始邊零化算子，XD稱為 X的始邊零化像，且記

定義3[1]：設為系統中參考因素的行為矩陣，為系統中 L 個待比較特征因素的行為矩陣，其中：

定 義 4[1]：設 兩 個 系 統 行 為 矩 陣為同型矩陣，其始邊零化像為，則：

定義 5[9]：設行為矩陣 X=(ai，j)m×n的始邊零化像為，記則 稱為行為矩陣的局部體積矩陣。

定義 6[9]：設為系統中參考因素的行為矩陣，，k=1，2，…，L 為系統中 L 個待比較特征因素的行為矩陣，局部體積矩陣分別為：

2 新的三維灰色絕對關聯度模型及其性質

改進的三維灰色絕對關聯度模型的基本思想是：依據行為矩陣之間變化的絕對體積差異來構造一種新的矩陣絕對關聯度模型。具體建模如下：

其中三元函數 f(x，y，z)的構造見本定理的證明過程。

證明：這里詳細證明ΔSp，由于dxdy

Zp={Ax+By+C|x∈[i，i+1]，y∈[j，j+1]，i=1，2，…，m-1;j=1，2，…，n-1}，其中：

當i+j≤x+y≤i+j+1時，

當i+j+1≤x+y≤i+j+2時，

于是：

這里：

則有：

而

這樣就將所有的積分都可以轉化為(0，1)區間的積分，大大簡化了計算過程。

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標面的上面，也位于xoy坐標面的下面，行為曲面的邊界既與x軸上的(0，1)區間相交，也與y軸上的(0，1)區間相交，計算過程如下：

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標面的上面，也位于xoy坐標面的下面，行為曲面的邊界僅僅與y軸上的(0，1)區間相交，不與x軸上的(0，1)區間相交，計算過程如下：

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標面的上面，也位于xoy坐標面的下面，行為曲面的邊界僅僅與x軸上的(0，1)區間相交，不與y軸上的(0，1)區間相交，計算過程如下：

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標面的上面，也位于xoy坐標面的下面，行為曲面的邊界僅僅與y軸上的(0，1)區間相交，不與x軸上的(0，1)區間相交，計算過程及結果同情形（3）。

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標面的上面，也位于xoy坐標面的下面，行為曲面的邊界僅僅與x軸上的(0，1)區間相交，不與y軸上的(0，1)區間相交，計算過程及結果同情形（4）。

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標面的上面，也位于xoy坐標面的下面，行為曲面的邊界與x軸上的(0，1)區間和y軸上的(0，1)區間均不相交，而與xoy坐標面內的斜邊x+y=1相交，計算過程及結果同情形（3）或者情形（4）。

于是，引入三元函數f(x，y，z)如下：

那么有：

類似可證明 ΔSq，Δ(Sp，Sq)。

（1）（規范性，平移不變性）0＜εpq≤1 ；εpq=1?Xp=Xq+c

證明 ：從定 義出發，εpq=1?Δ(Sp，Sq)=0 ，由 于得到：

即ai，j-ai，1=bi，j-bi，1,ai，j=bi，j+ai，1-bi，1Xp=Xq+c,c=ai，1-bi，1,證畢。

另一方面，由定理1立即得到下列性質：

（2）εpq=εqp

（3）εpq關于Sp單調遞增，關于Sq單調遞增，關于Δ(Sp，Sq)單調遞減。

（4）εpq∈(0.5，1]

3 關聯度性能比較

下面通過具體的矩陣數據將現有的一些三維灰色關聯度模型和本文提出的三維灰色絕對關聯度模型進行性能比較。

設矩陣數據序列如下：

由matlab程序設計計算得到表1：

表1 模型對比結果

從矩陣數據序列看到，X1、X2與X0之間的幾何發展趨勢并非完全相同，但是原三維絕對關聯度值ε01和ε02都等于1，體積關聯度值ε02也等于1，這與實際情況不符，出現錯誤的原因是原三維絕對關聯度模型和體積關聯度模型都出現了正負抵消的情況，原三維絕對關聯度模型不僅在局部上會抵消，在整體上也會出現抵消；而體積關聯度模型雖然避免了整體上的抵消情況，但在局部上的抵消情形并未考慮進去。本文的關聯度模型則不會出現任何正負抵消的情況，較為真實地反映了矩陣序列之間的關聯程度。

4 實例分析

Robot Execution Failure（REF）數據是小規模多元時間序列挖掘中常用的測試數據集，它是采用六個傳感器對產生故障的Robot進行15次連續采樣得到的狀態數據矩陣，該數據分為五個子數據集，每個子數據集包含Robot在不同狀態下的若干個數據矩陣。為進行數據矩陣之間的關聯性分析，從http://kdd.ics.uci.edu/databases/robotfailure/robotfailure.html中選取數據集作為測試對象。現以第一個子數據集LP1為選取對象，LP1中含88個6×15階矩陣，分別由21個normal狀態、17個collision狀態、17個fr-collision狀態和33個obstruction狀態組成。為體現三維絕對關聯度模型的準確性，在選取數據時有針對性地選取，正常狀態中選取數據波動明顯的行為矩陣，而碰撞狀態、前端碰撞狀態和阻擋狀態中則選擇數據相對平穩的行為矩陣。記X0、X1、X2、X3為正常狀態對應的數據矩陣，X4為碰撞狀態對應的數據矩陣，X5為前端碰撞狀態對應的數據矩陣，X6為阻擋狀態對應的數據矩陣。且設X0為系統特征行為矩陣，X1、X2、X3、X4、X5、X6為相關因素行為矩陣，現分別計算X1、X2、X3、X4、X5、X6與X0之間的三維灰色絕對關聯度值。X0、X1、X2、X3、X4、X5、X6的數據矩陣如下：

由matlab程序設計計算得到表2：

表2 三維絕對關聯度對比結果

事實上，正常狀態與正常狀態之間的關聯程度一定要強于正常狀態與異常狀態之間的關聯程度，即X1、X2、X3與X0之間的三維絕對關聯度值一定要大于X4、X5、X6與X0之間的三維絕對關聯度值，所以本文的三維絕對關聯度模型分析結果與樣本對應的狀態相吻合，較好地區分了正常狀態與異常狀態。而原三維絕對關聯度模型的分析結果則出現了錯誤，X6為阻擋狀態對應的數據矩陣，X0、X3為正常狀態對應的數據矩陣，但是ε06卻大于ε03，錯誤原因也是原三維絕對關聯度模型在計算過程中出現了正負抵消的情況。

5 結束語

本文根據劉思峰在1991年提出的三維灰色絕對關聯度模型，提出了新的三維灰色絕對關聯度模型，詳細地研究了新模型的算法和性質。本文既保持了劉思峰提出的三維灰色絕對關聯度模型的優點，又修正了原模型在處理一類（震蕩）矩陣數據時出現與實際不相符的錯誤情形。最后，通過分析Robot Execution Failure(REF)部分數據矩陣之間的關聯關系，說明本文的三維灰色絕對關聯度模型能較好地應用于現實影響因素方面的三維關聯分析，并且易于在計算機上操作。