多余觀測數對方差分量估計結果的影響分析

何思源

(中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西西安 710043)

理論上來說，利用各種方差分量估計算法推算觀測值的方差都只能是近似的逼近，多余觀測數越少，所得到的近似逼近效果就越差。當多余觀測數過少時，就會出現方差或協方差為負的情況。因此，足夠的多余觀測是確保估值可靠性的前提。姚一斌[11]等總結出測量平差問題中不同觀測條件、不同圖形條件下必要觀測值數量確定的通用公式，但是沒有給出方差分量估計意義下多余觀測數對精度的影響；汪曉慶[10]討論了方差分量估計中必要多余觀測數與精度指標的關系，指出當方差分量估值的中誤差小于方差分量自身數值的1/2時精度較好，必要多余觀測數考慮取20，并通過實驗進行了驗證，但是對參數小于2時未做研究；在方差分量估計的實際應用中，受各種環境條件的限制，采集到的數據量是有限的。同時，過多的多余觀測會增加一定的工作量，影響工作效率。因此，制定評判多余觀測數的標準十分重要。

既然多余觀測數決定著方差分量估計結果的可靠性，那么多余觀測數為多少時才適合采用方差分量估計，還沒有明確的統一標準。首先引入多余觀測數對方差分量估計結果影響的評定參數，通過實驗，統計這一參數隨著多余觀測數的減少所呈現出的變化趨勢，得出相應的結論。

1 方差分量估計中的精度評定

在所有的以最小二乘為估計準則的平差問題中，不論采用何種平差方法，單位權方差的估值公式均可以表示為

(1)

式中，VTPV為觀測值殘差向量關于權陣P的二次型。df為自由度，也就是多余觀測數。根據廣義傳播定律，并顧及E(V)=0和式(1)，可得單位權中誤差估值的方差為

(2)

這里略去式(2)右邊求跡部分的推導過程，直接給出的方差

(3)

這說明，多余觀測數越多，單位權方差的估值就越可靠。

對方差分量估值的精度，需要給出明確的評定標準。下面僅以Helmert型方差分量估計為研究對象，介紹其精度評定公式的推導過程。對于只含有兩類相互獨立觀測值的間接平差，其Helmert方差分量估計的模型為

(4)

其中：

a=n1-2tr(N-1N1)+tr(N-1N1)2

b=tr(N-1N1N-1N2)

c=n2-2tr(N-1N2)+tr(N-1N2)2

(5)

(6)

設

(7)

(8)

2 評定參數

為了能夠準確地描述多余觀測數對方差分量估計結果的影響，定義評定參數為

(9)

式中

(10)

(11)

方差分量估計公式(4)中系數矩陣S的所有元素之和為

S11+S12+S21+S22=

n1-2tr(N-1N1)+tr(N-1N1)2+

2tr(N-1N1N-1N2)+n2-2tr(N-1N2)+tr(N-1N2)2=

n1+n2-2tr(N-1(N1+N2))+

tr(N-1N1N-1(N1+N2))+tr(N-1(N1+N2)N-1N2)=

n-2tr(N-1N)+tr(N-1N1)+tr(N-1N1)=

(12)

r為多余觀測數，又因為

故評定參數與多余觀測數有關。

3 實驗實例

3.1 實驗描述

模擬一個邊角網的觀測數據，分別對比在不同多余觀測數下，方差分量計算結果的精度以及計算效率。

如圖1所示，設計一個邊角網，給定P1，P2，P3，P4縱橫坐標的真值，如表1所示。由坐標真值反算出任意兩點間的精確距離，以四個控制點中的任意點為測站點，反算出三個方位角的精確值，其值如表2所示。于是得到一個多余觀測最多(共6個距離，12個方位角)的大地四邊形控制網數據。

圖1 模擬邊角網[14]

點名坐標/mXYP1100100P2100200P3200195P419397

已知P1點的橫縱坐標以及P2點的橫坐標，P2點的縱坐標以及P3、P4點的橫縱坐標待估。假設距離和方位角觀測值的方差未知，數據的處理采用Matlab R2010b，模擬1000次觀測數據，每次給距離和方位角的精確值加入期望為0、標準差分別為2″和10 mm的正態分布隨機噪聲。通過每一次模擬出的觀測值，利用極坐標法求出P4、P3點的縱坐標和橫坐標以及P2點橫坐標的近似值，然后按間接平差的方法列出誤差方程，進行平差計算(接下來用到的所有分析數據都由本實驗提供)。

表2 模擬數據距離和方位角

3.2 實驗結果分析

采用模擬邊角網實驗數據，每次給方位角和距離觀測值分別加入期望值為0、標準差為2″和10 mm的正態分布隨機噪聲。該邊角控制網中必要觀測數為5。

圖2～圖6顯示，多余觀測數越少k越大，中誤差估值精度越低。 圖2和圖3分別為方向、距離k值與多余觀測數之間1 000次試驗的結果。從圖2可以發現，多余觀測數為5時(即必要多余觀測數)方向k值較大，均值為1.314，且在1 000次實驗中波動很大；當多余觀測數為8時，k值明顯減小，均值約為0.7，且在1 000次實驗中較為穩定，該結果與多余觀測數為9時十分接近；隨著多余觀測數增加，k趨于穩定，當多余觀測數為13時，k值均值約為0.5。從圖2、圖3可以發現，距離k值呈現明顯的聚類現象，即多余觀測數為5、8為一類；多余觀測數為9、10、11為一類；多余觀測數為12、13為一類，對應的k值分別為0.75、0.64、0.58。當多余觀測數為第一類時，k值波動較大；當多余觀測數為第二類時，k值顯著減小且趨于穩定；當多余觀測數為第三類時，k值為0.58，且波動很小。

圖2 方位角觀測值的方差估值的評定參數的統計結果

圖3 距離觀測值的方差估值的評定參數的統計結果

圖4 多余觀測數為13時方差分量估值的統計結果

圖5 多余觀測數為9時方差分量估值的統計結果

圖6 多余觀測數為5時方差分量估值的統計結果

從圖4～圖8可得，當多余觀測數為5時，估值精度較低，當多余觀測數為9時，估值精度得到了顯著提高，并且與多余觀測數為13時的結果十分接近。

為了進一步分析多余觀測數與k值的關系，通過計算得到k值均值以及k值相對減小的百分比，如圖8及表3所示。由圖8可知，多余觀測數對方向k值影響較大，當多余觀測數為5時，k均值為1.314，當多余觀測數為8時，k均值為0.706，k均值相對減小了46.3%，當多余觀測數大于10時，k值幾乎不變；從圖8來看，多余觀測數對距離k值影響相對較小。從表3可以看到，多余觀測數為9時比多余觀測數為8減小了11.2%，多余觀測數為12時比多余觀測數為11減小了8.9%。

圖7 多余觀測數為13和9時中誤差估值的散點圖

圖8 多余觀測數為13和5時中誤差估值的散點圖

圖9 K值均值與多余觀測數關系

文獻[10]指出，方差分量估值的中誤差小于方差分量自身數值的1/2時，估值結果精度較好，此時多余觀測數為20；考慮成本、效率等各種因素，這樣的要求很難達到。圖3顯示，距離k具有明顯的分類現象，當多余觀測數為9時，方向k值為0.707、距離k值為0.644，并且其估值精度相對于5時得到了顯著地提高；當多余觀測數為13時，方向、距離k值為0.534，0.585，但是從圖4、圖5、圖7來看，其精度提高不顯著。通過函數擬合，得到k均值與多余觀測數的函數關系，如圖9所示?？梢园l現，當多余觀測數為9時，函數在此處斜率最大，即k值顯著減小，隨著多余觀測數增加，曲線趨平；通過圖7、圖8可以發現，多余觀測數為9時中誤差估值散點圖與13時幾乎一致，相對于多余觀測數為5時精度得到顯著提升；綜合考慮精度、效率等因素，認為在本算例中多余觀測數取9，即k取0.7為宜。

表3 多余觀測數與k 值關系

可以得到以下結論：

(1)多余觀測數從13減少到5時，方差分量估計結果在一次解算中具有隨機性，方位角和距離中誤差的估值與模擬精度一致；多余觀測數越少，估計結果就越離散。

(2)多余觀測數從13減少到5時，方位角觀測值方差估值的評定參數由0.54附近變化到1.41附近，距離觀測值方差估值的評定參數由0.58附近變化到1.40，即隨著多余觀測數的減少，k值逐漸增大。

(3)在不同等級控制網的數據平差處理中，可以選取一個合適的評定參數k作為衡量多余觀測數對方差分量估值影響的評判依據。在本算例中k的合適取值為0.7。

4 結束語

多余觀測數對方差分量估計的精度具有十分重要的影響。方差分量估值的精度隨著多余觀測數的減少而變差，當多余觀測數過少時，所得方差分量的估值會出現負值；在平差處理中，如果要使用方差分量估計定權，為了保證結果的可靠性，必須具有足夠的多余觀測。