一種平面正則C-Bézier曲線的廣義偏距曲線構(gòu)造方法

譚 振，李軍成

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一種平面正則C-Bézier曲線的廣義偏距曲線構(gòu)造方法

譚 振1，李軍成2*

（1. 湖南省農(nóng)村信用社聯(lián)合社，湖南 長沙 410079；2. 湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，湖南 婁底 417000）

給出了一種平面正則C-Bézier曲線的廣義偏距曲線構(gòu)造方法。該法首先依據(jù)C-Bézier曲線的de Casteljau算法求出C-Bézier曲線各點處的單位切矢，然后即可自然生成其廣義偏距曲線。數(shù)值實例表明，該法計算簡單，且效果較好。

等距曲線；廣義偏距曲線；C-Bézier曲線

0 引言

等距曲線在工業(yè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如數(shù)控機床加工過程，機器人行走路線等與CAD/CAM相關(guān)的領(lǐng)域[1]。關(guān)于Bézier曲線的等距曲線，已有文獻對此進行了研究。例如，文獻[2]給出了用三次PH曲線構(gòu)造平面Bézier曲線的等距線算法；文獻[3]研究了圓域Bézier曲線的等距曲線；文獻[4-7]從不同角度研究了Bézier曲線的等距曲線的有理逼近方法；文獻[8]討論了Bézier曲線的等距曲線的同次多項式逼近方法。

然而，在工程應(yīng)用中由于實際問題的需要，必需擴展等距曲線的定義，如文獻[9]利用曲線上各點的切向量和法向量所形成的局部坐標(biāo)系來確定等距方向，給出了一種廣義偏距曲線的定義；文獻[10]利用de Casteljau算法構(gòu)造了平面正則Bézier曲線的廣義偏距曲線。作為一種非多項式曲線造型方法，C-Bézier曲線[11]不但具有Bézier曲線的許多優(yōu)點，而且能夠方便、簡潔、精確的構(gòu)造二次曲線，在幾何造型中獲得了廣泛的應(yīng)用，因此構(gòu)造C-Bézier曲線的廣義偏距曲線也具有重要的應(yīng)用價值。為此，本文給出了一種平面正則C-Bézier曲線廣義偏距曲線的構(gòu)造方法。該法首先給出了C-Bézier曲線的de Casteljau算法，并依此算法求得C-Bézier曲線上各點處的單位切矢，從而構(gòu)造出平面正則C-Bézier曲線的廣義偏距曲線，而其等距曲線則是廣義偏距曲線的一種特殊情形。

1 C-Bézier曲線簡介

C-Bézier曲線[11]的矩陣表達式可寫為

2 平面正則C-Bézier曲線的廣義偏距曲線

2.1 C-Bézier曲線的de Casteljau算法

式中上標(biāo)1表示第一次分割。第一次分割后，得到3個分割點，由其組成一個新的控制多邊形，用相同的方法再對該多邊形進行分割，可得到2個分割點為

上述分割過程可用C-Bézier曲線的de Casteljau算法表示如下

2.2 廣義偏距曲線的構(gòu)造

圖1 廣義偏距曲線的定義

Fig.1 Definition of the generalized offset curve

將式（5）代入式（3）有

將式（7）代入式（6）即可得證。證畢。

由上述定理可知，構(gòu)造平面正則C-Bézier曲線的廣義偏距曲線的算法步驟如下：

3 數(shù)值實例

圖2 C-Bézier曲線的廣義偏距曲線

4 結(jié)語

本文主要討論了平面正則C-Bézier曲線的廣義偏距曲線的構(gòu)造方法，該法主要依據(jù)de Casteljau算法求得C-Bézier曲線上各點處的單位切矢，然后根據(jù)定義就可自然構(gòu)造出廣義偏距曲線。最后，通過實例表明，利用該法構(gòu)造C-Bézier曲線的等距曲線和廣義偏距曲線時，其幾何意義明顯、計算簡單，且效果較好，方便實際應(yīng)用。

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A generalized Offset Curve Construction Method for Planar Regular C-Bézier Curve

TAN Zhen1, LI Jun-cheng2*

(1. Hunan Rural Credit Union Association, Changsha 410079, China; 2. College of Mathematics and finance, Hunan University of Humanities, Science and Technology, Loudi 417000, China)

A method for constructing the general offset curve of planer regular is presented. The unit derivatives of C-Bézier curve are computed by the de Casteljau arithmetic, then the general offset curve could be constructed naturally, which enriches the theories of C-Bézier curve. Some numerical examples show that the arithmetic is simple and effective.

Offset curve; General offset curve; C-Bézier curve

TP391

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2018.11.002

湖南省自然科學(xué)基金資助項目(2017JJ3124)

譚振(1983-)，男，碩士，工程師，主要研究方向：計算機圖形學(xué)、軟件工程。

李軍成(1982-)，男，博士，副教授，主要研究方向：計算機輔助幾何設(shè)計及其應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模。

譚振，李軍成. 一種平面正則C-Bézier曲線的廣義偏距曲線構(gòu)造方法[J]. 軟件，2018，39（11）：07-10