淺談數列的教學

張云標

摘要：對于高考中的數列解答題，因它能有效地考查學生的邏輯推理能力，運算能力，以及運用相關知識分析問題，解決問題的能力，所以在命題的方向上常將數列與函數，數列與方程，數列與不等式等知識進行有機的結合，從而使試題變得更具有新意，更能有效地考查學生的思維品質和創新意識，且試題往往具有較好的區分度。為此，筆者結合自已的高中教學實踐對高中數列的教學談幾點看法，以供讀者參考。

關鍵詞：數列；迭代法；策略

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）36-0149-02

1.要注重an與sn的關系并把其作為解題的突破口，來尋求解決數列問題的解題途徑

案例1已知數列{an}的前n項和sn滿足sn=2an+（-1）n，n≥1

（1）寫出數列{an}的前三項a1，a2，a3； （2）求數列{an}的通項公式

（3）證明：對任意的整數有m>4，有1a4+1a5+…+1am<78.

解：（1）由題設所給條件易得：a1=1，a2=0，a3=2.

（2）由an與sn的關系：易得∴an=23[2n-2+（-1）n-1] （n≥1）.

（3）證明：由通項公式得a4=2，當n≥3且n為奇數時，

1an+1an+1=32[12n-2+1+12n-1-1]=

32·2n-1+2n-222n-3+2n-1-2n-2-1

<32·2n-1+2n-222n-3=32·（12n-2+12n-1）

所以，當m>4且m為偶數時，

1a4+1a5+…+1am=1a4+（1a5+1a6）+（1a7+1a8）+…+（1am-1+1am）<12+32·14×（1-12m-4）<78

同理， 當m>4且m為奇數時，

1a4+1a5+…+1am=1a4+（1a5+1a6）+（1a7+1a8）+…+（1am-2+1am-1）+1am

<78+3（<12m-1+2-12m-2）<78.

綜上所述，1a4+1a5+…+1am<78.

小結：本例以an與sn的關系為主線找出解題的突破點，然后借助于不等式的知識一氣呵成，巧妙求解.

2.要注重“迭代法”在求解數列問題中的作用和地位

案例2，已知點的序列An（xn，0），n∈N+其中x1=0，x2=a（a>0）.A3是線段A1A2的中點，是線段A2A3的中點……，An是線段An-2An-1的中點……，求數列{xn}的通項.

解： 由題設所給條件易得

xn=xn-1+xn-222xn+xn-1=2xn-1+xn-2=……=2x2+x1=2a.故xn=-12xn-1+a.

∴xn-23a=-12（xn-1-23a）利用“迭代法”即得所求數列的通項：xn=23a[1-（-12）n-1]

小結：一般地，形如：an+1=pan+q， an+1=pan+f（n），an+2=pan+1+qan 等形式的常見遞推關系的數列的通項均可以用“迭代法”來求解.

3.要關注以高等數學的相關理論為知識背景，來引導探究解決數列問題的解題策略

案例3，設數列{an}滿足an+1=a2n-nan+1，n=1，2，3….

（1）當a1=2時，求a2，a3，a4，并由此猜出an的一個通項公式；

（2）當a1≥3時，證明對所有的n≥1有： （i）an≥n+2；

（ii）11+a1+11+a2+…+11+an≤12.

解：這是以數列和不等式的基礎知識為載體，考查猜想，歸納，迭代，遞推，放縮，推理以及分析問題和解決問題能力的一道好題.此題入口較寬，（1）及（2）中的（i）不難解決，留給讀者思考.而（2）中的（ii）難到了不少考生，拉開了檔次，體現了高校與中學在數學能力方面的銜接的要求.

從高等數學級數的觀點來看，正項級數∑∞n=111+an的前n項和有上界，故級數∑∞n=111+an收斂，其收斂速度不大于∑∞n=112a+1的收斂速度（∑∞n=112a+1=12）.有比較判斷法可知，必有11+an≤12n+1，即1+an≥2n+1.故問題就可轉化為證明： 1+an≥2n+1.

從初等數學的角度來描述上面的過程：為了便于比較大小，應使所研究的不等式兩邊有相同的結構. ∵11+a1≤14，又14+18+…+12n+1≤12

∴只須11+a1+11+a2+…+11+an≤14+18+…+12n+1

≤12即可.

比較兩個通項11+an與12n+1的大小，即只須證明1+an≥2n+1.

上面我們分別從高等數學和初等數學兩個角度出發，跟蹤追索到只須證明同樣的一個不等式：1+an≥2n+1 .下面從題設出發，來證明這個不等式.

由題設an+1=a2n-na+1得1+an+1=an（an-n）+2≥an（n+2-n）+2=2（1+an）

即：1+an+11+an≥2，累乘可得1+an1+a1≥2n-1，即1+an≥2n-1（1+a1）≥2n+1問題就解決了.

小結：此題留給我們的啟示是：在復習和備考中，要關注高等數學和初等數學的銜接點，培養學生具備把陌生的問題轉化為熟知問題的能力，這樣在高考中才能充分發揮出潛力來.

4.要關注特殊數列出現的形式特點及解題對策，以利于開闊學生視野，幫助學生提高觀察問題，分析問題，解決問題的能力

案例4，設{an}是集合{2t+2s|0≤s

將數列各項按照上小下大的原則寫成如下的三角形數表：

（1）寫出這個三角形數表的第四項，第五項各數；

（2）求a100.

解： 這是一道以數列的特殊結構形式為載體，考查學生對數列，排列組合等知識的掌握程度以及觀察，分析，解決問題的能力.

（1）由題設所給條件易得：第四項各數為 17 18 20 24.

第五項各數為 33 34 36 40 48.

（2）設n為an的下標.注意觀察三角形數表的結構特征易得：

第t項第一個元素的下標為t（t-1）2+1，第s個元素下標為t（t-1）2+s，該元素等于2t+2s-1

據此判斷a100所在的項.因為14×（14-1）2<100≤15×（15-1）2所以a100是三角形數表第14行的第9個元素.故a100=214+29-1=16640